第1章 微专题2 利用勾股定理列方程解决折叠问题（课时作业）-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（北师大版2024）

数学入年级上册（北师大版） 在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺， 所以CD=BD-BC=10-6=4, 根据勾股定理，得x=(x一4)2+102， 设CE=x,则EA=ED=8一x, 整理，得8x=116,即2x=29,解得x=14.5, 在Rt△DCE中，由勾股定理，得x2+42=(8-x)2,解得x= 则秋千绳索的长度为14.5尺。 3,所以CE的长为3。 4.解：设EC=x,则EB=x+6,AC一EC=AB2一EB2, 3.解：在△ABC中，∠B=90°，由勾股定理，得 即42-x2=82-(x十6)2，解得x=1,即EC=1。 BC=AC-AB2=102-62=64, 5.解：设AB=x,则AB=AC=x, 所以BC=8,所以AD=BC=8。 因为CD=6,所以AD=x-6, 由折叠知CF=CD=AB=6,DE=EF,∠AFE=∠CFE= 因为AB=BD+AD,所以士=+(x一6)，懈得x-要， ∠CDE=90°。 所以A日-经，所以AB的长为孕。 DE=EF=z,AF=AC-CF=4,AE=8-x. 在Rt△AEF中，(8-x)2=42+x2,解得x=3, 6,解：(1①AD=乌， 所以EF=3,AE=8-3=5, (2)设CD=x,则(x2+1)+(x2+16)=25, 所以SBa=AEBC.AB=(5+8)X6÷2=39. 2 解得x=2,即CD=2; 4.解：在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,故△ABC为直角三 (3)因为CD LAB,CD=3,AD=4,所以AC=5。 角形，由折叠知AB=AB=3,DB=BD,∠B=∠ABD= 设BD=x,则(x十9)十25=(x十4)2， ∠CBD=90°，所以CB=2。 解得x=是，即BD=号 设BD=BD=x,则CD=4一x, 因为DB2+CB2=CD,所以x2+22=(4-x)2, 7.解：在△CDB中，CD=4km,BD=3km,BC=5km 因为CD2+BD=4+32=25,BC=25, 解得=是，所以DB=是， 所以CD+BD=BC, 5.解：由折叠知AF=AD=10,EF=DE。 所以△DBC是直角三角形，∠CDB=90°。 因为AB=6,AF=10,∠B=90°， 设AC=AB=xkm,则AD=AB-BD=(x-3)km, 由勾股定理，得BF=8,所以CF=2, 在Rt△ACD中，AC=xkm,AD=(x-3)km,CD=4km, 设EC=x,则EF=DE=6一x。 由勾股定理，得AC=AD2+CD, 则在Rt△EFC中，x+22=(6-x)2, 所以父=（红一3》+，解得x=, 解得x=号所以BC-=号。 答：原来的路线AC的长为号km 6.解：设BE=xcm,由折叠的性质可得DE=BE=xcm, 所以AE=AD-DE=(9-x)(cm), 第4课时勾股定理的应用 在Rt△ABE中，BE=AE+AB, 1.C2.B3.30 所以x2=(9-x)2十32，解得x=5, 4.解：由勾股定理知，“路”长2=242+102=676=26， 所以DE=BE=5cm,AE=9-5=4(cm) 所以“路”长为26m,24+10-26=8(m), 所以5m=合AB:AE=合×3X4=6(cm). 所以他们少走了8m。 7.解：如答图，过点F作∠CFE的平分线，交 5.D6,A7.B8C99 G CE于点H,所以∠CFH=∠EFH, 10.解：过点D作DE⊥AB于点E,如答图所示， 根据题意，得∠CEF=∠CEB, 则CD=BE,DE=BC=1.2m, 因为AB∥CD,所以∠CEB=∠ECD, 在Rt△ADE中，AD=1.5m, 所以∠CEF=∠ECD, 由勾股定理，得AE2=AD2-DE=1.52-1.2 又因为∠CFH=∠EFH,FH=FH, =0.81, 答图 所以△CFH≌△EFH(AAS),所以EF=CF, 所以AE=0.9m,所以BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6(m), 如答图，过点E作EG⊥CD于点G,则DG=AE=2cm, 所以CD=BE=1.6m, 设EF=CF=xcm, 故这名学生身高CD为1.6m。 则GF=AB一AE-EF=10-2-x=(8-x)cm, 11.67 在Rt△EFG中，EF2=GF+EG,所以x2=(8-x)2+62, 12.解：设AF=a,则FD=3a, DC=BC=4a,AE=EB=2a。 所以x=要，所以EF-要cm, 在Rt△AEF中，EF2=AE+AF2=5a2, 第5课时问题解决策略：反思 在Rt△DFC中，FC=FD2+CD=25a2, 在Rt△EBC中，EC=BE+BC=20a, 1.解：由题意得长方形的周长为20m,即长+宽=10m, 所以EC+EF=25a2=FC。所以△EFC是直角三角形。 因为长方形的长和宽均为整数，所以长方形长和宽的所有情 况（单位：m):1,9;2,8;3,7;4,6;5,5。 微专题2利用勾股定理列方程解决折叠问题 所以围成的长方形的面积可能为： 1.x8-x 1×9=9(m2),2×8=16(m2),3×7=21(m2), 2.解：由勾股定理，得AC=AB-BC=100-36=64,即AC-8, 4×6=24(m2),5×5=25(m2), 由折叠的性质，可得BD=AB=10,EA=ED, 所以围成的长方形的最大面积是25m。 22数学·八年级上册（北师大版） 微专题2利用勾股定理列方程解决折叠问题 类型1直接运用折叠性质 1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6,BC=8,点D在BC边 D 上，将直角边AC沿直线AD折叠，点C恰好落在斜边AB上的点E 处。设DE的长为x,则CD ,BD= (用含x的代数 式表示)。 类型2设未知数，运用勾股定理列方程 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AB=10。在AC边上取一点E,以BE为折痕，使AB 的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，求CE的长。 3.如图，折叠长方形ABCD,使点D恰好落在对角线AC上的点F处。若AB=6,AC=10,求梯形 ABCE的面积。 B 4.如图，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上的点B' 处，AD为折痕，求DB的长。 D B6 第一章勾股定理 5.如图，折叠长方形纸片ABCD,使点D落在边BC上的点F处，AB=6,AD=10,求EC的长。 D 6.如图，长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF。 求△ABE的面积。 7.如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B'处，CD与EB交于点F,如果AB= 10cm,AD=6cm,AE=2cm,求EF的长。 B7