专题06 二次函数章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题06 二次函数章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 待定系数法求二次函数解析式 题型二 二次函数中平移问题 题型三 二次函数与方程及不等式综合应用 题型四 二次函数的最值问题 题型五 二次函数的存在性问题 题型六 二次函数的图象和性质综合应用 题型七 实际问题与二次函数的综合应用 题型八 二次函数与几何图形综合应用 【经典例题一 待定系数法求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式． (1)已知抛物线顶点为，且过点； (2)已知抛物线经过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数的解析式，根据所给条件求出对应的函数表达式是正确解答此题的关键． （1）设为顶点式，代入所给点的坐标即可求解； （2）直接代入题中两点坐标，建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 由抛物线顶点为，得， 由抛物线过点，得， 解得， ； （2）解：将点和代入抛物线， 得， 解得， ． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式． （1）把，代入，解方程组求出b，c的值； （2）由（1）得出抛物线解析式为，设点P坐标为，根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得； 二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 设点P坐标为， 的面积为6，， ∴， ∴， 即或， 解得：或， ∴或． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： (1)这个二次函数的解析式是______； (2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质． （1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据、4时的函数值，结合图象即可写出y的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格数据可得：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 把点代入， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图所示： ； （3）解：当时，， 当时，， 当时，有最小值， 当时，的取值范围是． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在二次函数（、为常数，且）中，与的几组对应值如下表所示： ．．． 0 1 ．．． ．．． 1 ．．． (1)求二次函数的解析式； (2)用描点法在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数及其图象，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键， （1）利用待定系数法将点，代入，求得的值，即可得到函数解析式； （2）将函数一般式化为顶点式，得到顶点坐标和对称轴，再利用点关于直线的对称点为，描出各点即可得到函数图象． 【详解】（1）解：把点，代入得： 解得：， 二次函数的解析式为：． （2）解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为，画出函数图象，如图： 6．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出P点坐标，即可得解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：在，当时，， ， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， 关于对称轴对称， ， ， ∴当三点共线时，的值最小，为的长，此时点P为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ， ∴，， ∴． 7．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）综合与实践 综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用． 如图，经过塔基主入口的迎宾步道（把步道抽象成直线）与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，抛物线顶点对应“光影塔”最高一束激光的末端． 初步感知 （1）求抛物线顶点的坐标． 拓展应用 （2）游客看作迎宾步道上一点，无人机航拍点是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求游客位置点的坐标． 延伸探究 （3）虚拟观景平台是直线上方抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式并化为顶点式． 【答案】（1）；（2）或；（3），化为顶点式为 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出直线的解析式，然后求出点，设点E的坐标为，可得点，，则可得，，再根据建立方程，解方程即可得； （3）过点P作轴，交于点Q，由（2）得：点，，从而得到，再根据，即可列出函数解析式． 【详解】解：（1）把点，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线顶点的坐标为． （2）由题意，画出图形如下： 设直线的解析式为， 把点，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 设点的坐标为， ∵轴， ∴，， ∴，， 当点在的上方时，此时， ， 解得：或4（舍去）， 此时点的坐标为； 当点N在M的下方时，此时或， 若点M，N均在x轴上方，此时， ， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为； 若点M，N均在x轴下方，此时， ， 解得：或4，均不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． （3）过点作轴，交于点， ∵点是直线上方抛物线上一点，且，点的横坐标为， ∴， 由（2）得：直线的解析式为， ∴，， ∴， ∵， ∴与的边上的高之和为， ∴ ， 综上，关于的函数解析式为，化为顶点式为． 【经典例题二 二次函数中平移问题】 8．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图象向左平移个单位，若抛物线再次经过点时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，三角形的面积，勾股定理及其逆定理．解题的关键是求出平移之后的解析式． （1）用待定系数法直接求解即可； （2）根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”得出当抛物线向左平移个单位时，，再把代入，求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线，得 解得：， ． （2）解：， 当抛物线向左平移个单位时，， 把代入得 ， 解得：（舍），， ． 9．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知二次函数过点，． (1)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； (2)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的平移法则即可得解； （2）先求出，，得出，结合的面积为4，求出，再结合顶点为，抛物线开口向上，得出点在轴上方，纵坐标为，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴将函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的函数的解析式为，即， 故顶点为， （2）解：存在， 在中，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴， ∵顶点为，抛物线开口向上， ∴点在轴上方，纵坐标为， 在中，当时，，解得或， ∴或． 10．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴和的最大值，并求的值． (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及拋物线的一段、分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)的对称轴为，的最大值为4， (2)点移动的最短路程为 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． （1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值； （2）由，得出抛物线平移过程为向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度，即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）解：， 的对称轴为，的最大值为4， 把点代入抛物线的表达式，得， 解得，． 又因为在对称轴的右侧 ． （2）所在抛物线的表达式为， 抛物线平移过程为向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度， 点移动的最短路程为． 11．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出的图象； (3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； (4)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)，对称轴：直线，顶点坐标 (2)作图见解析 (3)或1 (4) 【分析】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象，二次函数平移的规律，解题的关键是掌握二次函数平移的规律． （1）利用配方法进行求解即可； （2）先找顶点，再求与x轴、y轴交点，即可画出二次函数的图象； （3）根据函数经过点，，根据平移规律进行求解； （4）结合抛物线对称轴直线，分别求、、时的值，确定最值． 【详解】（1）解： 对称轴为：直线； 顶点坐标； （2）解：当时，； 当时，或， 所以该图象经过点，，； （3）∵经过点， ∴抛物线沿x轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点， ∴或3． （4）时，； 时，（最大值）； 时，（最小值）． y的取值范围为． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园．立环过山车“白龙飞天”是其经典项目之一．过山车的一部分轨道，可以近似的看成两段抛物线，在平面直角坐标系中，其图象如图所示，其中轨道抛物线的顶点到的距离，抛物线与轴交于点，（轨道厚度忽略不计）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在轨道距离地面处有两个点和（点在点的左侧，当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了至点，又进入下坡段至最低点，已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长． 【答案】(1)； (2)米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （）由题意知，，然后用待定系数法求出抛物线的函数解析式； （）先根据平移的性质求出物线的函数解析式，再令求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 设抛物线的函数解析式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由题意知，， 当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵抛物线的形状与抛物线完全相同， ∴抛物线可以看作是由抛物线向右平移个单位长度得到的， ∴抛物线的函数解析式为， 令，则， 即米． 13．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点，是抛物线上的两点，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，若满足，请比较与的大小． (3)将抛物线平移，使得其顶点落在直线上，设平移后的抛物线与轴的交点为，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)； (3)点的纵坐标． 【分析】（1）依题得出点坐标后可推得点坐标，结合抛物线对称轴可知点坐标，设抛物线的解析式为，将点代入即可得解； （2）由推出，即可判断点比点距离对称轴更近，结合二次函数的图象与性质即可得解； （3）设平移后顶点，平移后抛物线解析式为，令，可得点的纵坐标，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：依题得：当时，， 即， ， 则， 抛物线的对称轴为直线，，两点关于对称轴对称， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 抛物线的表达式为； （2）解：， ， 即点比点距离对称轴更近， 由（1）得，，抛物线开口向下，有最大值， ； （3）解：设平移后顶点，则平移后抛物线解析式为， 平移后的抛物线与轴的交点为， 令，则点的纵坐标， 对于任意都有， ， 点的纵坐标． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质、二次函数的平移，解题关键是结合二次函数图像与性质解题． 14．（2026九年级·贵州贵阳·专题练习）已知二次函数（a，b，c为常数，）的一组对应值如下表． x 1 4 y 4 (1)该二次函数的解析式为________； (2)在下列平面直角坐标系中大致画出该二次函数的图象； (3)该二次函数的图象开口向________，对称轴是直线________，与x轴有________个交点，交点坐标是________，与y轴的交点坐标是________，有最________（填“大”或“小”）值，最值为________； (4)当时，y随x的增大而________，最大值为________；当时，y的取值范围是________； (5)将该二次函数解析式化为顶点式是________，化为交点式是________； (6)将该二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的新图象的解析式为________；将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到的新图象的解析式为________；将该二次函数的图象沿x轴翻折，得到的新图象的解析式为________； (7)若该二次函数的图象与直线交于点和，则关于x的方程的解为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)下；；2；；；大；4 (4)大；3； (5)； (6)；； (7) 【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）按照画函数图像的步骤进行即可； （3）根据二次函数的定义、性质、图像去进行分析即可； （4）结合函数图像去分析即可； （5）准确化成顶点式和交点式即可； （6）根据“上加下减，左加右减”去进行分析即可； （7）先求出，再代入求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式中，得 解得 ∴二次函数解析式为． 故答案为：． （2）解：如图所示： （3）解：∵二次函数解析式为，，开口向下；对称轴为；令，则，与轴有2个交点，解得，则与轴交点坐标为；与轴的交点坐标为；有最大值，最大值为4． 故答案为：下；；2；；；大；4． （4）由图像可得，当时，随的增大而增大，在处取得最大值，为3； 当时，在处取得最大值4，在处取得最小值，则； 故答案为：大；3；． （5）解：∵ ∴顶点式为，交点式为 故答案为：；． （6）解：将该二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的新图象的解析式为；将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到的新图象的解析式为；将该二次函数的图象沿轴翻折，得到的新图象的解析式为； 故答案为：；；． （7）解：由题意可得，将代入得， ∴ ∴关于的解为的解， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式求解、图象绘制以及相关性质的应用，包括顶点式、对称轴、与坐标轴交点、最值、单调性、函数值大小比较和函数值取值范围等知识点，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解决本题的关键． 【经典例题三 二次函数与方程及不等式综合应用】 15．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线 (1)当为何值时，抛物线与轴有两个不同交点？ (2)若抛物线与轴的两交点分别为、，且，求的值 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）先根据及根与系数的关系求出，进而得出求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：； （2）解：∵抛物线与轴的两交点分别为、，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，满足，符合题意． 16．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）已知抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象． (2)若抛物线的顶点为M，抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的右侧），求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查二次函数的图象，二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，求解A，B两点坐标是解题的关键． （1）先根据y与x的关系式列表，再在坐标系中标点后连线即可画出图象； （2）由列表可知A，B两点坐标，即可求解的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 y 5 0 图象如图所示： （2）解：由抛物线的图象可知，顶点坐标为， 在中， 当时，， 解得，， ∵A在B的右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为8． 17．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点． (1)求，两点的坐标； (2)若，请直接写出的取值范围___________． 【答案】(1)，两点的坐标分别是，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意可知，然后求出的值即可； （）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得或， ∴，两点的坐标分别是，； （2）解：由图可知，当时，的图象在图象的上方，则． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线与直线的一个交点的横坐标是2． (1)求的值； (2)当x为何值时，． (3)请在所给的坐标系中，画出函数与的图象（草图），并根据图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)3或 (3)见解析， 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，求出横坐标为2的交点坐标是解题的关键． （1）把交点的横坐标2代入直线解析式求出交点坐标，再代入抛物线解析式计算即可求出a的值； （2）将a的值代入方程，再解方程即可； （3）利用五点法作出抛物线图象，利用两点法作出直线解析式，然后找出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：时，， 所以，交点的坐标为， 把交点坐标代入抛物线得，， 解得； （2）解：由得， ∴， ∴， 解得或； （3）解：函数图象如图所示， 由图象可得，时x的取值范围为：． 19．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数． (1)将配方得_____； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）； (3)当x为 时，； (4)时，直接写出y的取值范围是 ； (5)当时，函数y的取值范围为，则a的值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) (5) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，画二次函数图象； （1）根据配方法化为顶点式，即可求解； （2）根据顶点式确定顶点坐标，以及与轴的交点坐标，根据二次函数图象的对称性画出函数图象，即可求解； （3）根据函数图象可得时，， （4）结合函数图象，当时，得出的范围； （5）根据时，函数y的取值范围为，令，得出，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：如图所示， （3）解：根据函数图象可得，当时，， 故答案为：． （4）解：根据函数图象可得当时，， 当时，取得最大值为， ∴当，y的取值范围是； 故答案为：． （5）解：∵当时，函数y的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时， 解得：或（舍去） 则a的值为， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数． (1)该二次函数的顶点坐标为 ；函数的图象与轴的交点坐标为 ； (2)在平面直角坐标系中画函数图象．（把顶点坐标和图象与轴交点坐标填在表格中，再完善表格） … … … … (3)该抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为 ． (4)当时，直接写出二次函数中值的取值范围是 ． 【答案】(1)；， (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，图形的对称，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）将二次函数的解析式化成顶点式即可得顶点坐标，令，求解一元二次方程即可得函数的图象与轴的交点坐标； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据对称性，先求出该抛物线关于轴对称的抛物线的顶点坐标，即可得新抛物线的表达式； （4）先求出当时，对应的值，然后观察函数图象，即可确定所求． 【详解】（1）解：， 该二次函数的顶点坐标为， 令，即， 解得，， 函数的图象与轴的交点坐标为，； 故答案为：；，． （2）解：完善表格如下： … … … 0 … 将表格数据描点连线画出如下函数图象： （3）解：该抛物线的顶点坐标为， 该抛物线关于轴对称的抛物线的顶点坐标为， 该抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为； 故答案为：． （4）解：当时，， 当时，二次函数中值的取值范围是． 故答案为：． 21．（2025·贵州铜仁·模拟预测）自主学习，阅读下列解题过程： 解一元二次不等式： 解：设，解得：，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，画出二次函数的大致图象如图（1）所示，由图象可知，当或时，函数图象位于x轴上方，此时，即， 所以一元二次不等式的解集为或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：    (1)上述解题过程中，主要渗透了下列数学思想中的______；（选择1个，填写序号） ①分类讨论思想；②数形结合思想； (2)一元二次不等式的解集是_______； (3)用类似的方法解一元二次不等式（要求：在备用图中画出大致图象） 【答案】(1)② (2) (3)图象见解析，一元二次不等式的解集为：或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识点，理解二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意容易得出结论； （2）观察图象即可写出一元二次不等式的解集； （3）先设函数解析式，求出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据确定一元二次不等式的解集即可． 【详解】（1）解：根据解题过程中，渗透了数形结合思想．   故答案为：②； （2）解：由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：． 故答案为：． （3）解：， 设， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， 如图：画出二次函数的图象，   由图象可知：当或时，函数图象位于x轴下方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：或． 【经典例题四 二次函数的最值问题】 22．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 【答案】(1) (2)围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题时要熟知等量关系是关键． （1）依据题意，，从而，再由，且，可得的范围； （2）由（1）的结论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：依据题意，， ∴． ∵，且， ∴； （2）解：由（1）得，， 又∵，且， ∴当时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20． 23．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，∴函数的“最优纵横值”为10．根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求、的值； (3)若二次函数的顶点在，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 【答案】(1)8 (2)， (3) 【分析】本题考查配方法和二次函数的性质的应用： （1）根据“纵横值”的定义求解即可； （2）根据二次函数的顶点的位置可求出b的值，表示出，利用配方法求出其最大值即可求出c； （3）根据二次函数顶点在直线上可求出h，表示出，利用配方法求出其最大值，并结合二次函数图象性质求出其最小值，从而得到答案． 【详解】（1）解： 故答案为：8； （2）解：∵二次函数的顶点在直线上， ∴，即， ∴， 则， 即二次函数的最优纵横值为， ∴， ∴， ∴，； （3）解：二次函数的顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴，解得， 故二次函数为， 则， 当时，当时，的最大值为， 当时，有最小值， ∴当时，求该二次函数的纵横值的范围是． 24．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)点P的坐标为：，PE的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）把和代入到进行求解即可； （2）过点P作轴于点，交于点N，设直线的表达式为，再把和代入求解一次函数，进而可得为等腰直角三角形，则，设点P的坐标为和点为，表达出，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过点P作轴于点，交于点N， 设直线的表达式为， ∵和在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，则， ∴直线与y轴交于点， 又∵点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴直线和x轴的正半轴的夹角为， ∴， ∴， 设点P的坐标为，点， ∴ ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点P的坐标为， 又∵， ∴的最大值为． 25．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)线段的最大值为及此时点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，二次函数的解析式求解，二次函数的最值问题和函数图象上点的坐标关系． （1）根据一次函数，分别令和，求出直线与轴、轴的交点、点的坐标，然后根据抛物线经过点、，将这两点坐标代入抛物线解析式得出方程组并求解得出抛物线解析式即可； （2）设点的坐标为，由于轴交直线于点，得到点横坐标为，代入直线得出点坐标，然后用点纵坐标减去点纵坐标求出线段长度的解析式，然后将其化为顶点式得出当时，取得最大值，最大值为，最后将代入抛物线解析式求出点纵坐标即可． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、， 当时，，解得， 当时，，解得， ，． 抛物线经过点，， 将点，代入， 得， 解得， 抛物线解析式为， 即． （2）解：设点的坐标为， 轴交直线于点， 点的坐标为， ， 将整理成顶点式可得 该二次函数图象开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 将代入抛物线解析式得， 点的坐标为． 26．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)存在，的周长最小值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题； （1）把点、的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）根据轴对称的性质，，则当在上时，的周长最小，求得直线的解析式，代入，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）把，代入，得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下， ∵，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： （3）∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 27．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）函数， (1)在平面直角坐标系中画出函数图象； (2)当时，求的值； (3)当随的增大而增大时，的取值范围为 ； (4)若在函数图象上有点（与不重合）．的横坐标为的横坐标为．小亮对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，的取值范围为 ． 【答案】(1)见解析 (2)或1 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据题意，列表，描点，然后连线，即可解答； （2）分两种情况：若，若，，即可求解； （3）直接观察图象，即可求解； （4）根据题意可得点P，Q关于直线对称，当时，函数取得最小值，为， 当时，函数取得最大值，为，再结合当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，然后分两种情况，画出函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 2 3 6 在平面直角坐标系中画出函数图象，如下： （2）解：若，此时， 解得：； 若，此时， 解得：； 综上所述，当时，的值为或1； （3）解：观察图象得：当随的增大而增大时，的取值范围为或； 故答案为：或 （4）解：∵的横坐标为的横坐标为， ∴，即点P，Q关于直线对称， 当时，函数取得最小值，为， 当时，函数取得最大值，为， ∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，且时，，时，， 当时，画出函数图象，如下： 由题意得：， ∴； 当时，画出函数图象，如下： 由题意得：， 解得：； 综上所述，m的取值范围为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键． 28．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）阅读下列材料： 某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系中，已知直线，点在抛物线上，求点A到直线l的距离d． 如图1，他过点A作于点B，轴分别交x轴于点C，交直线l于点D，他发现，，可求出的长，再利用求出的长，即为点A到直线l的距离d． 请回答： （1）图1中，____________，点A到直线l的距离____________． 参考该同学思考问题的方法，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是抛物线上的一动点，设点M到直线l的距离为d． （2）如图2， ①，，则点M的坐标为____________； ②，在点M运动的过程中，求d的最小值； 【答案】（1）3；；（2）①或；② 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出A、D的坐标，进而得到点C的坐标，则可证明得到，进而可证明是等腰直角三角形，得到，由勾股定理可得，据此可得答案； （2）①过点M作于E，过点M作轴交直线l于F，设，则，；可证明是等腰直角三角形，得到，则，即可得到，解方程即可得到答案；②设，则，，可求出的最小值为；同理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵轴， ∴轴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，     ∴， ∴， ∴点A到直线l的距离； （2）①∵， ∴直线l必定在抛物线下方； 如图所示，过点M作于E，过点M作轴交直线l于F， 设，则， ∴； 与（1）同理得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标为或； ②设，则， ∴， ∵， ∴当，即时，有最小值，最小值为； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即d的最小值为． 【经典例题五 二次函数的存在性问题】 29．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在轴下方的抛物线上，是否存在点，使得？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练求得二次函数解析式． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）设存在点，列出方程求出的值，再利用待定系数法求出点坐标即可 【详解】（1）解：设抛物线方程为将，，三点代入可得： ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设存在点，由题意可知，以为底，则高为， ， 在中，以为底，则高为， ， 点在轴的下方， ， ， 在抛物线上，所以满足抛物线方程．代入得：， 解得，， 所以点的坐标为：，． 30．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 31．（2025·陕西·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 32．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，已知抛物线L：与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且， (1)求抛物线L的函数表达式； (2)将抛物线L：的图象向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好经过点，求m的值； (3)连接、，在抛物线上是否存在一点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求函数解析式，明确题意，熟练掌握二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键． （1）计算出点坐标，待定系数法计算解析式即可； （2）根据平移法则，写出平移后的解析式，代入点坐标计算即可解答； （3）设出点N的坐标，表示出面积，分类讨论计算出点N的坐标． 【详解】（1）解：，， ， ，， 把A，B，C的坐标代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， 将向上平移2个单位，向左平移个单位， 得到， 平移后图象过， ， 解得，， ， ； （3）解：存在， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，，， 当时，，， 点N的坐标为或 33．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得：， ∴． （2）解：当时，， ∴， 设与轴交于点，过点作于点，   平分，， ∴，， ∴， ∴ ， ， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 抛物线的对称轴为直线， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 当时，解得：或， ∴，， ∴， 当，时，， 解得：或（舍）， ∴； 当时，， 解得或（舍， ∴； 当，时，， ∴， 解得：或舍， ∴， ∴； 综上所述：点坐标为或． 34．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，其顶点为，直线与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作轴于点F，交直线于点E，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)若，求m的值； (3)连接，是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)存在， 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，设抛物线的解析式为，把点A的坐标代入，可得抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、E的坐标，然后表示出，再列出绝对值方程，然后求解即可； （3）根据等腰三角形的性质，可得点C在线段的垂直平分线上，即线段的中点的纵坐标为，再列出关于m的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴可设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， ∴点， ∵P在x轴下方， ∴， 设点P的横坐标是m，则， ∴， ∵， ∴， 若， 解得：或5（舍去）； 若， 解得：或（舍去）； 综上所述，或1； （3）解：存在， ∵直线与y轴交于点C，与x轴交于点D， ∴点， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴点C在线段的垂直平分线上， 即线段的中点的纵坐标为， 根据题意得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 35．（2025·广东·模拟预测）综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形．理由见解析 (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）先求得，推出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，证明，即可推出是等腰直角三角形； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中， 令，得． ∴， ∴． 又， ∴，． ∴，， 将，代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 抛物线的对称轴为直线． ∴， 如图，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，    ∴． ∵，，， ∴，，，． 在和中，， ∴， ∴，． 又， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形； （3）解：设点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵，对称轴为直线，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ②当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ③当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题的关键． 【经典例题六 二次函数的图象和性质综合应用】 36．（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)若点，在抛物线上， ①当时，求的取值范围； ②若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或② 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性质是本题解题的关键． （1）将点代入抛物线表达式，即可求解； （2）①当时，，即可求解；当时， 即，，同理可解； ②将点，代入抛物线表达式得：整理得到，进而求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线表达式得： ， 则 ∵对称轴 ∴ （2）①当时，， 则抛物线的表达式为：， 顶点坐标为 ∵点，在抛物线上 当时， 解得：； 当时， 即， 解得：， 故或； ②∵点，在抛物线上，， ∴，在对称轴的右边，且随的增大而增大， ∴ 将点，代入抛物线表达式得： 得 ， ， ， 由，整理得 则， ∵， 则， ∵ 则， 则 则， 综上 37．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）对于二次函数，定义它在（p，q是常数）上的最大值与最小值之差为该函数在上的“幅度”R，即． (1)已知二次函数，求它在上的“幅度” (2)已知二次函数（m为常数）． ①求该函数在上的“幅度”R与m的关系式． ②是否存在实数m，使得该函数在上的“幅度”？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①；②或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式，求出对称轴，顶点坐标，再根据开口方向得到增减性，根据增减性可确定时函数的最大值与最小值，再根据“幅度”的定义求解即可； （2）①把解析式化为顶点式，求出对称轴，顶点坐标，再根据开口方向得到增减性，再讨论对称轴的位置，根据增减性确定时函数的最大值与最小值，再根据“幅度”的定义求解即可；②根据（2）①所求令，求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大； 在中，当时，，当时，， ∵， ∴当时，函数的最大值为6，最小值为2， ∴二次函数在上的“幅度”为； （2）解：①∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大； 当时， 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 综上所述，； ②当时，解得，不符合题意； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得，不符合题意； 综上所述，或． 38．（25-26九年级上·广西·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若图形上存在一点，且满足当时，，则称点为图形的一个“垂近点”． (1)如图，图形为线段，点，． ①判断点是否是线段的“垂近点”？说明理由； ②请在图中画出点所有可能的位置；（用阴影部分表示） (2)若图形为直线，在二次函数图象上仅有一个图形的“垂近点”，求的值． 【答案】(1)①是，理由见解析；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查两点间的距离，反比例函数与几何的综合应用，掌握“垂近点”的定义是解题的关键． （1）①根据垂近点的定义，进行判断即可； ②根据垂近点的定义，画出点M所有可能的位置即可； （2）将化成顶点式，分，，两种情况进行讨论，根据“垂近点”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：①是，理由如下： 图形为线段，点，， ∵， ∴图形上存在点， ∵， ∴点是线段的“垂近点”； ②M所有可能的位置，如图所示， （2）解：将化成顶点式为， ∵二次函数图象上仅有一个图形F的“垂近点”， ∴当时，， 当时，， ∴或． 39．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若为第一象限抛物线上的动点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，点P的坐标为或)． 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）将，代入，即可求解析式； （2）由已知可得，则，设，则有，解出或，即可求或； （3）分两种情况：①当点P在上方时，如图1，在x轴正半轴上取点，连接，过点A作交抛物线于另一点P，先证明，可得，再由，得出，可推出，运用待定系数法可求得直线的解析式为，进而得出直线的解析式为：y=-4x+16，联立方程组即可求得点P的坐标；②当点P在下方时，如图2，在y轴上取点，连接交抛物线于点P，可证，进而推出，利用待定系数可得直线的解析式为，联立即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ， ∵， ，， ， ， 设， ， 或， ∴或； （3）解：存在点P，使，理由如下： ①当点P在上方时，如图1，在x轴正半轴上取点，连接，过点A作交抛物线于另一点P，    ∵， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 由 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； ②当点P在下方时，如图2，在y轴上取点，连接交抛物线于点P， 则，    ∵， ， ， ， ， 设直线的解析式为，把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 由， 解得：（舍去），， ， 综上所述，点P的坐标为或)． 40．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知二次函数，按以下步骤画图并填空： (1)将的右边配方，得 ，故抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ； (2)列表（根据表格中所给自变量的数值，求出对应的函数值，填到下表中）： 0 (3)描点，连线； 由图象可知，对于二次函数，当 时，随的增大而增大；当 时，函数有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)图见解析，，，小， 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）先化为顶点式，再利用二次函数的性质可得结论； （2）将对应的x值代入函数表达式中求函数值，进而可完成表格； （3）描点、连线可得函数图象，再根据函数图象可得相关结论． 【详解】（1）解：， 则该抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为， 故答案为：，，； （2）解：因为抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，； 当和时，， 当时，， 完成表格如下： 0 0 （3）解：函数图象如图所示： 由图象可知，对于二次函数，当时，随的增大而增大；当时，函数有最小值，为， 故答案为：，，小， 41．（2025·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若抛物线：和抛物线：的顶点分别为不重合的两点与，同时满足：在的图象上，在的图象上．则称抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，根据该约定，完成下列问题： (1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”． ①：的“携手共进”抛物线一定经过______． ②：与：是互为“携手共进”的抛物线______． ③若两条抛物线是互为“携手共进”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数______． (2)若抛物线：（m，n为实数且）与：互为“携手共进”的抛物线，且当时，抛物线最低点的纵坐标为，求m的值； (3)已知抛物线：的顶点为点A，与x轴交于点M、N，抛物线：的顶点为点B，与x轴交于点P、Q，若抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，且，请问线段AB是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2) (3)是定值， 【分析】（1）根据“携手共进”的抛物线的定义判断即可得解； （2）由二次函数的性质可得的顶点坐标为，由“携手共进”的抛物线的定义得出点在抛物线上，求得， 由题意得当时，的最小值为，由此计算即可得解； （3）由抛物线的性质可得抛物线的顶点为点，抛物线的顶点为点，由一元二次方程根与系数的关系可得，，，，表示出，，结合题意得出，从而得出①，由“携手共进”的抛物线的定义可得②，求出③，即可得解． 【详解】（1）解：①根据“携手共进”的抛物线的定义可得：：的“携手共进”抛物线一定经过，故√； ②：的顶点在：上，而：的顶点不在图象上，所以彼此不是“携手共进”的抛物线，故×； ③∵顶点不同的两条抛物线：与：携手共进， ∴有， 两方程相加得， ∵， ∴， ∴解析式中的二次项系数一定是互为相反数，故√； 故答案为：①√，②×，③√； （2）解：∵：， ∴的顶点坐标为， ∵抛物线：（m，n为实数且）与：互为“携手共进”的抛物线， ∴点在抛物线上， ∴，化简得， 由题意得，当时，抛物线最低点的纵坐标为， 即当时，的最小值为， ∵， ∴，开口向下，对称轴为直线， ∴时，， ∴， 综上所述，； （3）解：是定值，理由如下： ∵，， ∴抛物线的顶点为点，抛物线的顶点为点， ∵抛物线：与x轴交于点M、N， ∴，， ∴ ∵抛物线：与x轴交于点P、Q， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①， ∵抛物线与是“携手共进”的抛物线， ∴点在抛物线上， ∴， 化简得：②， 把①代入②，得：， 即③， ∴ ④， 把③代入④，得：， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，新定义问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 42．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， 画图如图所示： ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 【经典例题七 实际问题与二次函数的综合应用】 43．（25-26九年级上·陕西·期中）陕西的水果种类繁多，品质优良，成为了当地经济的重要支柱．随着苹果的大量上市，某水果销售商以每箱30元的价格购进了一批苹果进行销售，经过一段时间后，发现以每箱40元的价格销售这批苹果时，平均每天可以售出80箱，若每箱苹果的售价每提高1元，则平均每天少售出2箱． (1)求销售这批苹果平均每天的利润元与每箱的售价（元）之间的函数关系式； (2)当每箱苹果的售价为55元时，求销售这批苹果平均每天的利润． 【答案】(1) (2)销售这批苹果平均每天的利润为元 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意列出与之间的函数关系式即可； （2）把代入二次函数即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，， 所以销售这批苹果平均每天的利润为元． 44．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，正确理解题意是解题关键． （1）由题意得，，再利用矩形的面积公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 则， 由题意得，， ∴； （2）解：， 当米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 45．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为，O、两点相距米． (1)求出点的坐标及球的飞行路线所在抛物线的解析式； (2)请通过计算，判断小明这一杆能否把球直接打入球洞． 【答案】(1)， (2)不能 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据含30度的直角三角形的性质，求出的长，进而求出点的坐标，设出顶点式，利用抛物线经过原点，待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将点的横坐标代入解析式，求出函数值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由图可知：，由题意，， ∴，， ∴， 由题意，抛物线的顶点坐标为，且过原点， 设抛物线的解析式为，把代入，得，解得， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴小明这一杆不能把球直接打入球洞． 46．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点，即可； （2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，即可求解；②根据题意可得，即可求解； （3）把点代入，求出抛物线的解析式，再把代入抛物线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解∶ 如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点， （2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴可设出抛物线解析式为； 故答案为：； ②根据题意得：， ∴抛物线经过的点； 故答案为： （3）解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当水面下降时，水面宽度为， ∴当水面下降时，水面宽度增加了． 47．（25-26九年级上·全国·课后作业）某科技小组运用信息技术模拟火箭“火龙出水”的运行过程．如下图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)直接写出a，b的值． (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用． （1）将代入即可求解； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可． 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，； （2）由①知，直线，抛物线 ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二次则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 48．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小路同学根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． /米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 /米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88 经过测量，得出了和的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现是关于的 ． （1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米； （2）求与之间的函数关系式； （3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5，宽为1.5，露出水面高度为1.88的游船．为安全起见，公园要在水面上的两处设置警戒线，并且，要求游船能从两点之间安全通过，则处距桥墩距离至少为多少米． 【答案】图象见解析；二次函数； （1）0.88；（2）；（3）米 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的求解，一元二次方程的应用，解决本题的关键是求解出二次函数关系式． 将表格中对应的点在坐标系下描出，可发现该函数图象为抛物线，由此可得是关于的二次函数． （1）根据表格中时y的取值即可求解高度； （2）由待定系数法求解即可； （3）先令，求解x的值，即可得在距点水平距离的地点，由此可求． 【详解】解：图象如下： 由此可得是关于的二次函数． 故答案为：二次函数． （1）由表格可知，当时，， ∵拱桥距离水面的高度为米， ∴桥墩露出水面的高度米； 故答案为：0.88； （2）由（1）知，当时，， 设与之间的函数关系式为， 由表格可知，当时，；当时，； ∴，解得， ∴， 与之间的函数关系式为； （3）令，即， 整理可得， 解得（舍），， ∴处距桥墩距离至少为米． 49．（2025·广东·模拟预测）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 【答案】(1) (2)此时面碗中水面的宽度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可知点、点，设抛物线的表达式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可知当与桌面的距离为时，则，然后代入二次函数解析式可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意，可知点、点． 设抛物线的表达式为， ，解得； 抛物线的函数解析式为． （2）解：∵， ∴当与桌面的距离为时，则． 当时，，解得． ． 答：此时面碗中水面的宽度为． 【经典例题八 二次函数与几何图形综合应用】 50．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，墙长25m，另外三边围栏总长60m，平行于墙的一边的长为xm，自行车棚的面积为Sm2 (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求车棚的面积S的最大值及此时x的值． 【答案】(1)， (2)当时， 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），根据长乘以宽得出面积即可； 对于（2），将关系式配成顶点式，再讨论最值即可. 【详解】（1）解：，； （2）解：, ∵抛物线开口向下，对称轴是， ∴当时，函数值y随着x的增大而增大， ∴当时. 51．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，点，在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1)________；________； (2)求的面积； (3)观察图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质． （1）将点代入求出a的值，再将点代入求解即可； （2）作轴于点E，轴于点F，根据割补法求解即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ， 解得：， ， 当时，； （2）解：作轴于点E，轴于点F， ，， ， ； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，y有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 52．（2025九年级上·云南楚雄·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，， 【分析】（1）根据待定系数法和题目所给的条件即可求出抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况考虑：①当时，②当时，③当时，分别求出P的坐标即可． 【详解】（1）解： 直线与轴交于点A， ， 抛物线过点和， ， 解方程组得， ． （2）存在 ，且过原点， ， 点在上， 设点 ，，， 以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形 ①当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ②当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ③当时，是直角三角形，则， ，， ， ， 即， 或，此时或； 综上所述，，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，直角三角形，勾股定理，分类求解是解决问题的关键． 53．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道之间的距离为9米，表示这块空地，点在上，点，在上，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边上． (1)如果矩形花坛的边，分别求出此时矩形花坛的两条邻边长； (2)矩形花坛的面积能否占到三角形空地面积的？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)矩形花坛的两条邻边长分别为6和12 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，交于点，设，则，，易证得，由相似三角形的性质可得，即可得到答案； （2）设，由（1）知，得，并用表示出，由矩形的面积公式得到关于的二次函数，根据二次函数的性质求得矩形面积的最大值，与空地面积的相比较，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，      设，则，， ， ， ， ， 解得：， ，， 这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6米和12米． （2）解：不能，理由如下： 设， 由（1）知， ， ， 解得：， ， 矩形的面积为， 矩形花坛的面积最大为， 又空地面积的为，， 故矩形花坛的面积不能占空地面积的． 54．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点． (1)直接写出点的坐标 ； (2)求抛物线的解析式，并求出点的坐标； (3)如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】(1)(8，0) (2)， (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、待定系数法求二次函数的解析式、矩形的性质、二次函数的综合等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）作交于点D，则，得到 ，由二次函数的性质可得 ，即可得出点B的坐标， （2）设抛物线的解析式为，将代入抛物线得：，求出a的值，即可得出抛物线解析式，联立．即可求出点C的坐标． （3）根据题意得 ，，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）如图1，作交于点D， ∵， ∴， ∴， ∵、B为二次函数与x轴的交点， ∴、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴． （2）设抛物线解析式为， 将代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 联立， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴． （3）∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点， ∴，， 如图2，当点D在点C左侧时， ， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大， 如图3，当点D在点C右侧时， ， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大． 综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大． 55．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）已知过与x轴交于． (1)求抛物线解析式及与x轴另一个交点A的坐标，顶点D的坐标． (2)求直线的解析式及的面积． (3)点P在y轴上且的面积为6，则点P的坐标为______． 【答案】(1)，， (2)，3 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求二次函数的解析式，再化为顶点式求D坐标，令求A点坐标； （2）根据待定系数法求一次函数的解析式，根据求解即可； （3）设，根据三角形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得，， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 解得， ， ， ． （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线与y轴交于E，如图， 当的时，，当的时，， ，， ，，， ，， ， ． （3）解：设， ，， ， 的面积为6， ， ， 或． 56．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点E在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在第一象限内，过点E作轴，交于点F，作轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点M在直线上，是否存在点E，使得是以点O为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点E；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为或 或 或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值；再设点，则点，当点M绕着点O逆时针旋转得到点E时，当点M绕点O逆时针旋转得到点E时，根据旋转的性质，可得点E的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点与， ∴设直线的解析式为， 则． 解得． ∴直线的解析式为． 设，且， 则． ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． ∴． 依题意得， 解得（舍去）或． ∴． （3）解： 令， 则． 解得或． ∴． 设直线的解析式为， 则． 解得． ∴直线的解析式为． ∵是以点O为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，． 当点M绕点O逆时针旋转得到点E时， 分别过点E、M作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，如图． ∵，， ∴． ∴，． 设， ∴，． 则． ∵点M在直线上， ∴． 解得或． 当时，， 即点M与点C重合，点E与点B重合． 当时，． 当点M绕点O逆时针旋转得到点E时， 设点， 则． ∵点M在直线上， ∴． 则． ∵点E在的图象上， ∴． 解得：，或． ∴， 或． 综上，点E的坐标为或 或 或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合．熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和矩形的性质，二次函数的对称性，分情况讨论，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 待定系数法求二次函数解析式 题型二 二次函数中平移问题 题型三 二次函数与方程及不等式综合应用 题型四 二次函数的最值问题 题型五 二次函数的存在性问题 题型六 二次函数的图象和性质综合应用 题型七 实际问题与二次函数的综合应用 题型八 二次函数与几何图形综合应用 【经典例题一 待定系数法求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式． (1)已知抛物线顶点为，且过点； (2)已知抛物线经过点和． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： (1)这个二次函数的解析式是______； (2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在二次函数（、为常数，且）中，与的几组对应值如下表所示： ．．． 0 1 ．．． ．．． 1 ．．． (1)求二次函数的解析式； (2)用描点法在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 6．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值； 7．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）综合与实践 综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用． 如图，经过塔基主入口的迎宾步道（把步道抽象成直线）与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，抛物线顶点对应“光影塔”最高一束激光的末端． 初步感知 （1）求抛物线顶点的坐标． 拓展应用 （2）游客看作迎宾步道上一点，无人机航拍点是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求游客位置点的坐标． 延伸探究 （3）虚拟观景平台是直线上方抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式并化为顶点式． 【经典例题二 二次函数中平移问题】 8．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图象向左平移个单位，若抛物线再次经过点时，求的值． 9．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知二次函数过点，． (1)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； (2)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 10．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴和的最大值，并求的值． (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及拋物线的一段、分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 11．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出的图象； (3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； (4)当时，求y的取值范围． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园．立环过山车“白龙飞天”是其经典项目之一．过山车的一部分轨道，可以近似的看成两段抛物线，在平面直角坐标系中，其图象如图所示，其中轨道抛物线的顶点到的距离，抛物线与轴交于点，（轨道厚度忽略不计）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在轨道距离地面处有两个点和（点在点的左侧，当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了至点，又进入下坡段至最低点，已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长． 13．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点，是抛物线上的两点，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，若满足，请比较与的大小． (3)将抛物线平移，使得其顶点落在直线上，设平移后的抛物线与轴的交点为，求点的纵坐标的取值范围． 14．（2026九年级·贵州贵阳·专题练习）已知二次函数（a，b，c为常数，）的一组对应值如下表． x 1 4 y 4 (1)该二次函数的解析式为________； (2)在下列平面直角坐标系中大致画出该二次函数的图象； (3)该二次函数的图象开口向________，对称轴是直线________，与x轴有________个交点，交点坐标是________，与y轴的交点坐标是________，有最________（填“大”或“小”）值，最值为________； (4)当时，y随x的增大而________，最大值为________；当时，y的取值范围是________； (5)将该二次函数解析式化为顶点式是________，化为交点式是________； (6)将该二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的新图象的解析式为________；将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到的新图象的解析式为________；将该二次函数的图象沿x轴翻折，得到的新图象的解析式为________； (7)若该二次函数的图象与直线交于点和，则关于x的方程的解为________． 【经典例题三 二次函数与方程及不等式综合应用】 15．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线 (1)当为何值时，抛物线与轴有两个不同交点？ (2)若抛物线与轴的两交点分别为、，且，求的值 16．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）已知抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象． (2)若抛物线的顶点为M，抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的右侧），求的面积． 17．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点． (1)求，两点的坐标； (2)若，请直接写出的取值范围___________． 18．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线与直线的一个交点的横坐标是2． (1)求的值； (2)当x为何值时，． (3)请在所给的坐标系中，画出函数与的图象（草图），并根据图象，直接写出时的取值范围． 19．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数． (1)将配方得_____； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）； (3)当x为 时，； (4)时，直接写出y的取值范围是 ； (5)当时，函数y的取值范围为，则a的值为 ． 20．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数． (1)该二次函数的顶点坐标为 ；函数的图象与轴的交点坐标为 ； (2)在平面直角坐标系中画函数图象．（把顶点坐标和图象与轴交点坐标填在表格中，再完善表格） … … … … (3)该抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为 ． (4)当时，直接写出二次函数中值的取值范围是 ． 21．（2025·贵州铜仁·模拟预测）自主学习，阅读下列解题过程： 解一元二次不等式： 解：设，解得：，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，画出二次函数的大致图象如图（1）所示，由图象可知，当或时，函数图象位于x轴上方，此时，即， 所以一元二次不等式的解集为或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：    (1)上述解题过程中，主要渗透了下列数学思想中的______；（选择1个，填写序号） ①分类讨论思想；②数形结合思想； (2)一元二次不等式的解集是_______； (3)用类似的方法解一元二次不等式（要求：在备用图中画出大致图象） 【经典例题四 二次函数的最值问题】 22．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 23．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，∴函数的“最优纵横值”为10．根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求、的值； (3)若二次函数的顶点在，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 24．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 25．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 26．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 27．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）函数， (1)在平面直角坐标系中画出函数图象； (2)当时，求的值； (3)当随的增大而增大时，的取值范围为 ； (4)若在函数图象上有点（与不重合）．的横坐标为的横坐标为．小亮对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，的取值范围为 ． 28．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）阅读下列材料： 某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系中，已知直线，点在抛物线上，求点A到直线l的距离d． 如图1，他过点A作于点B，轴分别交x轴于点C，交直线l于点D，他发现，，可求出的长，再利用求出的长，即为点A到直线l的距离d． 请回答： （1）图1中，____________，点A到直线l的距离____________． 参考该同学思考问题的方法，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是抛物线上的一动点，设点M到直线l的距离为d． （2）如图2， ①，，则点M的坐标为____________； ②，在点M运动的过程中，求d的最小值； 【经典例题五 二次函数的存在性问题】 29．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在轴下方的抛物线上，是否存在点，使得？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 30．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 31．（2025·陕西·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 32．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，已知抛物线L：与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且， (1)求抛物线L的函数表达式； (2)将抛物线L：的图象向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好经过点，求m的值； (3)连接、，在抛物线上是否存在一点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标． 34．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，其顶点为，直线与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作轴于点F，交直线于点E，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)若，求m的值； (3)连接，是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 35．（2025·广东·模拟预测）综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 二次函数的图象和性质综合应用】 36．（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)若点，在抛物线上， ①当时，求的取值范围； ②若，且，求的取值范围． 37．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）对于二次函数，定义它在（p，q是常数）上的最大值与最小值之差为该函数在上的“幅度”R，即． (1)已知二次函数，求它在上的“幅度” (2)已知二次函数（m为常数）． ①求该函数在上的“幅度”R与m的关系式． ②是否存在实数m，使得该函数在上的“幅度”？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 38．（25-26九年级上·广西·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若图形上存在一点，且满足当时，，则称点为图形的一个“垂近点”． (1)如图，图形为线段，点，． ①判断点是否是线段的“垂近点”？说明理由； ②请在图中画出点所有可能的位置；（用阴影部分表示） (2)若图形为直线，在二次函数图象上仅有一个图形的“垂近点”，求的值． 39．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若为第一象限抛物线上的动点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 40．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知二次函数，按以下步骤画图并填空： (1)将的右边配方，得 ，故抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ； (2)列表（根据表格中所给自变量的数值，求出对应的函数值，填到下表中）： 0 (3)描点，连线； 由图象可知，对于二次函数，当 时，随的增大而增大；当 时，函数有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 41．（2025·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若抛物线：和抛物线：的顶点分别为不重合的两点与，同时满足：在的图象上，在的图象上．则称抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，根据该约定，完成下列问题： (1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”． ①：的“携手共进”抛物线一定经过______． ②：与：是互为“携手共进”的抛物线______． ③若两条抛物线是互为“携手共进”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数______． (2)若抛物线：（m，n为实数且）与：互为“携手共进”的抛物线，且当时，抛物线最低点的纵坐标为，求m的值； (3)已知抛物线：的顶点为点A，与x轴交于点M、N，抛物线：的顶点为点B，与x轴交于点P、Q，若抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，且，请问线段AB是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 42．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【经典例题七 实际问题与二次函数的综合应用】 43．（25-26九年级上·陕西·期中）陕西的水果种类繁多，品质优良，成为了当地经济的重要支柱．随着苹果的大量上市，某水果销售商以每箱30元的价格购进了一批苹果进行销售，经过一段时间后，发现以每箱40元的价格销售这批苹果时，平均每天可以售出80箱，若每箱苹果的售价每提高1元，则平均每天少售出2箱． (1)求销售这批苹果平均每天的利润元与每箱的售价（元）之间的函数关系式； (2)当每箱苹果的售价为55元时，求销售这批苹果平均每天的利润． 44．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 45．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为，O、两点相距米． (1)求出点的坐标及球的飞行路线所在抛物线的解析式； (2)请通过计算，判断小明这一杆能否把球直接打入球洞． 46．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 47．（25-26九年级上·全国·课后作业）某科技小组运用信息技术模拟火箭“火龙出水”的运行过程．如下图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)直接写出a，b的值． (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 48．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小路同学根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． /米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 /米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88 经过测量，得出了和的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现是关于的 ． （1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米； （2）求与之间的函数关系式； （3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5，宽为1.5，露出水面高度为1.88的游船．为安全起见，公园要在水面上的两处设置警戒线，并且，要求游船能从两点之间安全通过，则处距桥墩距离至少为多少米． 49．（2025·广东·模拟预测）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 【经典例题八 二次函数与几何图形综合应用】 50．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，墙长25m，另外三边围栏总长60m，平行于墙的一边的长为xm，自行车棚的面积为Sm2 (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求车棚的面积S的最大值及此时x的值． 51．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，点，在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1)________；________； (2)求的面积； (3)观察图象，直接写出当时，的取值范围． 52．（2025九年级上·云南楚雄·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 53．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道之间的距离为9米，表示这块空地，点在上，点，在上，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边上． (1)如果矩形花坛的边，分别求出此时矩形花坛的两条邻边长； (2)矩形花坛的面积能否占到三角形空地面积的？请作出判断并说明理由． 54．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点． (1)直接写出点的坐标 ； (2)求抛物线的解析式，并求出点的坐标； (3)如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围． 55．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）已知过与x轴交于． (1)求抛物线解析式及与x轴另一个交点A的坐标，顶点D的坐标． (2)求直线的解析式及的面积． (3)点P在y轴上且的面积为6，则点P的坐标为______． 56．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点E在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在第一象限内，过点E作轴，交于点F，作轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点M在直线上，是否存在点E，使得是以点O为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点E；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $