专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型五 求x轴与抛物线的截线长 题型六 图象法解一元二次不等式 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 题型八 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型九 根据交点确定不等式的解集 拓展训练一 抛物线与x轴的交点问题 拓展训练二 二次函数与一元二次方程问题综合 拓展训练三 直线与抛物线相切情况的问题 知识点一：求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表是二次函数的若干组自变量与函数值的对应值： … … … … 你认为方程的一个根最接近（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西延安·期中）下面表格是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个解的范围是 ． 0 1 2 1 7 知识点二：二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 【即时训练】 1．（2025·辽宁大连·模拟预测）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·青海海东·期末）若一元二次方程有两个不相等的实数解，则二次函数的图象和轴的交点有 个． 知识点三：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为 ．    【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·广东湛江·期末）抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 1．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）根据表格可知关于的一元二次方程：的解是 ． 0 1 2 3 ．．． 6 2 0 0 2 6 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 4．（25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知二次函数（）与一次函数的图象相交于，两点． (1)求，的值并写出两解析式． (2)求点的坐标 (3)求． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．最大值为4 C．与y轴交点为 D．图像过点 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知二次函数（a，b，c为常数，且），满足以下条件：①；②是方程的一个根；③当时，．则该二次函数的图象可以是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25九年级上·浙江·期中）抛物线与y轴的交点坐标为 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与抛物线 交于点，直线与抛物线的另一个交点为C，则的长为 ．    4．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图1和图2，抛物线与轴交于两点，抛物线与轴交于点和点，其中，抛物线与轴分别交于点． (1)求两点的坐标； (2)如图1，当点、重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（    ） A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是 ． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： … 0 2 … … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为 ． 4．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点． (1)若，求的值．（用含的式子表示） (2)若，且点位于对称轴的两侧，请直接写出的取值范围． 【经典例题四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例4】（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： 下列说法中：该二次函数的对称轴为直线；；方程有两个不相等的实数根；若为任意实数，则，正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是 ． 3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确的结论是 ． 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知抛物线，其顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交于、两点． (1)______；（填、或） (2)______；（填、或） (3)______； (4)抛物线与轴的另一个交点坐标是______； (5)抛物线的解析式为______； (6)直线的解析式为______； (7)______； (8)方程的根为______； (9)写出时的取值范围为______． 【经典例题五 求x轴与抛物线的截线长】 【例5】（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（ ） A．3 B．−3 C．−4 D．−5 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则 ． 3．（2025·四川南充·模拟预测）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则 ． 4．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由． 【经典例题六 图象法解一元二次不等式】 【例6】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数图像上的两点和，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·广东汕头·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②关于的不等式的解集为；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025九年级上·浙江宁波·竞赛）如果满足的实数恰有4个，则实数的取值范围为 ． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的为 ． 4．（25-26九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数的图象如图，请根据函数图象完成以下问题 (1)随的增大而减小的自变量的取值范围是__________； (2)当时，的取值范围为__________； (3)当时，的取值范围为__________， (4)当时，的取值范围为__________． 【经典例题七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例7】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx+1.365＝0的根是（　　） x …… 0 4 …… y …… 0.365 -1 0.365 …… A．0或4 B．或4 C．1或5 D．或2 1．（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，有下列结论：①；②一元二次方程的正实数根在2和3之间；③；④点，在抛物线上，当实数时，．其中，正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）二次函数的图象如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为 ．（结果精确到0.1） 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）在关于的二次函数中，自变量可以取任意实数，下表是自变量与函数的几组对应值： … … … … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位）． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取的值为，使得函数值满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，则点，的横坐标就是方程的解．观察如图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为． 【任务】 (1)在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合    B．分类讨论    C．统计思想    D．转化思想 (2)先完成下表，并判断： 方程的解分别在哪两个相邻的整数之间 的值 0 1 的值 (3)若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 【经典例题八 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例8】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）已知，是抛物线上两点，当且时，总有，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列结论： ①； ②若点，是抛物线上的两点，则； ③； ④若，则； ⑤一元二次方程，有两个不相等的实数根． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的图象如图所示，与轴交于，且．下列结论： ①； ②若，两点均在此函数图象上，则； ③关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ④． 其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号） 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 … y … 0 1 0 … (1)求这个二次函数表达式； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)直接写出不等式的解集__________； (4)当时，y的取值范围是 ． 【经典例题九 根据交点确定不等式的解集】 【例9】（24-25九年级上·云南昭通·期中）直线和抛物线都经过点，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．下列说法不正确的是（   ） ①；②；③；④的解集是 A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 则不等式的解集为 ． 3．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是 ． 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标； (2)将抛物线向下平移________个单位长度后经过原点； (3)结合图象直接回答问题：当取何值时， 【拓展训练一 抛物线与x轴的交点问题】 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线 (1)当为何值时，抛物线与轴有两个不同交点？ (2)若抛物线与轴的两交点分别为、，且，求的值 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线的顶点为D，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，对称轴与x轴正半轴交于点A，． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)点D坐标为，求点C的坐标．（用含n的代数式表示） 3．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【拓展训练二 二次函数与一元二次方程问题综合】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是______． 2．（2025·广东·模拟预测）在人类用智慧架设的无数条从已知通向未知的道路中，方程求解是其中重要的一段路程．虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．我们熟悉的求一元二次方程的解，既可以利用二次函数的图象估算近似解，也可以用配方法、公式法、因式分解法等方法求出精确解．现以方程举例简述估算和精确计算分别是如何操作的： (1)【估算】我们通过下列步骤估计方程的根所在的大致范围． 第一步：问题转化：方程 的根即为函数与x轴的交点横坐标； 第二步：由以往的学习经验可以判断出函数 的图象是一条连续不断的曲线； 第三步：因为当 时，，当时，，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0，1 之间，所以可确定方程 的一个根所在的范围是； 第四步：仿照第三步，可以估计 的另一个根所在的大致范围． 回答问题：请完成第四步，估计 的另一个根在哪两个连续的整数之间； (2)【精算】：请你选用配方法、公式法、因式分解法中的一种方法求出 的精确解； (3)已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有三个交点，其中两个交点在x轴的正半轴上，一个交点在x轴的负半轴上，请你仿照上面材料中的【估算】方法，估算方程：的负根在哪两个连续整数之间． 3．（24-25九年级上·金山南通·期末）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)方程的两个根为____________，不等式的解集为____________； (2)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为_________； (3)若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，求t的取值范围． 【拓展训练三 直线与抛物线相切情况的问题】 1．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数与二次函数图象相切于第二象限的点A． (1)求二次函数的解析式及切点A的坐标； (2)当时，求二次函数函数值的取值范围； (3)记二次函数图象与轴正半轴交于点，问在抛物线上是否存在点（异于）使，若有则求出坐标，若无则说明理由． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D． （1）试判断点C与⊙D的位置关系； （2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．    3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）若抛物线L：与直线l：有且只有一个交点，我们就称此直线l与抛物线L的相切．直线l叫做抛物线L的切线，交点叫做抛物线L的切点． (1)若点A为抛物线与y轴的交点，求以点A为切点的该抛物线的切线的解析式； (2)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； (3)已知直线：、直线：是抛物线的两条切线，当与的交点P的纵坐标为5时，试判断是否为定值，并说明理由． 1．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段练习）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ）． A．-7 B．7 C．-10 D．10 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级上·江西赣州·期中）已知二次函数，则该二次函数图象与轴交点坐标为 ． 7．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）写出一个与轴交点的横坐标互为相反数，且开口向下的二次函数表达式： ． 8．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有 个根（填“0”，“1”或“2”） 9．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是 10．（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）如图，抛物线与轴交于点，，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，，与轴交于点，，，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是 ． 11．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线与x轴交点的坐标； 12．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知：抛物线，经过 (1)求a的值． (2)求出抛物线与坐标轴的交点坐标． (3)当x在什么范围内，y随着x的增大而增大？当x在什么范围内，y随着x的增大而减小？ 13．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）已知二次函数． (1)写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图； (2)结合函数图象，求一元二次方程的解； (3)结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 14．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，二次函数经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当______时，方程； ②不等式的解集为__________________________． 15．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型五 求x轴与抛物线的截线长 题型六 图象法解一元二次不等式 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 题型八 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型九 根据交点确定不等式的解集 拓展训练一 抛物线与x轴的交点问题 拓展训练二 二次函数与一元二次方程问题综合 拓展训练三 直线与抛物线相切情况的问题 知识点一：求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表是二次函数的若干组自变量与函数值的对应值： … … … … 你认为方程的一个根最接近（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了图表法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．观察表格可得当时更接近于，所以得到方程的一个近似根是． 【详解】解：观察表格得：当时，，当时，， 方程的一个根最接近， 故选：C． 2．（24-25九年级上·陕西延安·期中）下面表格是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个解的范围是 ． 0 1 2 1 7 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，根据表格可知二次函数与x轴一个交点在直线和直线之间，则方程的一个解的范围是． 【详解】解：由表格可知，当时，，当，， ∴二次函数与x轴一个交点在直线和直线之间， ∴方程的一个解的范围是， 故答案为：． 知识点二：二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 【即时训练】 1．（2025·辽宁大连·模拟预测）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 2．（24-25九年级上·青海海东·期末）若一元二次方程有两个不相等的实数解，则二次函数的图象和轴的交点有 个． 【答案】2/两 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象与轴的交点，一元二次方程的解的情况是解题的关键．根据二次函数图象与轴的交点，与一元二次方程的解的联系即可解答． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数解， 二次函数的图象和轴的交点有2个． 故答案为：2． 知识点三：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点，， 关于x的方程的解为，， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为 ．    【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点为，， 关于的方程的解为，， 故答案为：，． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·广东湛江·期末）抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点的交点问题，根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标，解出两根即可得到抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标， 解方程得，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 故选：A． 1．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置可判断①；根据对称性可求出二次函数与x轴的另一个交点的横坐标在2和3之间，据此可判断②；函数图象开口向上，则离对称轴越远函数值越大，求出两点到对称轴的距离即可判断③；函数图象开口向上，则顶点的纵坐标为函数的最小值，据此可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与x轴的一个交点的横坐标在和之间，且对称轴为直线， ∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标在2和3之间， ∴方程必有一个根大于2且小于3，故②正确； ∵函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵是抛物线上的两点，且， ∴，故③错误； 当时，，即函数的最小值为， ∴对于任意实数m，都有，即，故④正确； ∴正确的有②④，共2个， 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）根据表格可知关于的一元二次方程：的解是 ． 0 1 2 3 ．．． 6 2 0 0 2 6 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用表中的对应值得到或时，函数值为6，从而可确定的根． 【详解】解：∵或时，， ∴的根为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现图象的变化特点； 根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点中m的值． 【详解】解：， ∴图象的顶点坐标为， ∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为， 把代入，解得：， 作的直线平行轴，如图： ， ∴， 由图象可得， 每4个单位长度的图象为一个循环， ∵，， ∴点与图象的点中的纵坐标是相等的， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知二次函数（）与一次函数的图象相交于，两点． (1)求，的值并写出两解析式． (2)求点的坐标 (3)求． 【答案】(1)，，， (2) (3)3 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合问题，解一元二次方程． （1）根据待定系数法即可求得； （2）解析式联立，解一元二次方程即可求得B的坐标； （3）设直线与y轴的交点为G，则，利用求得的面积． 【详解】（1）解：∵过点， ∴，解得， ∵一次函数的图象过点， ∴， 解得， ∴，； （2）∵二次函数与一次函数的图象相交于，两点， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴B的坐标为； （3）设直线与y轴的交点为G，则， ∴． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．最大值为4 C．与y轴交点为 D．图像过点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，与坐标轴的交点，函数的最值问题． 先将化为顶点式，即可求解对称轴，最值，令可得图像与y轴的交点，把代入函数解析式计算值是否等于即可判断是否经过点． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意 ∵， ∴函数的最大值为，故B正确，符合题意； 对于，当， ∴与y轴交点为，故C错误，不符合题意； 当时，， 则图像不经过点，故D错误，不符合题意； 故选：B． 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知二次函数（a，b，c为常数，且），满足以下条件：①；②是方程的一个根；③当时，．则该二次函数的图象可以是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】采用排除法及特殊值法，结合二次函数的图象与性质即可完成． 【详解】解：∵， ∴a、c异号， 而选项D中，故选项D排除； ∵是方程的一个根， ∴，即当时，二次函数的函数值为3， 由前三个选项知，选项C排除； ∵当时，， ∴当时， ，即， 而选项A中，选项A排除，则正确的是选项B； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，注意数形结合思想的应用． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可． 【详解】把代入得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与抛物线 交于点，直线与抛物线的另一个交点为C，则的长为 ．    【答案】8 【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点，二次函数的性质．先证明轴，然后利用二次函数的性质求出，即可求出的长． 【详解】解：当时，， ∴． ∵， ∴轴， ∴点C的纵坐标是3． ∵的对称轴为直线， ∴， ∴． 故答案为：8． 4．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图1和图2，抛物线与轴交于两点，抛物线与轴交于点和点，其中，抛物线与轴分别交于点． (1)求两点的坐标； (2)如图1，当点、重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）在中，求出当时x的值即可得到答案； （2）在中，求出当时y的值即可得到点P的坐标，再把点P和点C的坐标代入中求出抛物线的解析式，进而求出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，解得或， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵点、重合， ∴抛物线的图象经过点， 又∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的横坐标为，纵坐标为，即抛物线的顶点的坐标为． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（    ） A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12 【答案】D 【分析】根据对称轴方程可得b=-4，可得二次函数解析式，可得顶点坐标为（2，-4），关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，当﹣1＜x≤6时，﹣4≤t≤12，进而求解； 【详解】∵对称轴为直线x＝2， ∴， ∴b＝﹣4， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x， ∴顶点坐标为（2，-4）， ∵﹣1＜x≤6， ∴当x=-1时，y=5，当x=6时，y=12， ∴二次函数y的取值范围为﹣4≤t≤12， ∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标， ∴﹣4≤t≤12， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】由表格可知，在内，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 在内，必有一个x的值对应的函数值， 方程（，为常数）一个根x的范围是， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用及分类讨论思想的运用是解题的关键． 先判断当时，，即方程只有一个实数根，再确定有两个实数根，然后解出方程即可求解． 【详解】解：当时，，即， 则， ∴， ∴， ∴只有，有一个实数根， ∴有两个实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： … 0 2 … … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数的对称轴求法，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系等， 将关于x的方程的解等价于当时，的值是解题的关键； 根据表格数据，得出二次函数经过的点，进一步求得抛物线的对称轴，再利用关于x的方程的解 等价转化为当时，的值，找出时，的值即可． 【详解】由题知，二次函数经过点，，， 点与的纵坐标相等， 抛物线的对称轴为， 点关于抛物线对称轴的对称点为， 当时，的值为或5， 即关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点． (1)若，求的值．（用含的式子表示） (2)若，且点位于对称轴的两侧，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意，将点A、B代入计算求解即可； （2）根据题意得到抛物线图象的对称轴为直线，且图象开口向上，由于点位于对称轴的两侧，且，可得且，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 即， 解得：； （2）解：当时，抛物线， ∴抛物线图象的对称轴为直线，且图象开口向上， ∵点位于对称轴的两侧，且， ∴且， ∴且， 解得． 【经典例题四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例4】（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键． 由图知抛物线与x轴交于点，代入，求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：； 故选：B． 1．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： 下列说法中：该二次函数的对称轴为直线；；方程有两个不相等的实数根；若为任意实数，则，正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组），二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，由于抛物线经过，，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，于是可对进行判断；利用时，最小可判断抛物线开口向上，则可对进行判断；因为，所以抛物线与直线有两个交点，从而可对进行判断；因为对称轴为且，所以时最小为，即，对于任意，，把代入，化简后可得，于是可对进行判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，所以正确； ∵由表中数据得时，最小， ∴抛物线开口向上， ∴，所以错误； 由表格可知，当时，，即二次函数的最小值为， ∵， ∴抛物线与直线有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，所以正确； ∵对称轴为直线，且， ∴当时，取得最小值，即， 对于任意实数，有，移项可得， 又∵，即，将其代入中，得到，化简为，故正确； 综上，正确，正确的个数有个， 故选：． 2．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，掌握“利用数形结合的方法解决一元二次方程的根的问题”是解题的关键． 由关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，可得函数与直线在内有交点，再利用函数图象解决问题即可． 【详解】解： 关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， 函数与直线在内有交点， 的简易图象如图所示， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，， 当时， 当时， 函数与直线在内有交点时，， 关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解时， 的范围为； 故答案为：． 3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 由图象可知a与c的正负，再根据对称轴可得b的正负，由此可判断①；分别求解与时的函数值，根据平方差公式可判断②；根据绝对值的几何意义即可判断③；根据二次函数的最值可得最小值，由此可判断④． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故结论①正确； 由图象可知，函数与x轴交于，且对称轴为， ∴函数与x轴正半轴交于， 当时，， 当时，， ∴， ∴，故结论②正确； ∵，， 此时表示点和到对称轴的距离， 当时， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故结论③错误； ∵抛物线的顶点坐标为， 则y的最小值为m， ∴， ∴， ∴关于的方程无实数根，故结论④正确． ∴正确的结论是①②④． 故答案为：①②④ ． 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知抛物线，其顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交于、两点． (1)______；（填、或） (2)______；（填、或） (3)______； (4)抛物线与轴的另一个交点坐标是______； (5)抛物线的解析式为______； (6)直线的解析式为______； (7)______； (8)方程的根为______； (9)写出时的取值范围为______． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】本题考查一元二次函数的图象与性质，一元一次函数的图象与性质： （1）由抛物线图象开口方向确定a的正负，与轴交点确定c的正负，由对称轴确定b的正负，从而可以得到答案； （2）根据一元二次函数与x轴交点情况即可判断； （3）根据一元二次函数对称轴即可求解； （4）根据一元二次函数图象的对称性即可求解； （5）设一元二次函数的解析式为顶点式，代入求出a即可； （6）将A、B坐标代入一元一次函数的解析式联立方程组求解即可； （7）将代入抛物线解析式即可求解； （8）方程的根为一元二次函数值为3时自变量的值，数形结合即可求解； （9）表示二次函数图象在一次函数的图象上方，数形结合即可求解． 【详解】（1）解：由抛物线图象可得：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， 抛物线对称轴为直线，则， ∴， 故答案为：； （2）解：∵抛物线图象与x轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程有两个不同的根， ∴， 故答案为：； （3）解：抛物线对称轴，则， 故答案为：0； （4）解：关于对称点为1， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故答案为：； （5）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：； （6）解：将和代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：； （7）解：由抛物线图象可得，当时，， 故答案为：； （8）解：即，由图可知抛物线函数值为3时，自变量x为， ∴该方程的两根为， 故答案为：； （9）解：表示二次函数图象在一次函数图象的上方， 由图可知此时， 故答案为：． 【经典例题五 求x轴与抛物线的截线长】 【例5】（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，从而得，再根据线段上有且只有7个点的横坐标为整数，可得当时，，当时，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴． ∵线段上有且只有7个点的横坐标为整数， ∴这些整数为，，0，1，2，3，4. ∵， ∴当时，，当时，， ∴且， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据函数图像点的坐标特征，列出关于m的不等式组，是解题的关键． 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（ ） A．3 B．−3 C．−4 D．−5 【答案】B 【分析】利用根与系数的关系可得：x1+x2=4，x1•x2=-k，所以（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=16+4k，AB的长度即两个根的差的绝对值，利用以上条件代入化简即可得到k的值． 【详解】设方程0=-x2-4x+c的两个根为x1和x2， ∴x1+x2=4，x1•x2=-c， ∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=16+4c， ∵AB的长度即两个根的差的绝对值，即：， 又∵AB=2 ∴=2， 解得，k=-3. 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则 ． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为，， 可得，，利用，再解方程即可． 【详解】解：当，则， 设方程的两根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用建立方程求解是解本题的关键． 3．（2025·四川南充·模拟预测）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据梯形面积求出，结合一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式之间关系化简即可得到答案； 【详解】四边形是梯形，下底，高为3， 由，得，设，， 则，， ∵， ∴． ∴．∴①， 又顶点纵坐标②， ①÷②，得， ∴， 故答案为； 【点睛】本题考查二次函数性质与几何图形应用，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数的性质． 4．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在函数图象上，的面积为6． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入解析式，得，即可得点在函数图象上，令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）设二次函数为，把、、代入二次函数解析式， 得：， 解得． ∴二次函数的解析式为：； （2）把代入解析式，可得：， ∴点在函数图象上． 当，， 解得：， ∴ ∴． 【经典例题六 图象法解一元二次不等式】 【例6】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数图像上的两点和，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数y=－2ax2＋4ax＋c(a>0)，可求得抛物线的对称轴为直线，继而求得(6，y2)关于对称轴的对称点为(－4，y2)，然后根据二次项系数a<0时图像的性质即可求得结果． 【详解】解：二次函数y=－2ax2＋4ax＋c(a>0)， ∴函数对称轴为：直线， ∴(6，y2)关于对称轴的对称点为(－4，y2)， ∵a>0， ∴－2a<0， ∴该函数开口向下， ∵两点分别为(x1，y1)，(6，y2)，y1> y2， ∴－4<x1<6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，能根据题意画出二次函数的图像是解题的关键． 1．（2025·广东汕头·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②关于的不等式的解集为；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由函数图象可得：对称轴为直线， ∴b=-2a， ∴b+2a=0，①正确； ②由图象及对称轴可得，抛物线与x轴的两个交点关于x轴对称， ∴与x轴的另一个交点为（3,0）， ∴的解集为：，②错误； ③当x=2时，y=4a+2b+c， 由②可得当时，y<0， ∴4a+2b+c<0，③正确； ④当x=-1时，a-b+c=0， ∵b=-2a， ∴c=-3a， ∴8a+c=8a-3a=5a， ∵开口向上， ∴a>0， ∴8a+c>0，④错误； 综上可得：①③正确， 故选B． 【点睛】题目主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，熟练运用是解题关键． 2．（2025九年级上·浙江宁波·竞赛）如果满足的实数恰有4个，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值的二次函数，可以根据函数的图像，先画出图像，x轴以下向上翻折得到的图象再向下平移10个单位后，再次将x轴以下反射上去，得到的图像，因为的图像是一条横线，通过图像得a的取值范围． 【详解】解：如图，或时，两函数有4个交点． 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的为 ． 【答案】① 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的相关性质，运用数形结合思想是解题的关键；根据开口方向，对称轴，抛物线与y轴的交点可以判断①，②，根据作差法即可判断③，函数图象在x轴的下方，结合图象即可判断④． 【详解】解：由图可知，该抛物线图象开口向下，且对称轴为直线， ，， ， 抛物线交y轴于正半轴， ， ，故①正确，符合题意； 对称轴为直线 ， ， ， ，故②不正确，不符合题意； ，， ， ，故③不正确，不符合题意； 由图象可知，当时，或，故④不正确，不符合题意； 综上所述，正确的为①， 故答案为：①． 4．（25-26九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数的图象如图，请根据函数图象完成以下问题 (1)随的增大而减小的自变量的取值范围是__________； (2)当时，的取值范围为__________； (3)当时，的取值范围为__________， (4)当时，的取值范围为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据点A和点B的坐标可求出对称轴，再根据函数图象开口向上可得在对称轴左侧随的增大而减小，据此可得答案； （2）由对称性可求出当时，，再由增减性得到当时，y随x的增大而增大，据此可得答案； （3）函数图象开口向上，则离对称轴越远函数值越大，结合点A和点B的坐标可得答案； （4）根据增减性结合，都在函数图象上，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵函数图象开口向上， ∴随的增大而减小的自变量的取值范围是； 故答案为：； （2）解：∵对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同，即当时，， ∵函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，的取值范围为； 故答案为：； （3）解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵在函数图象上， ∴当时，的取值范围为或； 故答案为：或； （4）解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∵，都在函数图象上， ∴当时，的取值范围为或． 故答案为：或． 【经典例题七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例7】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx+1.365＝0的根是（　　） x …… 0 4 …… y …… 0.365 -1 0.365 …… A．0或4 B．或4 C．1或5 D．或2 【答案】B 【分析】利用抛物线经过点（0，0.365）得到c=0.365，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经过点（，-1），由于方程ax2+bx+1.365=0变形为ax2+bx+0.365=-1，则方程ax2+bx+1.365=0的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.365=0的根为x1=，x2=4-． 【详解】解：由抛物线经过点（0，0.365）得到c=0.365， 因为抛物线经过点（0，0.365）、（4，0.365）， 所以抛物线的对称轴为直线x=2， 而抛物线经过点（，-1）， 所以抛物线经过点（4-，-1）， 所以二次函数解析式为y=ax2+bx+0.365， 方程ax2+bx+1.365=0变形为ax2+bx+0.365=-1， 所以方程ax2+bx+0.365=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值， 所以方程ax2+bx+1.365=0的根为x1=，x2=4-． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 1．（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，有下列结论：①；②一元二次方程的正实数根在2和3之间；③；④点，在抛物线上，当实数时，．其中，正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，即可判断①；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a代入抛物解析式可对③选项进行判断；利用二次函数的增减性对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝＝1， ∴b＝-2a＜0， ∴ab＜0，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，故②正确； 把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m， 而b＝﹣2a， ∴a+2a﹣2＝m， ∴a＝，故③正确； ∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上， ∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1； 当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1， ∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，故④错误； 故选B． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）二次函数的图象如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为 ．（结果精确到0.1） 【答案】0.2． 【分析】利用抛物线的对称性进行求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1， ∵方程的一个根为x=-2.2， ∴另一个根为：-1×2-（-2.2）=0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）在关于的二次函数中，自变量可以取任意实数，下表是自变量与函数的几组对应值： … … … … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位）． 【答案】5.8 【分析】根据题意和表格中的数据可以写出一个符合题意的值，注意本题答案不唯一，但要接近x=6． 【详解】由表格可知， 当x=5时，y=-2.20＜0，当x=6时，y=0.75＞0， 则关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于5.8（5.6至5.9均可）， 故答案为：5.8． 【点睛】本题考查了图象法确定一元二次方程的近似根，解答本题的关键是明确题意，写出一个符合要求的即可，本题答案不唯一． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取的值为，使得函数值满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，则点，的横坐标就是方程的解．观察如图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为． 【任务】 (1)在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合    B．分类讨论    C．统计思想    D．转化思想 (2)先完成下表，并判断： 方程的解分别在哪两个相邻的整数之间 的值 0 1 的值 (3)若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 【答案】(1)A，D (2)填表见解析，， (3)方程有两个不相等的实数根，且， 【分析】本题考查了数学思想和二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意结合数学思想可得答案； （2）分别把x的值代入即可填表，根据表格可得答案； （3）根据二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【详解】（1）根据例5求解过程，可知求解过程中，主要运用的数学思想是数形结合，转化思想 故答案为：A，D； （2）填表如下： x的值 0 1 的值 13 3 1 根据上表可得，； （3）， 当时，， 又， 方程有两个不相等的实数根，且，． 【经典例题八 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例8】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）已知，是抛物线上两点，当且时，总有，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，得出关于m的不等式是解题的关键； 由抛物线解析式可知抛物线开口向下，对称轴为直线，由题意可知，解得． 【详解】抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ，是抛物线上两点，当且时，总有， ， ． 故选：B 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列结论： ①； ②若点，是抛物线上的两点，则； ③； ④若，则； ⑤一元二次方程，有两个不相等的实数根． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系．由对称轴为即可判断①；根据点，到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点，得出，对称轴，得出，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④，由图象可知一元二次方程，有两个不相等的实数根，可判断⑤． 【详解】解：对称轴， ， ，①正确； 抛物线开口向上，点，到对称轴的距离小于点的距离， ，故②正确； 经过点， ， 对称轴， ， ， ， ，故③错误； 对称轴， 点的对称点为， 开口向上， 时，．故④正确； 由图象可知一元二次方程，有两个不相等的实数根，故⑤正确； ∴①②④⑤共4个正确． 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次不等式的关系．先将变形为，再分三种情况利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴当时，恒成立， 当时，即对应的二次函数在范围内其图象在轴下方， ∴二次函数的图象关于对称， ∵， ∴二次函数的图象开口向上，且时，有最大值， ∴，解得：， ∴； 当时，即对应的二次函数在范围内其图象在轴下方， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴，解得：， ∴； 当时，恒成立； 综上，k的取值范围是． 故答案为：． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的图象如图所示，与轴交于，且．下列结论： ①； ②若，两点均在此函数图象上，则； ③关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ④． 其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，根据函数图象可得，得出方程的两个根为和，进而根据当时，，得出当时，，则，对称轴为直线，即可判断①②；根据与无交点即可判断③，根据根与系数的关系可得，结合，即可判断④． 【详解】解：根据函数图象可得， ∴方程的两个根为和， 又∵当时，， 设，当时，， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，故①正确； ∵的函数图象的对称轴为直线， 又，关于直线对称， ∴若，两点均在此函数图象上，则，故②正确； 如图 与无交点， ∴关于的一元二次方程无实数根，故③不正确； ∵方程的两个根为和， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 … y … 0 1 0 … (1)求这个二次函数表达式； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)直接写出不等式的解集__________； (4)当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图不等式等知识点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）运用待定系数法结合表格求解即可； （2）根据表格、描点、连线即可画出二次函数的图象； （3）先画出函数，然后根据函数图象即可解答； （4）根据函数图象确定函数y在的取值范围即可． 【详解】（1）解：由表格可得，当时，；当时，；当时，， ∴，解得， ∴这个二次函数的表达式为． （2）解：根据表格，描点、连线，画出函数图象如下： （3）解：如图：先画出函数， 由函数图象可得不等式的解集为． （4）解：当时，， 如图：由函数图象可得：当时，y的取值范围是． 【经典例题九 根据交点确定不等式的解集】 【例9】（24-25九年级上·云南昭通·期中）直线和抛物线都经过点，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数交点解不等式，掌握一次函数、二次函数图象和性质是解题的关键． 根据题意作图，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图， ∴根据图象可知，不等式的解集为或； 故选：D． 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．下列说法不正确的是（   ） ①；②；③；④的解集是 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数字母系数符号的确定，二函数与x轴交点，二次函数与不等式，根据函数图像的特点，利用二次函数的性质逐一计算判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴①正确， 由图象可知抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴②正确， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴③正确， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为，且抛物线开口向下， ∴的解集是， ∴④错误， 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由表可知，二次函数与直线的交点为和，再根据函数交点的位置即可确定不等式的解集． 【详解】解：由表可知，二次函数经过点和， ∵和都在直线上， ∴二次函数与直线的交点为和， 由表可知，当时，二次函数的图象在直线的上方， ∴当时，， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数图象综合，根据抛物线与轴没有交点即可判断①；由图象可得，当时，，即可判断②；由图象可得，当时，，即可判断③；由图象可得，当时，，即可判断④，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴，故①错误； 由图象可得，当时，，故，故②错误； 由图象可得，当时，，故，故③正确； 由图象可得，当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的是③④， 故答案为：③④． 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标； (2)将抛物线向下平移________个单位长度后经过原点； (3)结合图象直接回答问题：当取何值时， 【答案】(1)， (2)4 (3)或 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）令，则，解方程即可得到点A，B的坐标； （2）设抛物线向下平移n个单位长度，则新抛物线解析式为，将原点坐标代入解析式，即可求得n的值； （3）求时x的取值，即求抛物线在x轴下方对应的自变量x的取值范围，结合图象即可解答． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴，． （2）解：设抛物线向下平移n个单位长度，则新抛物线解析式为， ∵新抛物线过原点， ∴，解得， ∴将抛物线向下平移4个单位长度后经过原点． 故答案为：4． （3）解：∵二次函数的图象与轴交于，， ∴由图象可得，当或时，． 【拓展训练一 抛物线与x轴的交点问题】 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线 (1)当为何值时，抛物线与轴有两个不同交点？ (2)若抛物线与轴的两交点分别为、，且，求的值 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）先根据及根与系数的关系求出，进而得出求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：； （2）解：∵抛物线与轴的两交点分别为、，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，满足，符合题意． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线的顶点为D，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，对称轴与x轴正半轴交于点A，． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)点D坐标为，求点C的坐标．（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据，点B在x轴的负半轴，可以得到点B的坐标和顶点的横坐标，然后代入函数解析式，即可得到b、c的值，从而可以写出二次函数的表达式； （2）根据点D坐标为，．可以得到点A和点B的坐标，从而可以得到c与n的关系，然后即可写出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵，点B在x轴的负半轴， ∴点B的坐标为，点D的横坐标为1， ∴， 解得， 即二次函数的表达式为； （2）解：点D坐标为，． ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 解得， ∴点C的坐标为． 3．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 【拓展训练二 二次函数与一元二次方程问题综合】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）设二次函数的解析式为，再利用待定系数法解答即可； （）根据二次函数的性质解答即可； （）由二次函数的性质可得当时，，即可得要使关于的一元二次方程有实根，则抛物线与直线有交点，进而即可求解； 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，二次函数的图象过点和 ， ∴可设二次函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴这个二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 由表中数据可知，当时，或， ∴当时，的取值范围为或； （3）解：当时，， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数的取值范围为， 要使关于的一元二次方程有实根，则抛物线与直线有交点， ∴， 故答案为：． 2．（2025·广东·模拟预测）在人类用智慧架设的无数条从已知通向未知的道路中，方程求解是其中重要的一段路程．虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．我们熟悉的求一元二次方程的解，既可以利用二次函数的图象估算近似解，也可以用配方法、公式法、因式分解法等方法求出精确解．现以方程举例简述估算和精确计算分别是如何操作的： (1)【估算】我们通过下列步骤估计方程的根所在的大致范围． 第一步：问题转化：方程 的根即为函数与x轴的交点横坐标； 第二步：由以往的学习经验可以判断出函数 的图象是一条连续不断的曲线； 第三步：因为当 时，，当时，，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0，1 之间，所以可确定方程 的一个根所在的范围是； 第四步：仿照第三步，可以估计 的另一个根所在的大致范围． 回答问题：请完成第四步，估计 的另一个根在哪两个连续的整数之间； (2)【精算】：请你选用配方法、公式法、因式分解法中的一种方法求出 的精确解； (3)已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有三个交点，其中两个交点在x轴的正半轴上，一个交点在x轴的负半轴上，请你仿照上面材料中的【估算】方法，估算方程：的负根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1)在之间 (2) (3)在之间 【分析】本题为阅读理解题，主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法，有一定的难度，注意数形结合． （1）根据题意，通过计算时，，当时，即可下结论； （2）根据配方法求方程的根即可； （3）根据题意，通过计算时，，当时，即可下结论． 【详解】（1）解：时，， 时，， 所以的另一个根在之间． （2）解：采用配方法：， ， ， ， ． （3）解：时，， 时，， ∴的负根在之间． 3．（24-25九年级上·金山南通·期末）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)方程的两个根为____________，不等式的解集为____________； (2)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为_________； (3)若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，求t的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数与不等式的关系，待定系数法求二次函数的解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点的横坐标就是方程的两个根；抛物线位于x轴上方部分的横坐标的取值范围即为不等式的解集； （2）结合函数图象，利用直线与抛物线有2个交点得到的范围； （3）根据待定系数法求得抛物线解析式，把，，代入求得函数值，结合函数图象，写出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线开口向下，抛物线与轴的交点为，， 方程的两个根为，； 由图象可得：不等式的解集为， 故答案为，，； （2）解：抛物线的顶点的纵坐标为2， 抛物线与直线只有一个公共点， 当时，抛物线与直线有两个公共点， 即方程有两个不相等的实数根， 满足条件的的范围为， 故答案为； （3）解：设抛物线解析式为， 把代入得，， ， ， ∴化为 当时，，当时，， 当时，， ∴． 【拓展训练三 直线与抛物线相切情况的问题】 1．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数与二次函数图象相切于第二象限的点A． (1)求二次函数的解析式及切点A的坐标； (2)当时，求二次函数函数值的取值范围； (3)记二次函数图象与轴正半轴交于点，问在抛物线上是否存在点（异于）使，若有则求出坐标，若无则说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)有，． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，灵活利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）联立一次函数与二次函数表达式并整理得：，再求出时m的值，然后将m的值代入计算即可； （2）由抛物线的表达式知，其顶点为，当时，；当时，，据此即可解答； （3）求出直线的表达式为：，而，则直线和直线关于x轴对称，进而得到直线的表达式为：，然后与抛物线联立即可解答． 【详解】（1）解：联立一次函数与二次函数表达式并整理得：， 称该直线与此抛物线相切于点A， 则，解得：或， 当时，由，解得：； 当时，由，解得：（舍去）， 故点，二次函数表达式为：． （2）解：∵， ∴该抛物线的顶点为， 当时，；当时，， 故函数值的取值范围是：． （3）解：∵二次函数图象与轴正半轴交于点， ∴， 设直线的表达式为：， 把点、点代入可得： ，解得， ∴直线的表达式为：， ， ∴直线和直线关于x轴对称， ∴点关于x轴的对称点在直线上， 设直线的表达式为：， 把点、点代入可得： ，解得， ∴直线的表达式为：， ∴，即， 解得：（舍去）或1， ∴点． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D． （1）试判断点C与⊙D的位置关系； （2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．    【答案】（1）点C在圆上，见解析；（2）直线CM与⊙D相切，见解析；（3）不存在，见解析 【分析】（1）先用待定系数法求出a的值，然后求出点A和点B的坐标，求得AD、CD的长进行比较即可判定； （2）求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定； （3）过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE＝AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C（0，4）， ∴4＝9a+， 解得：a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)2+， 令y＝0，则﹣ (x﹣3)2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（8，0）； ∴AB＝10， ∴AD＝5， ∴OD＝3. ∵C（0，4）， ∴CD＝＝＝5， ∴CD＝AD， ∴点C在圆上； （2）由抛物线y＝a(x﹣3)2+，可知：M(3，)， 设直线CM的解析式为：y=kx+b， ∵C（0，4），M(3，)， ∴， ∴，   ∴直线CM为y＝+4， 设直线CM的解析式为：y=kx+b， ∵C（0，4），D(3，0)， ∴， ∴，   ∴直线CD为：y＝﹣x+4， ∵， ∴CM⊥CD， ∵CD＝AD＝5， ∴直线CM与⊙D相切； （3）不存在，理由如下： 如图，过点C作CE∥AB，交抛物线于E，    ∵C（0，4）， ∴当y=4时，4＝﹣ (x﹣3)2+， 解得：x＝0，或x＝6， ∴CE＝6， ∴AD≠CE， ∴四边形ADEC不是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，勾股定理，平行四边形的判定，点与圆的位置关系，切线的判定等知识.熟练掌握待定系数法及切线的判定方法是解答本题的关键. 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）若抛物线L：与直线l：有且只有一个交点，我们就称此直线l与抛物线L的相切．直线l叫做抛物线L的切线，交点叫做抛物线L的切点． (1)若点A为抛物线与y轴的交点，求以点A为切点的该抛物线的切线的解析式； (2)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； (3)已知直线：、直线：是抛物线的两条切线，当与的交点P的纵坐标为5时，试判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)定值，理由见解析 【分析】(1)直线与切线的交点列出方程，解方程即可得出结果； （2）直线和抛物线切于一点即可列出方程，解方程得出结果； （3）根据交点求出的代数式，再利用交点个数列出关于的方程． 【详解】（1）解：由题意可知：，设过点A的切线的解析式为 联立得 解得， ∵只有一个交点 ∴ ∴ ∴解析式为 （2）解：∵直线与相切 联立得 解得 ∴切点为 又∵直线与，都相切于同一点 ∴经过点， ∴ 解得 ∴ 联立 得 ∴ ∴，， ∴的解折式为 （3）解：是定值 ∵与的交点P的纵坐标为5，令 ∴， ∴直线：，直线： 联立 得 由题意得： 同理可得 ∴，为的两根 ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的交点的综合题，根据直线与直线的交点、抛物线与直线的切点列出方程是解题的关键． 1．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段练习）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ）． A．-7 B．7 C．-10 D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数，数形结合是解题的关键． 一元二次方程有两个相等的实数根，即，则函数与函数只有一个交点，结合图象求解即可． 【详解】一元二次方程有两个相等的实数根， 即，则函数与函数只有一个交点， ，解得． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是， 故选：D． 4．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键；原不等式可转化为，表明二次函数的图象位于一次函数的图象下方，观察图象即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 上式表示二次函数的图象位于一次函数的图象下方， 观察图象知，， 即不等式的解集为， 故选：C． 5．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． ①判断二次函数与x轴另外一个交点的位置，易得当时，，据此可判断①；②根据顶点横坐标和对称轴公式求出a、b关系，代入①中结论运算判断即可；③根据抛物线在顶点处取得最大值即可判断；④根据抛物线图象，数形结合即可判断④． 【详解】解：抛物线顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， 图象与x轴的一个交点在，之间， 图象与x轴另一交点在，之间， ∴当时，，即，故①正确； 抛物线对称轴为直线， ， 时，，故②正确； 抛物线开口向下，顶点坐标为， 故二次函数有最大值，当时，最大值为， ，即，故③正确； 的最大值为， 由图可知必有两个不相等的实数根，故④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 6．（24-25九年级上·江西赣州·期中）已知二次函数，则该二次函数图象与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点坐标问题，掌握与y轴的交点坐标的横坐标为0是解题的关键．将代入二次函数求解即可． 【详解】解：将代入二次函数中，则， 故二次函数与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）写出一个与轴交点的横坐标互为相反数，且开口向下的二次函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学握二次函数与x轴交点的特点以及二次函数的开口方向与二次项系数的关系． 先根据与x轴交点横坐标互为相反数设出交点坐标，再结合开口向下确定二次项系数，进而写出二次函数表达式． 【详解】解：设二次函数与x轴的交点横坐标为和，那么二次函数可表示为，即， 因为二次函数开口向下，所以二次项系数， 我们可以取，则二次函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有 个根（填“0”，“1”或“2”） 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、方程与函数的关系；用到的思想是函数与方程思想；方法是利用二次函数的连续性判断函数值的正负变化来确定方程根的个数；解题关键是根据表格中函数值的正负变化，结合二次函数图像是抛物线（最多有两个不同的x值使来判断；易错点是忽略二次函数的连续性以及抛物线的特征，错误判断根的个数． 首先观察表格里x对应的y值，发现当x在不同区间时，y值从负数变为正数，因为二次函数是连续的，所以在这些区间内必然存在使的x值．又因为二次函数的图像是抛物线，最多有两个不同的x值能让，所以可以得出方程有2个根． 【详解】由表格可知，当时，； 当时，，y从正数变为负数． 当时， 当时，y从负数变正数． 由于二次函数图像是抛物线，最多有两个不同的x值使， 所以方程有2个根． 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了把化成顶点式，的最值，待定系数法求二次函数解析式，利用不等式求自变量或函数值的范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据二次函数图象的顶点坐标，设出顶点式，再将代入求得解析式，然后结合求出的取值范围 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像过， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线， 当时，有最小值， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，有最大值0， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】 10．（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）如图，抛物线与轴交于点，，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，，与轴交于点，，，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答． 【详解】解：将代入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，的横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，的横坐标为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线与x轴交点的坐标； 【答案】(1) (2)抛物线与x轴交点的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式的一般步骤是解题的关键． （1）把两个已知点的坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可确定抛物线解析式； （2）解可得到抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】（1）把代入，得 ∴，    所以抛物线的表达式为． （2）当时，， 解得．   ∴抛物线与x轴交点的坐标为． 12．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知：抛物线，经过 (1)求a的值． (2)求出抛物线与坐标轴的交点坐标． (3)当x在什么范围内，y随着x的增大而增大？当x在什么范围内，y随着x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)与x轴的交点坐标为，；与y轴的交点坐标为 (3)时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的待定系数法求参数、二次函数与坐标轴的交点求法以及二次函数的增减性，解题的关键是掌握“函数图象过点则点的坐标满足函数解析式”、“与x轴交点令，与y轴交点令”及“二次函数增减性由开口方向和对称轴决定”的核心方法． （1）将点代入抛物线解析式，得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值； （2）求与x轴交点时，令，代入的值后解一元二次方程得交点横坐标；求与y轴交点时，令，代入解析式得交点纵坐标； （3）先根据二次函数一般式求出对称轴，由二次项系数判断开口方向，再结合开口方向和对称轴确定y随x增大而增大或减小的x范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将，代入解析式得：， 即． 整理得：， 解得：． （2）由（1）知，则抛物线解析式为， 令，则， 因式分解得：， 解得：，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为，； 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． （3）对于抛物线，对称轴为直线． ∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． 13．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）已知二次函数． (1)写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图； (2)结合函数图象，求一元二次方程的解； (3)结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，图见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式即可得出该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，再列表，描点，连线即可画出函数图象； （2）由函数图象即可得解； （3）由函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 列表得： … … … … 画出函数图象如下： （2）解：由图象可得，一元二次方程的解为，； （3）解：由图象可得，时，的取值范围． 14．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，二次函数经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当______时，方程； ②不等式的解集为__________________________． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数经过点，，，则列出方程组，再分别解得的值，即可作答． （2）①理解题意，得出，再解得的值，即可作答． ②二次函数的开口向上，再结合二次函数经过点，，故不等式的解集为，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，，， ∴， 解得 ∴； （2）解：①由（1）得， 依题意，， 整理得， 解得； ②由（1）得， ∵， ∴二次函数的开口向上， ∵二次函数经过点，， ∴不等式的解集为． 15．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1，（2）（3）或（4）①②或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，运用数形结合思想是解题的关键； （1）把代入可求得a的值；令，即可求得二次函数与x轴的另一个交点的坐标； （2）先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式； （3）根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值； （4）①令，即可求得二次函数与x轴的交点A，B的坐标； ②根据图象写出关于h的不等式，进而求得h的取值范围． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 ， 解得， 令， 解得 ， 二次函数与x轴的另一个交点的坐标为： ， 故答案为：1，； （2）解：抛物线的顶点坐标为：， 翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为：， 故答案为：； （3）解：根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大时， x的取值范围为：或； （4）解：①令， 解得：， ； ②当时，新图象的函数值y随x增大而增大， 或， 解得：或． 学科网（北京）股份有限公司 $