第二十二章 二次函数重难点检测卷 -2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第二十二章 二次函数重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第第二十二章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·山东济南·课后作业）下列哪些式子表示y是x的二次函数（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西·阶段练习）抛物线先向左平移 1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x y 3 5 3 则，y的值是（   ） A．5 B． C． D． 5．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2；其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（cm/s）与弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．若图2中，则n的值是（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线的顶点坐标为 ． 12．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数向左平移个单位，向上平移个单位得到函数解析式是 ． 13．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若点，都在二次函数的图象上，则 ．(填“>”“”或“=”) 14．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示，在同一坐标系中，作出①；② ；③的图象，则图象，，对应的函数解析式依次是 ．（填序号） 15．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示．图象过点，其对称轴为直线，则由图象可知，不等式的解集为 ． 16．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大． 17．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 18．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ； （2）点为抛物线上一点，且以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积，则点的坐标为 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）已知抛物线（a是常数）． (1)求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； (2)若该二次函数有最小值，求a的值． 20．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．设每吨降价x万元，每天的利润为w万元． (1)求w与x的函数表达式． (2)该果商如何定价才能使每天的利润最大？并求出其最大值． 21．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，二次函数（为常数）的图象的对称轴为直线． (1)求的值． (2)给出一种平移方案，使该二次函数的图象经过原点，并写出平移后图象所对应的二次函数的表达式． 22．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，，点是这条抛物线上的一点，其横坐标为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值； (3)若过点作与轴平行的直线交抛物线于点，交轴于点，且点是线段的中点，求的值； (4)当时，抛物线在，两点之间（包含，两点）的图象的最低点到轴的距离比最高点到轴的距离大1，直接写出的取值范围． 23．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． (1)请填写表中空格处的数值； (2)结合表格，画出这个二次函数的图象； (3)结合图象可知，当时，的取值范围是___________． 24．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）请仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（保留作图痕迹） (1)如图1，已知二次函数交轴于、两点，、两点是抛物线上的对称点，请利用已知点作抛物线的对称轴． (2)如图2，在抛物线对称轴上作点，使的值最小，写出的坐标． 25．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 26．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）【问题情境】如图，抛物线（、为常数，且）与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点是抛物线上的点，连接． 【初步探究】 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点在直线上方运动时，连接、、，求四边形面积的最大值，并写出此时点的坐标； 【延伸拓展】 （3）如图2，若点是轴上的动点，点的横坐标为3．试判断是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 二次函数重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第第二十二章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·山东济南·课后作业）下列哪些式子表示y是x的二次函数（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判定即可． 【详解】A、该函数y不是x的二次函数，故本选项错误； B、该函数化简后:y=2x²-2x符合y是x的二次函数的定义，故本选项正确； C、, y是x的一次函数，故本选项错误； D、由原函数得到：y=，属于一次函数，故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，根据、的符号根据一次函数与反比例函数的图象，逐项分析即可作出判断． 【详解】解：A．一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，二次函数的图象开口向下，则，矛盾，故A错误； B．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向上，则，矛盾，故B错误； C．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向上，则，矛盾，故C错误； D．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向下，则，对称轴，则，故D正确； 故选：D． 3．（25-26九年级上·广西·阶段练习）抛物线先向左平移 1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键； 根据左加右减，上加下减的平移原则计算即可． 【详解】解：抛物线 先向左平移 1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线， 故选：D． 4．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x y 3 5 3 则，y的值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴是直线，再根据二次函数的对称性，即可解答． 【详解】解：由表格可知，二次函数的对称轴是直线， ∴二次函数上的点关于对称轴的对称点为， ∴当时的函数值与时的函数值相等为． 故选D． 5．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故选：A． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据交点确定不等式的解集，根据题意找到二次函数图象在一次函数图象下方的部分，从而即可确定不等式的解集； 【详解】解：由图可知：当时，二次函数图象在一次函数图象下方， 即此时； 故选：D． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便． 根据所建坐标系，易求、、的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度长． 【详解】解：由题意得，抛物线过点、、， 设， 把代入， 得， 解得， ． 令得， ， 门的高度约为． 故选：B． 8．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∵函数的对称轴为直线， 则， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2；其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，①拋物线开口向下推出根据对称轴为直线，推出根据抛物线与轴交点在轴上方，推出即可判断；②抛物线与轴有2个交点，即可判断；③得得即可判断；④时，为函数最大值，得，进而得，即可判断；⑤方程的四个根分别为和的根，即可判断； 【详解】解：拋物线开口向下， 抛物线对称轴为直线， 抛物线与轴交点在轴上方， ，①正确； 抛物线与轴有2个交点， ，②错误； ，③正确． 时，为函数最大值， ④正确； 方程的四个根分别为和的根， 抛物线关于直线对称， 抛物线与直线的交点的横坐标之和为2，抛物线与直线的交点横坐标之和为2， 方程的四个根的和为4，⑤错误． 故选：B 10．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（cm/s）与弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．若图2中，则n的值是（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设二次函数的解析式为，待定系数法进行求解即可． 【详解】解：由题意，二次函数的顶点坐标为，抛物线过点， ∴设， 把代入，得， 解得； 故选B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标求解，解题的关键是将抛物线的解析式化为顶点式． 通过配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标． 【详解】解： 所以抛物线的顶点式为，其顶点坐标为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数向左平移个单位，向上平移个单位得到函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图象平移对解析式的影响，图象左右平移影响“”，作用效果是“左加右减”，图象上下平移影响整体函数值，作用效果是“上加下减”，据此即可求出新的函数解析式． 【详解】解:二次函数向左平移个单位，得到 向上平移个单位，得到 ∴函数解析式是：或． 故答案为:或． 13．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若点，都在二次函数的图象上，则 ．(填“>”“”或“=”) 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，理解二次函数图象变化与对称轴的关系是解题关键． 根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小进行求解即可． 【详解】解：由于点，都在二次函数的图象上， ，可知函数的对称轴为， 由于，，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 由于在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小， ． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示，在同一坐标系中，作出①；② ；③的图象，则图象，，对应的函数解析式依次是 ．（填序号） 【答案】①③② 【分析】本题主要考查二次函数的二次项系数与图象的关系，结合抛物线的形状与有关，根据的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【详解】解：∵①；② ；③ ∴，二次项系数a分别为、、， ∵， ∴抛物线②的开口最宽，抛物线①的开口最窄． ∴图象，，对应的函数解析式依次是①③②． 故答案为：①③②． 15．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示．图象过点，其对称轴为直线，则由图象可知，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标为，再结合二次函数的图象即可得解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．核心知识点是利用二次函数模型解决最值问题．解题关键在于建立正确的二次函数表达式，通过分析函数对称轴与开口方向，结合自变量实际取值范围，求出日营业收入最大时的房价．设房价提高x个10元，日营业收入为y元，进而构建日营业收入的二次函数关系式．再依据二次函数性质，找到对称轴，结合房价的取值范围，确定使日营业收入最大的房价． 【详解】解：设房价提高x个10元，日营业收入为y元． 此时房价为元，日均入住数为间． 日营业收入，展开并整理： 对于二次函数，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值． 对称轴为． 当时，房价为元，且150元在元范围内． 综上，该宾馆将标准房价格提高到150 元时，客房的日营业收入最大， 故答案为：150． 17．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 18．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ； （2）点为抛物线上一点，且以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积，则点的坐标为 ． 【答案】 或或 【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质并求出二次函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）将点代入抛物线解析式 可得：， 解得：， 则拋物线解析式为：． 故答案为： （2）设点P的坐标为， ∵，， ∴， ∵以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积， ∴ 则或， 解得，， 当时，与重合，故舍去， ∴点的坐标为或或 三、解答题（8小题，共64分） 19．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）已知抛物线（a是常数）． (1)求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； (2)若该二次函数有最小值，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)a的值为1或5 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）令，得，证明即可； （2）根据二次函数性质，利用顶点坐标公式计算即可． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； （2）解：， ∴该二次函数有最小值， 解得：， ∴a的值为1或5． 20．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．设每吨降价x万元，每天的利润为w万元． (1)求w与x的函数表达式． (2)该果商如何定价才能使每天的利润最大？并求出其最大值． 【答案】(1) (2)定价为每吨4.5万元时，才能使每天的利润最大，最大利润为万元． 【分析】本题考查了二次函数在实际利润问题中的应用，包括建立二次函数模型，求解二次函数表达式，以及利用二次函数的性质求解最值．解决本题的关键是根据利润公式建立二次函数模型求解出二次函数解析式． （1）根据利润每吨利润销售量，表示出每吨利润和销售量即可建立函数表示式； （2）将函数表达式进行配方求求最大值即可． 【详解】（1）解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， ∵原本按每吨5万元出售， ∴现在按每吨万元出售， ∵每吨的成本为2万元， ∴每吨的利润为万元， ∵每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨， ∴每吨降价x万元，每天销售量相应增加吨， ∵原本平均每天可售出100吨， ∴现在平均每天可售出吨， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴万元， 答：定价为每吨4.5万元时，才能使每天的利润最大，最大利润为万元． 21．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，二次函数（为常数）的图象的对称轴为直线． (1)求的值． (2)给出一种平移方案，使该二次函数的图象经过原点，并写出平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】(1) (2)抛物线向下平移3个单位，抛物线平移后的解析式为（答案不唯一） 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键． （1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案； （2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则，从而可得平移方式及平移后的解析式． 【详解】（1）解：． ∵图象的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴二次函数的表达式为， ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点， ∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为（答案不唯 一）． 22．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，，点是这条抛物线上的一点，其横坐标为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值； (3)若过点作与轴平行的直线交抛物线于点，交轴于点，且点是线段的中点，求的值； (4)当时，抛物线在，两点之间（包含，两点）的图象的最低点到轴的距离比最高点到轴的距离大1，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练利用分类讨论的思想，正确画图是解题的关键． （1）运用待定系数法求出，的值即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可求出m的值； （3）设点，根据点是的中点可得点的横坐标为，可得，解方程可求出的值；‘ （4）分类讨论，分析不同情况的最低点和最高点，根据题意即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线（，是常数）经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点与此抛物线的顶点重合，且横坐标为， ∴； （3）解：∵点在抛物线上，且横坐标为， ∴设， ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∵点是线段的中点， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴，（舍去）， 故． （4）解：当时，此时点P在点B左边， 此时点P为最高点，点B为最低点， ∵到x轴的距离为3， ∴点P到x轴的距离为2， ∴点P的纵坐标为， 把代入抛物线，可得， 解得，（舍去）， ∴； 当时，此时点P在点B右边， 此时点P为最低点，点B为最高点， 最低点到x轴的距离不可能比最高点到x轴的距离大1，故不成立； 当时，此时点P在点B右边，此时二次函数顶点为最低点，点为最高点， 最低点到x轴的距离比最高点到x轴的距离大1，恒成立； 当时，此时点P在点B右边， 此时二次函数顶点为最低点，点P为最高点， ∴点P的纵坐标为3， 把代入抛物线，可得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，或或． 23．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． (1)请填写表中空格处的数值； (2)结合表格，画出这个二次函数的图象； (3)结合图象可知，当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了画二次函数的图象、利用图象求函数值的取值范围． 根据表中的自变量求出函数值，填表即可； 根据中表格中的数据列表、连线，即可得到二次函数的图象； 利用函数图象得出当时，的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表如下： （2）解：画函数图象如下： （3）解：由函数图象可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时， 24．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）请仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（保留作图痕迹） (1)如图1，已知二次函数交轴于、两点，、两点是抛物线上的对称点，请利用已知点作抛物线的对称轴． (2)如图2，在抛物线对称轴上作点，使的值最小，写出的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）本题考查二次函数对称性，根据对称的性质连接与得到交点，连接与得到交点，所在直线即为所求； （2）本题考查轴对称最短距离和问题，根据、两点是抛物线上的对称点得到，即最小时最小，连接交对称轴于一点即为所求，再根据抛物线性质求点即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得，连接与得到交点，连接得到交点，所在直线即为对称轴如图所示， （2）解：作点关于抛物线对称轴的对称点， ∵、两点是抛物线上的对称点， ∴， ∴最小时最小， ∴连接交对称轴于一点即为点，如图所示， 设直线为， 由图可知，， 得， 解得， ∴， ∴时，， ∴． 25．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】(1)函数表达式为 (2) (3)小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：， 解得：， ∴函数表达式为； （2）解：由题意得，设， ∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，， 解得：， ∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：设铅直高度为，由题意得， ∴； ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 26．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）【问题情境】如图，抛物线（、为常数，且）与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点是抛物线上的点，连接． 【初步探究】 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点在直线上方运动时，连接、、，求四边形面积的最大值，并写出此时点的坐标； 【延伸拓展】 （3）如图2，若点是轴上的动点，点的横坐标为3．试判断是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）四边形面积的最大值为32，此时P的坐标为；（3）或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，根据四边形面积即可用t表示出面积，再根据二次函数的性质即可求出最大值和P的坐标； （3）设，根据勾股定理进行分类讨论即可求出点M． 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，勾股定理等． 【详解】解：（1）将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）由可知， ∵直线过，故可设直线的解析式为， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴交于点， 设，则， ∴四边形面积 ， ∵点在直线上方， ∴当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当时，， 设， ， ①当为斜边时，26， 解得， ， ∵与B重合，故舍去； ②当为斜边时，26， 解得， ③当为斜边时，26， 解得或， 或（舍去）； 综上所述，满足条件的点坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $