15.3 等腰三角形（基础巩固+能力提升） 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

2 1 等腰三角形（基础巩固+能力提升） 【题型一、等腰三角形与角度的关系】 1．如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 3．如图，中，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，，为中点，则 ． 5．如图，在中，，垂足为，点在上，，，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)求的度数． 6．在中，，若为等腰三角形，则的度数为 ． 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为 ． 8．如图，在中，，点D在上，点E在上，且，则的度数是 ． 【题型二、等腰三角形的性质和判定】 9．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，E． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为16，求的周长． 10．如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 11．在中，，在中，，平分交于点O，      (1)如图（1），求证：． (2)如图（2），若E为上一点，且．求证：． 12．如图，已知在中， (1)试用直尺和圆规在AC上找一点D，使（不写作法，但需保留作图痕迹）； (2)在（1）中，连接BD，若，，求的周长； (3)在（1）中，连接BD，若，求的度数． 【题型三、等边三角形的性质和判定】 13．已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（    ） A．9 B． C． D．18 14．如图，是等边三角形，是中线，延长至，使 ，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 15．如图，为等边三角形，D是边上一点，在边上取一点F，使，在上取一点E，使，则 ． 16．如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 17．如图，在等边△ABC中，BD是角平分线，过点D作DE⊥AB于E，交BC的延长线于点F，AE＝3． （1）求证：DC＝CF； （2）求BF的长． 18．如图，点E在的外部，点D边上，交于点F，若，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 19．如图，中，，点是三角形右外一点，且． (1)如图1，若，点恰巧在的平分线上，，求的长； (2)如图2，若，探究，，的数量关系，并证明． 20．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE ＝ 度． 【题型四、手拉手模型】 21．如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，AE，AC与CD，BD分别交于点F、G．连接GF，下列结论：①AE＝BD；②AG＝DF；③GF∥BE，④CF＝GF，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，点D是外一点，连接，，，且交于点，在上取一点，使得，． 若，则的度数为（     　） A． B． C． D． 24．如图，，，，，垂足为F． (1)求证：； (2)求证：． 25．如图，，都是等边三角形，连接，交于点，求证： (1)； (2)平分． 26．已知线段和点C，，，，，相交于点P．如图，点C是线段上方的一点，且保持，连接，求证：．    27．如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交与点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 28．如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，Q是BC的中点，则PC+ PQ的最小值是（　　） A．6 B．3 C．3 D．6 【题型五、线段的最值问题】 29．如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为 ． 30．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(4，6)，M是OA的中点，点N在AB上，则△CMN的周长最小值为 ． 31．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标：（ 　 　，　 　）； (2)求的面积； (3)在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ 　 　，　 　）． 32．已知的各顶点坐标分别为，，， (1)画出； (2)画出关于y轴对称的，并写出坐标； (3)请在x轴上找到一个点P，使得P点到点B、点A的距离的和最短 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2 1 等腰三角形（基础巩固+能力提升） 【题型一、等腰三角形与角度的关系】 1．如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 3．如图，中，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，，为中点，则 ． 5．如图，在中，，垂足为，点在上，，，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)求的度数． 6．在中，，若为等腰三角形，则的度数为 ． 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为 ． 8．如图，在中，，点D在上，点E在上，且，则的度数是 ． 【题型二、等腰三角形的性质和判定】 9．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，E． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为16，求的周长． 10．如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 11．在中，，在中，，平分交于点O，      (1)如图（1），求证：． (2)如图（2），若E为上一点，且．求证：． 12．如图，已知在中， (1)试用直尺和圆规在AC上找一点D，使（不写作法，但需保留作图痕迹）； (2)在（1）中，连接BD，若，，求的周长； (3)在（1）中，连接BD，若，求的度数． 【题型三、等边三角形的性质和判定】 13．已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（    ） A．9 B． C． D．18 14．如图，是等边三角形，是中线，延长至，使 ，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 15．如图，为等边三角形，D是边上一点，在边上取一点F，使，在上取一点E，使，则 ． 16．如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 17．如图，在等边△ABC中，BD是角平分线，过点D作DE⊥AB于E，交BC的延长线于点F，AE＝3． （1）求证：DC＝CF； （2）求BF的长． 18．如图，点E在的外部，点D边上，交于点F，若，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 19．如图，中，，点是三角形右外一点，且． (1)如图1，若，点恰巧在的平分线上，，求的长； (2)如图2，若，探究，，的数量关系，并证明． 20．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE ＝ 度． 【题型四、手拉手模型】 21．如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，AE，AC与CD，BD分别交于点F、G．连接GF，下列结论：①AE＝BD；②AG＝DF；③GF∥BE，④CF＝GF，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，点D是外一点，连接，，，且交于点，在上取一点，使得，． 若，则的度数为（     　） A． B． C． D． 24．如图，，，，，垂足为F． (1)求证：； (2)求证：． 25．如图，，都是等边三角形，连接，交于点，求证： (1)； (2)平分． 26．已知线段和点C，，，，，相交于点P．如图，点C是线段上方的一点，且保持，连接，求证：．    27．如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交与点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 28．如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，Q是BC的中点，则PC+ PQ的最小值是（　　） A．6 B．3 C．3 D．6 【题型五、线段的最值问题】 29．如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为 ． 30．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(4，6)，M是OA的中点，点N在AB上，则△CMN的周长最小值为 ． 31．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标：（ 　 　，　 　）； (2)求的面积； (3)在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ 　 　，　 　）． 32．已知的各顶点坐标分别为，，， (1)画出； (2)画出关于y轴对称的，并写出坐标； (3)请在x轴上找到一个点P，使得P点到点B、点A的距离的和最短． 2 1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，先求得，由题意得，结合三角形的外角的性质，推出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中点， ∴， 又∵， ∴， 故选：B 2．C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，由垂直平分线性质可得，则，然后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．/90度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 4．/度 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形等边对等角的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：，，，为中点， ， ， ， 故答案为：． 5．(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键． （）由垂直的定义得到，再由判定方法即可证明； （）根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．分是顶角，是顶角，是顶角三种情况，根据等腰三角形的性质和内角和定理求解． 【详解】解：已知等腰三角形中，， 若为顶角，则， ； 若为顶角，则， ； 若为顶角，则； 的度数为或或． 故答案为：或或． 7．或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余是解题的关键．注意分类讨论. 分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，利用三角形外角的性质可求得顶角；当顶角为锐角时，利用直角三角形两锐角互余，可求得顶角为，即可得出答案． 【详解】解：当顶角为钝角时，如图，是钝角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 当顶角为锐角时，如图，是锐角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 综上可知该等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 8．/45度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，，再设，根据三角形的外角性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形的内角和定理可得，求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 9．(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用． （1）由在中，，，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得，即可求得的度数，继而求得答案； （2）根据垂直平分得到，，根据的周长为，通过线段代换即可求得的周长． 【详解】（1）解：在中，，， ， 垂直平分， ， 在中，， ； （2）垂直平分， ，， ， 的周长为： ． 10．B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵的周长，， ∴， ∵的周长为 ， ∴的周长是， 故选：． 11．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）过点作于点，证明，得到，即可得. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：过点作于点，    ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．(1)作图见详解 (2)8 (3) 【分析】本题主要考查了基本尺规作图、利用等腰三角形的性质求周长以及三角形内角和定理，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）直接利用线段垂直平分线的性质得出符合题意的图形； （2）直接利用等腰三角形的性质可求得的周长； （3）直接利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】（1）如图所示为所求： （2）解：∵，由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴的周长为8． （3）解：设， ∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 即的度数为． 13．B 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积． 【详解】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴BD＝CD＝BC＝×6＝3， 在Rt△ADB中，由勾股定理得： AD＝， ∴S△ABC＝×BC•AD＝×6×3＝9，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键． 14．D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据外角的性质可判断A，根据等边三角形中线得到，，即可判断B，根据等边三角形中线得到，即可判断C，由，，可判断D，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故选项不符合题意； B、∵是等边三角形的中线， ∴，， ∵， ，故选项不符合题意； C、∵是等边三角形的中线， ∴ ∴， ，故选项不符合题意； D、，， ，故选项符合题意 故选：D． 15． 【分析】先证明，再根据， ，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 16．(1)见详解 (2)等腰三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）欲求证，先证明，需证明，证明即可． （2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，利用等腰三角形三线合一可证是中垂线，则易证，则，从而判断其形状． 【详解】（1）证明：在等腰中，，， ，， ． 又交的延长线于点， ， ， ， 又为的中点， ， 即， 在和中， ， ， ． 又， ， 即； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 连接，如图， 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 17．（1）见解析（2）18 【分析】（1）只需证明∠CDF＝∠F即可； （2）根据等边三角形三线合一以及30°所对的直角边是斜边的一半求解即可． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝AC， ∵DE⊥AB于E， ∴∠ADE＝90°−∠A＝30°， ∴CD＝AD＝2AE＝6，∠CDF＝∠ADE＝30°， ∴∠F＝∠ACB−∠CDF＝30°， ∴∠CDF＝∠F， ∴DC＝CF， （2）∵DC＝AD＝CF， ∴BF＝BC＋CF＝2AD＋AD＝18． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一性质解答． 18．(1)见解析； (2)是等边三角形．理由见解析. 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识． （1）由结合可得，即可证得，由此即可得到； （2）由可得，由可得，，进而可得，由此即可得到，这样结合即可得到是等边三角形. 【详解】（1）证明：∵，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 19．(1) (2)结论：PA+PC=PB．理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意得出为等边三角形，根据点P在的平分线上，则，根据得出； （2）在上截取，使，连接，证明和全等，从而得出，得出所求的答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵点P恰巧在的平分线上， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴； （2）解：结论：． 在上截取，使，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．120 【分析】由△ABC为等边三角形，可求出∠BDC＝90°，由△DCE是等腰三角形求出∠CDE＝∠CED＝30°，即可求出∠BDE的度数． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，BD为中线， ∴∠BDC＝90°，∠ACB＝60° ∴∠ACE＝180°−∠ACB＝180°−60°＝120°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED＝30°， ∴∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝90°＋30°＝120°， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质． 21．C 【分析】根据等边三角形性质，利用SAS证明△BCD≌△ACE，可证结论①；证明△DGC≌△EFC，得△GFC是等边三角形，则CF＝FG，可得结论④；∠GFC＝60°，根据∠GFC＝∠DCE＝60°，所以GF∥BE，可得结论③；由CG＝CF，AC≠DC，可知：AC−CG≠DC−CF，即AG≠DF，可得结论②． 【详解】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC， ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， ∴△BCD≌△ACE， ∴AE＝BD， 故①正确； ∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝60°， ∴∠ACD＝∠DCE＝60°， 由①得△BCD≌△ACE， ∴∠GDC＝∠AEC， ∵DC＝EC， ∴△DGC≌△EFC， ∴CF＝CG， ∴△GFC是等边三角形， ∴CF＝FG，∠GFC＝60°， ∴∠GFC＝∠DCE＝60°， ∴GF∥BE， 故③④正确； ∵CG＝CF， 而AC与CD不相等， 所以AG与DF不相等， 故②不正确； 正确的有：①③④，一共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定，属于常考题型，难度适中；准确地在图形中找到全等三角形并进行证明是本题的关键． 22．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 23．B 【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质，然后由三角形的外角性质，，可说明，再利用等腰三角形的性质可求出，最后利用三角形的内角和解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识．根据全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点． 24．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）过点A作，垂足为G，由可得，则，那么平分，由角平分线性质定理得到，再由等腰三角形的判定与性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：过点A作，垂足为G， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由可得，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 25．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得，进而可得，利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于，于，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，根据“在角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，于，如下图， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 26．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质． 证明，得出，在上取一点F，使得，过点C作 ，，先证明平分，即可是等边三角形，再证明即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在上取一点F，使得，过点C作 ，，如图：    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形是解决本题的关键． （1）利用“边角边”证明全等，即可证明． （2）证明，，证明，可得，为等边三角形，从而可得答案. 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 28．B 【分析】连接AQ， AC，AP，由菱形的对称轴可知， ，从而当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小，根据题意可得△ABC是等边三角形，然后在Rt△ABQ中，由勾股定理，求出 即可． 【详解】解：如图，连接AQ， AC，AP， 由菱形的对称轴可知， ， ∴， 即当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小， ∵∠ABD＝30°，四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∵点Q为BC的中点， ∴AQ⊥BC， ∵菱形ABCD的周长为24， ∴AB＝BC＝6， ∵Q是BC的中点， ∴ ， 在Rt△ABQ中，由勾股定理得： ， 即PC+ PQ的最小值是 ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，菱形的性质和等边三角形的判定和性质，理解题意，当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小是解题的关键． 29． 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键． 在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，   是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 30．/ 【分析】求出，作M点关于AB对称的对称点交AB于点N，连接，根据，证明此时的周长最小，由对称的性质可知，求出即可求出的周长的最小值． 【详解】解：∵OABC是矩形，点B的坐标为(4，6)，M是OA的中点， ∴，，， ∴， 作M点关于AB对称的对称点交AB于点N，连接， ∵M和关于AB对称， ∴， ∴， 此时的周长最小， 由对称的性质可知， ∴， ∴的周长最小为：， 故答案为： 【点睛】本题考查矩形性质，对称性，勾股定理，解题的关键是根据对称性证明当M和关于AB对称时，，此时的周长最小． 31．(1)2， (2) (3)0，2 【分析】（1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可得出的面积； （3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，从而解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，， 故答案为：2，； （2）解：的面积； （3）解：如图所示，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P， 则，， 因此点P即为所求，， 故答案为：0，2． 【点睛】本题主要考查了作图——轴对称变换，轴对称——最短路径问题等，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 32．(1)见解析 (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标系中描点，轴对称坐标，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据点，点，点，在平面直角坐标系中描点，然后连线即可； （2）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后再顺次连接即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求作的三角形，点的坐标为； （3）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求作的点． 连接，根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $