专题02 高二上学期期中复习真题精选（压轴80题16类题型专练）（期中专项训练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

专题02 高二上学期期中复习真题精选（压轴80题16类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量数量积最值（范围）问题（共5小题） 1．（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期中）已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 3．（24-25高二上·山东济宁·期中）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 5．（24-25高二上·北京·期中）已知正方体的棱长为为侧面内一动点（包括边界），为棱上一动点（包括端点），则的最小值是 . 题型2 空间位置关系的向量判断（共5小题） 6．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·重庆·期中）若平面的法向量为，方向向量为的直线与平面垂直，则实数（   ） A．4 B． C．2 D． 8．（24-25高二上·海南海口·期中）若平面，平面，平面， 则称点F为点E在平面内的正投影，记为 如图，在直四棱柱 中， ，，P，N 分别为，的中点，，.记平面为， 平面ABCD为， ，，，则不正确的是（    ） A．若 ，则 B．存在点H，使得 C．线段长度的最小值是 D．存在点H，使得平面 9．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知，分别是平面，的法向量，若，则 . 10．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型3 利用空间向量研究空间距离（共5小题） 11．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·四川·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（   ） A． B． C．1 D． 14．（24-25高二上·上海松江·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为 . 15．（24-25高二上·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别为棱的中点 (1)证明:平面； (2)若，求直线与平面所成角的正切值； (3)若，求点到平面的距离. 题型4 利用空间向量研究空间角（共5小题） 16．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·海南海口·期中）在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·北京·期中）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 19．（24-25高二上·浙江·期中）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 20．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，在以为顶点的圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，为底面圆周上的两点，且为等边三角形，是母线的中点，．    (1)求圆锥的体积； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设与交于点，求直线与平面所成角的正弦值． 题型5 立体几何中的探索性问题（共5小题） 21．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 22．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.    (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 23．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 24．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 25．（24-25高二上·广东·期中）如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：在翻折过程中总有平面平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 题型6  点、线间的对称关系（共5小题） 26．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ． 30．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 题型7 直线与圆中的最值问题（共5小题） 31．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 32．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆的方程为，直线恒过定点若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值（   ） A．9 B．12 C．15 D． 33．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，则的最小值为 . 35．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 题型8 直线与圆中的面积问题（共5小题） 36．（24-25高二上·浙江温州·期中）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知圆C：，P为直线l：上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（   ） A． B．2 C． D．4 39．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 40．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 题型9 圆锥曲线的标准方程（共5小题） 41．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，点为与在第一象限的公共点，且，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·重庆·期中）如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以，为焦点，且过点的双曲线方程为 ． 45．（24-25高二上·江西南昌·期中）求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； (2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 题型10 圆锥曲线上的距离及最值问题（共5小题） 46．（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 47．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 48．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25高二上·广东·期中）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 50．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 题型11 圆锥曲线中的焦点三角形问题（共5小题） 51．（24-25高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（   ） A．9 B．18 C．36 D．72 53．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（    ） A．4 B．9 C． D．12 54．（24-25高二上·湖南·期中）设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 55．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 题型12 圆锥曲线的弦长与中点弦（共5小题） 56．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 60．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，且，求直线的方程. 题型13 圆锥曲线中的面积问题（共5小题） 61．（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ） A．10 B．8 C．24 D． 62．（24-25高二上·河南·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（   ） A． B．3 C．9 D．7 63．（24-25高二上·广西·期中）已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且， 连接，直线斜率与直线的斜率之积为.    (1)求的值； (2)若线段的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积. 64．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是双曲线的一条渐近线，点在上. (1)求的方程； (2)已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上.若，的面积为，求的方程. 65．（24-25高二上·浙江·期中）已知为坐标原点，椭圆：（）的左焦点为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于、两点，且、在轴的同侧. (1)求椭圆的标准方程； (2)为的重心，直线、分别交轴于、两点，记和的面积分别为，，求的取值范围. 题型14 圆锥曲线中的参数范围及最值（共5小题） 66．（24-25高二上·浙江·期中）若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是 ． 67．（24-25高二上·安徽黄山·期中）已知椭圆，其左、右焦点分别为，上顶点为A，O为坐标原点，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求椭圆上的点到直线距离的最大值. 68．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设圆，圆，已知动圆与这两个圆中的一个内切，与另一个外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)已知点，且点为上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 69．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 70．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为.    (1)求椭圆的方程； (2)当轴，求的面积； (3)若分别记的斜率分别为，求的最大值. 题型15 圆锥曲线中的定点、定值问题（共5小题） 71．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆：（）过的三个顶点，，，当直线垂直于轴时，直线过椭圆的一个焦点. (1)求椭圆的方程； (2)若的平分线垂直于轴，求证：直线的斜率为定值. 72．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 73．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 74．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知椭圆和抛物线.从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：. (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为，判断是否为定值，并说明理由. 75．（24-25高二上·福建福州·期中）已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 (1)求圆的方程； (2)若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 题型16 圆锥曲线中的定直线问题（共5小题） 76．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 77．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 78．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点. (1)若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围； (2)若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由. 79．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 80．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 高二上学期期中复习真题精选（压轴80题16类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量数量积最值（范围）问题（共5小题） 1．（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【解答过程】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·重庆·期中）已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解题思路】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【解答过程】如图，是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径， 由正方体的特征可得其外接球半径为, 设外接球球心为，则， 则 , 由于点在正方体表面上运动， 故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为， 所以的最小值为， 故选：B. 3．（24-25高二上·山东济宁·期中）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设正方体的外接球的球心为，球的半径为，分析可得，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【解答过程】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以.    故选：A. 4．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】1 【解题思路】建立空间直角坐标系利用空间向量求得数量积的表达式，再由二次函数性质得出最小值. 【解答过程】依题意以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，设， 所以， 因此，当时，取得最小值1. 故答案为：1. 5．（24-25高二上·北京·期中）已知正方体的棱长为为侧面内一动点（包括边界），为棱上一动点（包括端点），则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量，求出的表达式，即可得到答案. 【解答过程】    如图，以点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则点，设点， 所以， 因为点为侧面内一动点（包括边界），为棱上一动点（包括端点）， 所以， 因为， ， 所以， 因为，且，所以 ，显然当取最大值且时，上述解析式的值最小， 所以当时，的值最小， 最小值为. 故答案为：. 题型2 空间位置关系的向量判断（共5小题） 6．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由线面垂直关系可得出，结合空间向量共线的坐标表示可得出结果. 【解答过程】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且，则，所以，，解得，，故. 故选：D. 7．（24-25高二上·重庆·期中）若平面的法向量为，方向向量为的直线与平面垂直，则实数（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】根据直线垂直于平面，则直线的方向向量平行于平面的法向量，即可求解. 【解答过程】由直线l与平面垂直，故直线方向向量与平面的法向量平行， 设，即，解得. 故选：D. 8．（24-25高二上·海南海口·期中）若平面，平面，平面， 则称点F为点E在平面内的正投影，记为 如图，在直四棱柱 中， ，，P，N 分别为，的中点，，.记平面为， 平面ABCD为， ，，，则不正确的是（    ） A．若 ，则 B．存在点H，使得 C．线段长度的最小值是 D．存在点H，使得平面 【答案】B 【解题思路】先建系，对于选项A，先证Q，B，N，P四点共面，再计算的值；对于B，依据，则，从而可判定H的存在性；对于选项C，表示出，求解其最小值即可；对于选项D，先找出，，可得是平面的一个法向量，结合平面，则，依此求出H的位置； 【解答过程】对于A：因为为直四棱柱，， 所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，连接PQ，    则，，，，， 故，， 所以，即Q，B，N，P四点共面， 若，则，解得，A正确； 对于D：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即， 过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得， 则，，，， 故，，，， 易得是平面的一个法向量，若平面， 则，即，解得，符合题意， 所以存在点H，使得平面，D正确， 对于C：， 当时，取得最小值，最小值为，C正确. 对于B：若，则， 得，无解，所以不存在点H，使得，B错误. 故选：B. 9．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知，分别是平面，的法向量，若，则 . 【答案】 【解题思路】根据平面的位置关系可知法向量的位置关系，列方程，解方程即可. 【解答过程】由，可知， 则， 解得， 故答案为：. 10．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）取AD中点，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，设，使得平面，用空间向量建立等量关系，求得的值. 【解答过程】（1）∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面， （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵面面，面面， ， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 题型3 利用空间向量研究空间距离（共5小题） 11．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】计算向量以及向量的模，根据点到直线距离的向量公式直接计算即可. 【解答过程】由点，点. 又直线的方向向量为， 所以点到的距离. 故选：B. 12．（24-25高二上·四川·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式求解即可. 【解答过程】如图，以为原点，分别以，，为，，轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设直线与的公垂线的方向向量为， 则，取，则，， ，又， 异面直线与的距离是. 故选：A. 13．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，，根据，得到，从而得到，再由向量模的坐标表示求出的最小值及此时、的值，最后利用空间向量法求出点到平面的距离. 【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，则，， 设，，所以，， 因为，所以，即， 所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面PMG的法向量为，所以，取， 所以当取得最小值时，点到平面PMG的距离. 故选：A. 14．（24-25高二上·上海松江·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为 . 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 【解答过程】，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， ，， 设为平面PEF的法向量，，， 令，则，，，， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 故答案为：. 15．（24-25高二上·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别为棱的中点 (1)证明:平面； (2)若，求直线与平面所成角的正切值； (3)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据线线平行，结合线面平行的判定即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角公式求解， （3）求解平面法向量，即可利用点到平面的距离的向量法求解. 【解答过程】（1）因为分别为的中点 为正方形 ，因为平面平面, 平面. （2）由题知平面 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，，， 设平面的一个法向量为 则，令，则，， 设直线与平面所或的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为.则正切值为； （3）设平面的法向量为， ，, 故，令， 故， 故点到平面的距离为. 题型4 利用空间向量研究空间角（共5小题） 16．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以点为原点建立空间直角坐标系，根据，求出点的坐标，再利用向量法求解即可. 【解答过程】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设， 则， 设， 则， 因为， 所以，解得， 所以，则， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B. 17．（24-25高二上·海南海口·期中）在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案. 【解答过程】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，可得，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，可得， 所以， 设直线与平面所成角的为， 则. 故选：D.    18．（24-25高二上·北京·期中）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据垂直关系得到，确定平面的法向量为，再根据向量的夹角公式计算得到答案. 【解答过程】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， 设 ，则， 因为， 所以，即，则，所以， 平面的一个法向量为， 则， 又，所以当时，最大为，则，此时最大为. 故选：A. 19．（24-25高二上·浙江·期中）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，用向量法求解平面与平面夹角的余弦值. 【解答过程】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以 设平面与平面所成角为，， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 20．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，在以为顶点的圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，为底面圆周上的两点，且为等边三角形，是母线的中点，．    (1)求圆锥的体积； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设与交于点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据圆锥体积公式求解即可； （2）建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用公式求解即可； （3）利用几何性质求的长，得到点的坐标，计算，利用公式求直线与平面所成角的正弦值. 【解答过程】（1）由题意，. （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系.    由题意得，，，，，，， ∴. 设平面的法向量为， ∴，令，可取， 设平面的法向量为， ∴，令，可取. 设平面ADE与平面ACE的夹角为， 则. （3）如图，过点作于点，    则为中点，且， ∴， 由得，，∴，即， ∴. 设直线CM与平面ADE所成角为， . 题型5 立体几何中的探索性问题（共5小题） 21．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【解题思路】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【解答过程】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 22．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.    (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点，或，证明见解析. 【解题思路】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形得 ，从而得到线面平行； （2）由题意易知是四棱锥的高，设，根据体积求出，建立空间直角坐标系，设，由线面角得到方程，即可得结论. 【解答过程】（1）取中点，连接，又分别为的中点，    ，，底面四边形是矩形，为棱的中点， ，，则 ，， 故四边形是平行四边形，所以 . 又平面，平面，可得 平面. （2）在棱上存在点，且或，证明如下， 在等边中S在平面上的射影为中点P， 所以面，则是四棱锥的高. 设，则，结合，知矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，在面ABCD内过点P作垂线为y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，    故， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，. 由题意， 整理得，解得或， 所以存在点，或时，使直线与平面所成角的余弦值为. 23．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【解题思路】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【解答过程】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以， 所以存在点N，使得平面ADM，. 24．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)相交但不垂直，证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【解题思路】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （3）假设存在点Q，利用空间向量研究点面距离计算参数即可. 【解答过程】（1） 如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，即， 则， 连接与交于N点，即直线与平面相交于N点， 则直线与平面的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值； （2）由上知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）设存在满足题意，不妨设， 则， 易知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 而， 所以点到平面的距离是，所以不存在. 25．（24-25高二上·广东·期中）如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：在翻折过程中总有平面平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，为上靠近的三等分点. 【解题思路】（1）先证平面，结合面面垂直的判定定理证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面所成角的余弦值来列方程，从而求得点的位置. 【解答过程】（1）折叠前，四边形是菱形，所以， 由分别是边的中点，所以，故， 折叠过程中且都在面， 所以面，故面，面， 所以面面. （2）当面面时，由面面，面，， 所以面，又面，故， 综上，可建立如下空间直角坐标系，则， 所以，设， 则， 所以，则，， 设面的法向量为，则， 取，则，而面的一个法向量为， 若面与面的夹角为，则，解得， 所以为上靠近的三等分点，满足题设要求. 题型6  点、线间的对称关系（共5小题） 26．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【解答过程】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 27．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程． 【解答过程】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 28．（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【解答过程】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 29．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【解题思路】设所求点的坐标为，根据垂直和中点坐标列式求解即可. 【解答过程】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 所以所求点的坐标为. 故答案为：. 30．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【解答过程】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 题型7 直线与圆中的最值问题（共5小题） 31．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，根据圆心到直线的距离得到圆与直线的位置关系，进而求解. 【解答过程】因为圆可化为， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以点到直线距离的最小值是. 故选：C. 32．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆的方程为，直线恒过定点若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值（   ） A．9 B．12 C．15 D． 【答案】A 【解题思路】首先求出直线恒过的定点，然后求出点关于直线的对称点，根据两点之间线段最短，的最小值等于（为圆的半径）. 【解答过程】将直线方程变形为，令，解得，所以定点. 设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以. 圆的方程为，圆心，半径. 的最小值等于， ，， ， 所以的最小值为. 故选：A. 33．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为与直线的交点时，最小，由对称知，此时与重合，从而易得最小值． 【解答过程】由可知圆心为，半径， 由题意， 所以当时，取最小值， 由点到直线的距离公式可得， 此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点， 由于与关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点即为所求的点， 所以的最小值为. 故选：C.    34．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】利用切线长定理及点到直线距离公式求出，换元可得，借助其几何意义按与1的大小分类讨论求出最小值. 【解答过程】圆的圆心，半径， 则，，令， 于是， 可视为动点到定点的距离与到定直线的距离和， 令直线与轴的交点为，，， 当与点重合，即时，， 当时，过作垂直于直线于点，连接， ，则； 当时，由直线的倾斜角为钝角知，， 因此对任意实数，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 35．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2)6 【解题思路】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果； （2）由切线长公式可知当最小，计算可得的最小值. 【解答过程】（1）圆的标准方程为. ①当斜率不存在时，直线的方程为， 直线截圆所得弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为 根据垂径定理可得，即，解得. 即直线的方程为或 （2）圆心. 因为与圆相切，所以. 当最小，所以. 可得. 题型8 直线与圆中的面积问题（共5小题） 36．（24-25高二上·浙江温州·期中）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出，再求出点到直线的最大距离和最小距离，求出最大面积和最小面积即可. 【解答过程】解：因为直线分别与轴，轴交于A，B两点， 所以,，所以， 又因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为，最小距离为， 所以的最大面积是；的最小面积为. 故选：A. 37．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知圆C：，P为直线l：上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合图形分析四边形面积的表达式，找出面积最小时图形满足的几何条件，再求出此时四边形面积即可. 【解答过程】如图所示，    由， 得圆C的圆心，半径. 因为， 所以四边形PACB的面积. 所以当最小时，S也最小，此时，. 则PC斜率为1，故PC的方程为，即. 联立，解得，， 即. 由于过圆外一点作圆的两条切线， 切点弦方程为， 所以直线AB的方程为， 化简得. 故选：A. 38．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解题思路】由相切的关系可得出都是直角三角形，根据几何关系可知四边形的面积取决于M的位置，可得当时四边形面积可取得最小值，进而求出此时四边形面积的值. 【解答过程】如图所示， 因为MC，MD都与圆相切，所以， 因为在Rt和Rt中，，OM为公共边， . 又因为， 所以当取得最小值时，面积最小， 此时四边形面积也取得最小值， 又由勾股定理，， 所以当取最小值时，最小. 由题意，当时，取得最小值，， 所以此时，， 故四边形面积的最小值. 故选：D. 39．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 【答案】 【解题思路】首先判断直线与圆的位置关系，再由、，将问题化为先求最小值，进而求最小面积. 【解答过程】由，即，则，半径， 所以到的距离，即直线与圆相离，如下图示，    由题意，且，而， 所以，要使四边形的面积最小，只需最小， 又，即只需最小，显然， 所以，故最小. 故答案为：. 40．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）联立直线与圆的方程可得韦达定理，根据圆的性质可得垂直关系，进而可得,即可利用解法一求解，或者直接利用两点斜率公式，代入韦达定理化简求解（解答二），或者设直线的方程为同解法二，代入韦达定理化简求解， （2）根据三角形的面积公式可得 ，即可根据不等式的性质求解. 【解答过程】（1）解法一：设由题知，． ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示， 将，代入，解得，∴， ∴，∴． ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，则， 联立，消去得，， ∴，， 连接，由圆的性质可得，∴， ∴ ． 综上可得，． 解法二：由题知，． ①当直线的斜率不存在时，同法1． ②当直线的斜率存在时，同法1得∴， ∴ ． 综上可得，． 解法三：设直线方程为，则 联立，消去得， ∴，， ∴，整理得， ∴ （2）由（1）知，∴直线和直线方程分别为和， 联立，消去得，∴点在直线上，如图所示， ∴ ∵，∴，∴． ∴的取值范围范围为． 题型9 圆锥曲线的标准方程（共5小题） 41．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【解答过程】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 42．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取弦的中点，连接，求出，再根据椭圆定义结合勾股定理求出之间的关系，即可求得. 【解答过程】由题意知以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，设交点为A，B， 取弦的中点，连接，如下图所示：    则，，因为，所以， 因为为的中点，是的中点，所以， ，且垂直平分弦， 因为，，所以， 所以， 由椭圆定义可知，，， 所以，解得，， 因为，，所以，， 所以椭圆方程为. 故选：B. 43．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，点为与在第一象限的公共点，且，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求出椭圆的方程，再由椭圆的定义及余弦定理求出，即可求出双曲线的方程． 【解答过程】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆的焦点，且离心率， 所以，，所以，， 所以椭圆的方程为，又，，， 由余弦定理， 即， 又， 所以，， 所以，又， 所以，即，所以， 又双曲线的焦点为，，所以， 所以， 所以双曲线的方程为．    故选：A． 44．（24-25高二上·重庆·期中）如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以，为焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【解题思路】根据双曲线的定义和性质计算即可. 【解答过程】 设双曲线的方程为， 由题意得，则， ，则，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 45．（24-25高二上·江西南昌·期中）求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； (2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件求得的值，由此求得椭圆方程. （2）由题意，先求出，然后，设双曲线的标准方程，利用和过点，列方程求解即可 【解答过程】（1）由已知条件可设所求的椭圆标准方程为（其中） 则，∴， 且离心率为，∴ ∴ 故所求的椭圆的标准方程为 （2）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且. 设双曲线的标准方程为， 则有，， 解得，. 故所求双曲线的标准方程为. 题型10 圆锥曲线上的距离及最值问题（共5小题） 46．（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【解题思路】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【解答过程】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 47．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解题思路】根据抛物线的定义，结合图形求解即可． 【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 48．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值. 【解答过程】如图,    由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 故选：B. 49．（24-25高二上·广东·期中）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】根据点与圆的位置关系，及椭圆的定义可得，即可得最小值. 【解答过程】 如图所示， 由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则， 再由椭圆定义可知， 即， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 又， 即的最小值为， 故答案为：. 50．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 【答案】(1)，准线方程为. (2)3 【解题思路】（1）根据抛物线方程求得焦点坐标以及准线方程. （2）根据抛物线的定义求得正确答案. 【解答过程】（1）将抛物线：化为标准方程得，， 其焦点坐标为，准线方程为. （2）由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离， 为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和， 要使得最小， 则点P，A在一条垂直于准线的直线上， 故最小值即为点到准线的距离为3， 所以，的最小值为3. 题型11 圆锥曲线中的焦点三角形问题（共5小题） 51．（24-25高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解法一：利用椭圆焦点三角形的二级结论直接计算即可. 解法二：设，根据椭圆定义结合余弦定理可得，进而可得面积. 【解答过程】解法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式. 解法二：由椭圆方程可知：， 设， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 故选：C. 52．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（   ） A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义，以及焦点三角形的性质，即可列式求解. 【解答过程】由条件可知，，， ，则， 则, 所以面积为. 故选：C. 53．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（    ） A．4 B．9 C． D．12 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义求解. 【解答过程】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为. 故选：D. 54．（24-25高二上·湖南·期中）设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】1 【解题思路】根据题意结合双曲线对于可得，，结合勾股定理可得，即可得面积. 【解答过程】由双曲线方程可得， 不妨设，则，， 若，则，可得， 即，则， 所以的面积为. 故答案为：1. 55．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论； （2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积. 【解答过程】（1）由椭圆的定义得， 因为直线与x轴垂直，所以， 即， 故. （2）因为平分，所以，即，如下图所示： 由和，解得，， 代入得，解得； 故的面积为. 题型12 圆锥曲线的弦长与中点弦（共5小题） 56．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【解答过程】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 57．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得. 【解答过程】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为， 则直线的方程为，即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得，满足， 故直线方程为，即. 故选：B. 58．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【解答过程】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 59．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 【答案】12 【解题思路】设，根据A、B中点的横坐标为5得到，由焦点弦长公式得到答案. 【解答过程】由题意得， 设， 因为A、B中点的横坐标为5，所以， 由焦点弦长公式得 故答案为：12. 60．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可知：，进而可得和方程； （2）设直线：，联立方程，利用弦长公式结合韦达定理运算求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知：，则， 所以椭圆C的标准方程为. （2）设直线：，    联立方程，消去y可得， 则，解得， 可得， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 题型13 圆锥曲线中的面积问题（共5小题） 61．（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ） A．10 B．8 C．24 D． 【答案】B 【解题思路】由题目条件得到四边形为矩形，即⊥，由勾股定理和椭圆定义得到方程组，求出，得到答案. 【解答过程】椭圆中，， 因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以， 又，故四边形为平行四边形， 又，故四边形为矩形，即⊥， 由勾股定理得①， 由椭圆定义得②， 式子②平方得， 结合①得， 故四边形的面积为. 故选：B. 62．（24-25高二上·河南·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（   ） A． B．3 C．9 D．7 【答案】D 【解题思路】根据的面积为，即可求解. 【解答过程】根据题意可知椭圆半焦距，设点,，，那么， 所以的面积， 所以，所以，化简得， 即或9． 又因为，解得， 因此． 故选：D． 63．（24-25高二上·广西·期中）已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且， 连接，直线斜率与直线的斜率之积为.    (1)求的值； (2)若线段的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意可得直线的方程为，联立方程，利用韦达定理结合向量垂直的坐标表示运算求解即可； （2）由（1）可得直线的方程为，联立方程利用韦达定理求弦长，进而可得面积. 【解答过程】（1）设，直线斜率为， 由题可知：点，则直线的斜率为：； 因为直线斜率与直线的斜率之积为， 则，解得， 又因为点，过点的直线与抛物线交于两点， 故直线的方程为，即， 联立方程，消去可得， 则，可得， 因为，则， 整理可得，即，解得. （2）由题可知，直线垂直平分线段，    设线段的中点为，直线的斜率为， 由（1）知，则，即， 且，所以直线的方程为，即， 联立方程，消去可得， 可得， 设，则， 所以， 且点到直线的距离为， 所以的面积为. 64．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是双曲线的一条渐近线，点在上. (1)求的方程； (2)已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上.若，的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据渐近线以及经过的点，联立方程即可求解， （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，进而根据中点坐标公式，中点在上求解，根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可求解三角形面积得. 【解答过程】（1）由题可得， 所以的方程为. （2）设， 由得， 由题意得， 设中点的坐标为，则 所以. 因为的中点在直线上，所以，即， 因为，所以 故的方程为， 且， 又点到的距离， 所以， 解得，所以的方程为. 65．（24-25高二上·浙江·期中）已知为坐标原点，椭圆：（）的左焦点为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于、两点，且、在轴的同侧. (1)求椭圆的标准方程； (2)为的重心，直线、分别交轴于、两点，记和的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意列式求，即可得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程：，由在轴同侧可得，将直线 与椭圆方程联立利用重心的性质及韦达定理化简，求相应函数的值域即可得解. 【解答过程】（1）∵，∴. 又∵，，. ∴椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程：， 由在轴同侧可得， 设，，， 由得：， 则，， ， . ∵的重心在原点， ∴，且. ∴ . ∵， 因为，所以， ∴，∴.    题型14 圆锥曲线中的参数范围及最值（共5小题） 66．（24-25高二上·浙江·期中）若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】由绝对值三角不等式可得，设，转化为与椭圆有公共点，由可求出的取值范围，即为的取值范围，进而可求得的最小值. 【解答过程】 ， 当且仅当，等号成立， 令，即，代入椭圆方程得， 由，解得， ， 则，当时等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 67．（24-25高二上·安徽黄山·期中）已知椭圆，其左、右焦点分别为，上顶点为A，O为坐标原点，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求椭圆上的点到直线距离的最大值. 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）由得，再由、求出可得答案； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，令得，结合图形可得答案. 【解答过程】（1）在Rt中，， ， ， ， ， 又， ， 联立，解得或， 椭圆的标准方程为或； （2）， 椭圆的标准方程为， 直线的方程为，即， 设直线的方程为， 联立， 得， 令得或， 结合图形可知，当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最大， 此时直线的方程为． 距离的最大值为. 68．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设圆，圆，已知动圆与这两个圆中的一个内切，与另一个外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)已知点，且点为上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 【解题思路】（1）根据题意可得，可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，即可得轨迹方程； （2）求直线与双曲线的交点，结合几何意义分析最值即可. 【解答过程】（1）圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 设动圆的半径为， 若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 综上所述：， 可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，则， 所以动圆圆心的轨迹的方程为. （2）由题意可知：过点的直线方程为， 联立方程，解得或， 故直线与的交点为. 因为在线段外，在线段上，故， . 若点不在上，则； 若点在处，则； 综上所述，只在点处取到最大值2，此时点的坐标为. 69．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）关于轴的对称点与三点在同一直线上，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可求，进而求得抛物线的方程； （2）求得直线的方程，设，利用点到直线的距离公式可求到直线距离的最小值. 【解答过程】（1）抛物线的焦点 因为直线与直线斜率之和为0， 所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上，    设直线的方程为， 与抛物线联立可得，消去得， 由是方程的两根， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）因为在抛物线上，所以，所以， 所以，又，所以，又且直线， 所以的方程为， 设，所以点到直线距离； 当时，到直线距离取最小值，最小值为. 70．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为.    (1)求椭圆的方程； (2)当轴，求的面积； (3)若分别记的斜率分别为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）运用离心率和椭圆定义得到方程组，计算即可； （2）设，当时，可得，即，故求得直线方程为，直曲联立，借助韦达定理，再用面积公式计算即可； （3）设，与椭圆分别联立，求出，，表示出，借助基本不等式可解. 【解答过程】（1）由题意：，解得：， 故椭圆方程为； （2）设， 当轴时，由在第一象限，可得， 即，故求得直线方程为， 联立，得， 整理得， ， 所以； （3）设，因为在椭圆上，故， 由题意， 故将直线与椭圆方程联立， 可得， 整理可得：，所以， 即，即. 同理：将直线与椭圆方程联立， 可得， 整理可得：，所以， 即，即， 所以， 故 由在第一象限内，故 的最大值为，当且仅当在处取到等号. 题型15 圆锥曲线中的定点、定值问题（共5小题） 71．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆：（）过的三个顶点，，，当直线垂直于轴时，直线过椭圆的一个焦点. (1)求椭圆的方程； (2)若的平分线垂直于轴，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意得，解得，，即可得到椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得的横坐标，同理求得的横坐标，进一步求得、的纵坐标的差，代入斜率公式得结果. 【解答过程】（1）由题意，，则有，解得，， 所以，椭圆的方程为. （2）设直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为， 设，， 直线的方程为，即， 联立方程组，消去得， 因为，为直线与椭圆的交点， 所以，把换成得：， 所以，， 所以直线的斜率， 故直线的斜率为定值. 72．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【解题思路】（1）设双曲线方程为，双曲线右焦点为，列方程组即可求解； （2）设，则将直线和双曲线联立可求得关于的方程，根据韦达定理可求得，可解出，，，用两点式表达出直线的方程，将已知代入即可求解. 【解答过程】（1）由题意可设双曲线方程为，双曲线右焦点为， 双曲线过点，且焦点到渐近线的距离为1， 根据题意可知渐近线方程为， 根据右焦点为到直线距离， 又因点在双曲线上，所以代入可得，解之可得， 故双曲线方程为. （2）设，则， 将直线与双曲线联立可得，消去可得 根据韦达定理可知，， 所以， 则， ，所以 解之可得， 直线方程为， 将已知代入， 化简可得，所以直线过定点，定点为. 73．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【解答过程】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 74．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知椭圆和抛物线.从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：. (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为，判断是否为定值，并说明理由. 【答案】(1)，； (2)为定值，理由见解析. 【解题思路】（1）算出四点对应的抛物线方程，注意到对应的p一样，即可得抛物线与椭圆方程； （2）联立抛物线与直线方程，由韦达定理可判断是否为定值. 【解答过程】（1）将四个点代入抛物线方程解得的值分别为， 注意到对应的p一样，在抛物线上， 故抛物线方程为.故为椭圆上的点， 则， 椭圆方程； （2）是定值，理由如下： 设，则 由韦达定理：，又因为， 所以，同理 所以为定值. 75．（24-25高二上·福建福州·期中）已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 (1)求圆的方程； (2)若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，运用离心率公式，结合方程求出c即可； （2）运用斜率公式计算即可； （3）直曲联立，运用韦达定理，计算化简即可. 【解答过程】（1）由题意知， ，， 椭圆的方程可写为，又椭圆过点 故，得， 则椭圆C的方程为. （2）在椭圆中，左、右顶点分别为，， 设点，则，故 ，为定值． （3）设，，易知直线的斜率不为， 设其方程为， 联立，可得， 由，得． 由韦达定理，得，， ，， 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 题型16 圆锥曲线中的定直线问题（共5小题） 76．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由椭圆定义得到，求出，结合焦点坐标，得到，得到椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，得到两根之和，两根之积，表达出直线和直线的方程，联立求出，解得，故点D在定直线上. 【解答过程】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为 （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得．    显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 77．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解. （2）由（1）得，进而得直线的方程为，设，联立双曲线方程，利用韦达定理即可求解. （3）利用点差法即可证明. 【解答过程】（1）根据题意可得，则， 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的方程为； （2）由（1）得，则， 则直线的方程为，设， 由，得， ，， 所以； （3）设， 则，两式相减得， 设，则，所以， 即，所以，即， 所以在直线上. 78．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点. (1)若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围； (2)若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能在一条定直线上运动，. 【解题思路】（1）设出直线的方程以及中点的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得到点的坐标，出现直线的垂直平分线的方程，进而即可求解. （2）写出并联立直线和方程，得到交点坐标，再结合（1）中求得的韦达定理，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为右焦点的坐标为，可设直线的方程为，代入，得， 所以，， 设中点的坐标为，则， 的垂直平分线方程为， 令，可得 所以，即的取值范围是. （2）因为，，，， 则直线的方程为，直线的方程为 联立方程，消去，可得 所以 因为，所以，即 所以. 由（1）可知，， 代入整理可得，解得. 所以能在一条定直线上运动，. 79．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据求出，，从而得到，求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知直线l的方程为，，，联立双曲线方程，结合根的判别式和得到不等式，求出m的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线和直线的方程，联立得到，将代入，化简得到，得到答案. 【解答过程】（1）由题意可知，，因为，所以. 因为，，得， 又因为在双曲线上，则， 所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为，，. 联立， 化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或. （ii），，则， 直线的方程为，直线的方程为. 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以， 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 80．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据给定条件，求出椭圆短半轴长，结合离心率求出长半轴长即可. （2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆，再表示出直线与的方程，联立求出交点，即可计算推理得证. 【解答过程】（1）设椭圆的标准方程为，由短轴长为，得， 由离心率为，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为：，，而， 由消去得：， ， 则，， 又直线的方程为：，即， 又直线的方程为：，即， 由，得， 所以当点运动时，点恒在定直线上. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $