3.2 一个数除以分数-【七彩课堂】2025-2026学年六年级数学上册同步教学设计（青岛版）

2 一个数除以分数 1. 教学内容 教材第27—30页，已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1. 教学提示 算理的理解，应借助画一画、涂一涂。 教学目标 知识与能力 学生在解决具体问题的过程中，探索一个数除以分数的计算法则。 过程与方法 在经历探索一个数除以分数计算方法的过程中，培养培养学生知识迁移、转化的能力。 情感、态度与价值观 解决现实问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体验学习数学、应用数学的乐趣。 1. 重点、难点 重点：掌握一个数除以分数的计算法则。 难点：利用一个数除以分数的相关知识解决实际问题。 教学准备 教师准备：实物投影仪；多媒体课件；直尺、铅笔、橡皮等。 学生准备：直尺、铅笔、橡皮等。 教学过程 （一）新课导入： 同学们，你们喜欢布艺手工劳动吗，会做什么呀？看我们布艺小组同学做的书信袋，既环保又实用，多么有创意。 多媒体出示信息窗2的第一幅图：兴趣小组的同学用2米布做书信袋。一个小书信袋需要米，一个大书信袋需要米。 师：说说你了解到的信息，能提出什么问题？ 生：2米布可以做多少个小书信袋？能做多少个大书信袋？ 设计意图：谈话导入布艺手工制作，小组同学制作书信袋（课件出示）。激发学生探求知识的兴趣，从而寻找信息，根据信息提出简单的问题。培养学生从生活中发现数学信息，抽象出数学问题的能力。 （二）探究新知： （一）解决第一个红点问题。 师：我们先来解决第一个问题，列出算式2÷，想一想为什么列除法算式？ 学生明确：要求能做多少个小书信袋，就是把2米布按米分一分，看能分成几份。 谈话：请大家观察这道算式，它和前面学习的除法算式有什么不同？根据学生的回答揭示课题：整数除以分数。 2、师：可以先通过画图的方法来思考。 出示： 想一想，该怎样计算？ 学生四人小组合作讨论，再组织全班交流。 生1：从画图中可以看出2米分成了10个米，所以2÷=10。 生2：可以根据1米布可以做5个小书信袋，想到2米布可以做10个小书信袋，2×5=10，所以2÷=10。 生3：还可以这样思考，1里面有5个，2里面有（2×5）个，2÷=2×5=10 谈话：从大家的思考交流中，我们可以看出2÷=2×5。这个等式中的5与有什么关系呢？从这个等式中你还能想到什么？ 生1：我发现5和互为倒数。 生2：我发现2除以等于2乘的倒数。 生3：我猜想在算整数除以分数时可以等于整数乘这个分数的倒数。 3、谈话：同学们能用多种方法分析问题，老师非常佩服。但是，同学的猜想是正确的？具有普遍性吗？我们通过解决第二个问题进一步验证。 （二）解决第二个红点问题 多媒体出示：2米布可以做多少个大书信袋。 学生列出算式：2÷ 学生小组讨论计算方法，进一步验证猜想，全班交流。 生1：我通过画图的方法看出2米有5个米。 生2：2里面有10个，每两个看做一份，2里面就有（2×5÷2）个，写成算式2÷=2×5÷2=2×=5 生3：通过同学们的计算过程，看出除以等于乘的倒数，所以同学的猜想是对的。 4、谈话：我们通过解决这个问题验证了同学们的猜想，那么整数除以分数可以怎样计算呢？ 学生进一步总结归纳：整数除以分数，等于整数乘这个分数的倒数。 多媒体出示信息的内容：兴趣小组的同学用米布给洋娃娃做小裙子，做一条需要米。 师问：同学们根据这些信息能提出什么数学问题？ 生：米布可以做几条裙子? 师：怎样解决这个问题呢？ 学生思考后可能回答： 生1：看看米布里有多少个米。 生2：用除以可以算出来。学生列式：÷ 2、师：这个算式的结果是多少？怎样算呢？将你的想法说给小组里的同学听。 小组讨论，教师参与到小组里。 谈话：哪个小组愿意把你们的想法和大家说一下？ 学生自主探究后交流，理解明确：根据分数除以整数和整数除以分数的计算法则，用乘的倒数。师板书：÷=×=5（条） 3、谈话：回顾联系前面学习的2÷=2×5 2÷=2×，再观察今天学习的÷=×，它们有什么共同的地方，你有哪些新的发现？ 生1：被除数是分数和整数。 生2：除数都是分数。 生3：计算时都把除法转化成了乘法，都要乘除数的的倒数 谈话：通过刚才的交流，能说说分数除法的计算方法吗？ 生1：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 生2：甲数除以乙数，等于甲数乘乙数的倒数。 谈话：同学们归纳出分数除法的计算方法，想一想还有补充吗？ 生：甲数除以乙数要0除外，因为0不能做除数，0没有倒数 师生共同将计算法则补充完整。 总结：一个数除以分数，等于这个数乘这个分数的倒数。 设计意图：通过除法的意义，正确列出算式。遭遇不会计算的困境，开动脑筋结合已有的知识经验，让学生通过讨论，寻求解决问题的方法。由于不同学生对不同知识的熟练程度不同，会采取不同的方法。这样反而丰富了解题思路。教师再进行合理优化，从而确定最优方法。 （三）巩固新知： 1、自主练习第2题 这是一道巩固新知的基本练习。可以让学生比一比谁算得又对又快，各自在教科书上填写，再指名口答。 2、自主练习第4题 这道题都是利用新知解决生活中的实际问题。学生可以利用数量关系长=面积÷宽，列出算式2÷进行计算。 3、自主练习第6题通过看图理解题意，明确求一瓶水能倒多少杯，就是求2升里包含多少个升，用2÷=8杯。 4、自主练习第7题 这题是一道简单的实际应用的题目。练习时，可让学生独立解答并交流。注意说明“路程÷时间=速度”的数量关系及计算的方法。 5、自主练习第9题 这是学生用所学习知识解决实际问题的题目。练习时，先让学生在小组中交流解题思路，可以求1小时走的路程即同学的速度，走路程多的同学较快。也可以求走1千米所用的时间，用时少的同学较快。教师要提倡一题多解，拓展学生的思考空间。 6、自主练习第10题 这是一道找规律的题目。旨在打破学生的一种思维定势：长期的整数除法运算使学生认为商一定小于被除数。这个定势在学习小数除法时已得到修正。因此，可以先让学生自己解答，再讨论，如情况允许，最好让学生讨论为什么出现这种现象，最后得出答案：如果除数小于1，商就大于被除数；如果除数大于1，商就小于被除数；如果除数等于1，商就等于被除数。从而加深对除法算式具体含义的理解。 设计意图：加强计算能力的培养和训练同时复习除法的意义、以及常见的数量关系，能正确列出除法算式。从而提高学生把生活问题数学化的能力。 （四）达标反馈 1、填一填： ÷=×（ ） ÷=×（ ） ÷（ ）=× ÷（ ）=× 2、算一算 3、一个长方形的面积是平方米，长是3米，宽是多少米？ 4、一个数的是，这个数是多少？ 5、什么数乘以是42？ 6、某商店上半年卖出全自动洗衣机270台，占卖出洗衣机总数的，上半年卖出洗衣机多少台？ 答案：，4，，，×，，27，，×，，。2、25，9,16,75。3、÷3=。4、÷=。5、42÷=72。6、270÷=486（台）。 设计意图：强化分数除法法则应用形式，使学生规范做题。同时根据不同问题，学会正确列式。 （五）课堂小结 这节课你学会了什么，你有哪些收获？ 预设：生：一个数除以分数的计算方法。一个数除以分数，等于这个数乘这个分数的倒数。 生：一个数除以分数的计算原理。即一个数里面包含多少个另一个数。 转化的思想方法的应用。 设计意图：教师通过学生的总结，了解本节课的课堂教学效果，从知识、能力、数学思考、情感态度价值观等多方面了解学生在本节课的发展，为今后的教学研究提供思路。 （六）布置作业 1、写出下面各数的的倒数。 7（ ） （ ） （ ） 10（ ） （ ） 2、在○里填上运算符号，在（ ）里填上适当的数。 ÷2=○=（ ） ÷10=○（ ）=（ ） 6÷=6○（ ）=（ ） ÷=（ ）○（ ）=（ ） 3、判断。正确的画“√”，错误的画“×”。 （1）÷== （ ） （2）48÷＜48 （ ） （3）一个数除以，相当于把这个数扩大到原来的3倍。 （ ） （4）如果a是一个非0的自然数，÷a=×。 （ ） （5）÷5=×5。 （ ） （6）4分米的和5分米的相等。 （ ） （7）两个数相除，商一定小于被除数。 （ ） 4、计算下面各题。 ÷21= ÷= ÷= 5÷= ÷= 5、一个平行四边形的面积是平方米，底是米，高是多少米？ 6、挖一条长千米的水渠，第一天挖了千米，第一天挖的占全长的几分之几？ 7、把米长的电线平均剪成4段，每段长多少米？ 8、一辆汽车小时行驶了60千米，照这样计算，这辆汽车1小时能行多少千米？ 9、一个三角形的面积是平方米，它的底是米，它的高是多少米？ 答案：1、，，，，。2、×，，×，，，×，，，，×，，。3、√，×，√，√，×，×，×。4、，，，，1。5、÷=2（米）。6、÷=。7、÷4=（米）。8、60÷=80（千米）。9、×2÷=（米）。 1. 板书设计 一个数除以分数 2÷=2×5=10 2÷=2×5÷2=2×=5；2÷=2×=5 ÷=×=5（条） 总结：一个数除以分数，等于这个数乘这个分数的倒数。 1. 教学反思 教后反思：1、以探索为主线，鼓励学生算法多样化。学生是课堂教学中的主体，将更多的时间、空间留给学生，是调动和发挥学生主体意识的重要途径之一。从问题的提出，就让学生主动参与到探索和交流的数学活动中来。在探索的过程中，教师尊重每一个学生的个性特征，允许不同的学生尽可能地从不同角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，用不同的知识与方法解决问题。 2、让学生充分评价和反思。在教学过程中要引导学生加以评价，加强反思。当学生探索出多种算法后，教师给予恰到好处的评价，学生就会随时深入思考，同时也能反思每一种算法是否更具有一般性，普遍性。 3、关注学生的情感教育，将数学知识的学习与科技发展和生活实际相联系，激发学生的参与学习积极性，体验数学与生活的联系，感受数学的价值。 1. 教学资料包 教学精彩片段 探究新知： 1.（课件出示信息窗2的主题图）让学生仔细观察主题图，收集图中的数学信息。 （1）布艺兴趣小组的同学们用2米布做书信袋。 （2）做一个小书信袋需要布米。 （3）做一个大书信袋需要布米。 2．根据以上的数学信息，让学生提出问题。 预设可能出现的问题： （1）2米布可以做多少个小书信袋？ （2）2米布可以做多少个大书信袋？ （3）2米布可以做的小书信袋比2米布可以做的个大书信袋多多少个？ （4）2米布可以做的小书信袋比2米布可以做的个大书信袋少多少个？ …… 3.独立思考，解决问题。 （1）让学生独立思考，解决上面的问题1。 （2）请学生汇报：（预设） 2米布可以做多少个小书信袋？这是一个平均分问题。 列除法算式：2÷= （3）让学生继续思考：这个除法算式和上节课研究的分数除法有什么不同？怎样计算哪？ 4.探究新知。 （1）让学生独立思考：：2÷这个算式表示什么意思？或者：2÷表示2米里面有多少个米？ （2）怎样才能知道2米里面有多少个米哪？如果学生存在困难，可以引导学生思考：1里面有几个？2里面有几个？ （3）学生汇报思考结果：（预设） 生1：我画图分析： 1里面有5个，2里面有（2×5）个。 写成算式是2÷=2×5=10（个）。 生2：我也是这样做的，我还发现5和互为倒数，2除以等于乘它的倒数。也就是说，整数除以分数，等于整数乘这个分数的倒数。 生3：…… 生4：我觉得：和上一节学习的有些相似，最后都把除法变成乘法，并且是乘的这个数的倒数。 （4）同桌互相讨论，交流：你是怎样理解这些方法的？你觉得那种方法最好理解？那种方法适用范围更广。 5、继续探讨，解决问题。(1)请学生独立思考，解决问题2。 …… 教学资源： 1、在○里填上“＞”“＜”或“＝”。 4÷○4 2÷2○2 ÷1○ 4÷○4 2÷○2 ÷1○ 2、看图想想怎样列一个除法算式。并求出结果。 3、解方程。 x=40 4x= x = x =× 4、右图中的重叠部分是图形A的，是图形B的。 已知图形B的面积是30平方分米，图形A的面积是多 少平方分米？ 答案：1、＞，＜，＝，＞，＜，＝。总结：一个数除以一个＞1的数，商＜它本身；一个数除以一个=1的数，商=它本身；一个数除以一个＜1的数，商＞它本身。2、6÷=54（人），45÷=80（平方米）。3、x =64；x =；x =；x =。4、30×÷=90（平方分米）。 资料链接 三国时代的数学家赵爽 赵爽，又名婴，字君卿，生平不详，约生活于公元3世纪初，东汉末至三国时代的吴国人。赵爽对数学有深刻的研究，他研究过张衡的天文数学著作，也研究过刘洪的《干象历》，但他在数学上的最大贡献，是在研究《周髀算经》中所取得的成就。 在赵爽《周髀注》中，他撰成《勾股圆方图说》，附录于《周髀》首章的注文中，勾股图说短短五百多字，附图六张，简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成就，不?勾股定理和其它关于勾股?的恒等式获得了相当严格的证明，并且对二次方程解法提供了新的意见。 据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深人研究了《周牌算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。” 即2ab+(b-a)^2=c^2，化简便得a^2＋b^2＝c^2。其基本思想是图形经过割补后，面积不变。刘徽在注释《九章算术》时更明确地概括为出入相补原理，这是后世演段术的基础。赵爽在注文中证明了勾股形三边及其和、差关系的24个命题。例如 √(2(c-a)(c-b)) + (c-b) = a， √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) = b， √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) + (c-b) = c等等。他还研究了二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，并得到二次方程求根公式之一。此外，使用“齐同术”，在乘除时应用了这一方法，还在‘旧高图论”中给出重差术的证明。赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响。 学科网（北京）股份有限公司 $