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微专题2 利用勾股定理列方程
解决折叠问题
第一章 勾股定理
☞类型1 直接运用折叠性质
1. 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,
点D在BC边上,将直角边AC沿直线AD折叠,点C恰好落在
斜边AB上的点E处。设DE的长为x,则CD= x ,BD
= 8-x (用含x的代数式表示)。
x
8-x
☞类型2 设未知数,运用勾股定理列方程
2. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AB=10。
在AC边上取一点E,以BE为折痕,使AB的一部分与BC重
合,A与BC延长线上的点D重合,求CE的长。
解:由勾股定理,
得AC2=AB2-BC2=100-36=64,
即AC=8,
由折叠的性质,可得BD=AB=10,EA=ED,
所以CD=BD-BC=10-6=4,
设CE=x,则EA=ED=8-x,
在Rt△DCE中,由勾股定理,
得x2+42=(8-x)2,
解得x=3,所以CE的长为3。
3. 如图,折叠长方形ABCD,使点D恰好落在对角线AC上的
点F处。若AB=6,AC=10,求梯形ABCE的面积。
解:在△ABC中,∠B=90°,
由勾股定理,得BC2=AC2-AB2=102-62=64,
所以BC=8,所以AD=BC=8。
由折叠知CF=CD=AB=6,DE=EF,
∠AFE=∠CFE=∠CDE=90°。
设DE=EF=x,AF=AC-CF=4,AE=8-x。
在Rt△AEF中,(8-x)2=42+x2,解得x=3,
所以EF=3,AE=8-3=5,
所以S梯形ABCE= ·AB=(5+8)×6÷2=39。
解:在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,
故△ABC为直角三角形,由折叠知AB'=AB=3,
DB'=BD,∠B=∠AB'D=∠CB'D=90°,
所以CB'=2。设B'D=BD=x,则CD=4-x,
因为DB'2+CB'2=CD2,所以x2+22=(4-x)2,
解得x= ,所以DB'= 。
4. 如图,在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,将△ABC
折叠,使点B恰好落在斜边AC上的点B'处,AD为折痕,求
DB'的长。
5. 如图,折叠长方形纸片ABCD,使点D落在边BC上的点F
处,AB=6,AD=10,求EC的长。
解:由折叠知AF=AD=10,EF=DE。
因为AB=6,AF=10,∠B=90°,
由勾股定理,得BF=8,所以CF=2,
设EC=x,则EF=DE=6-x。
则在Rt△EFC中,x2+22=(6-x)2,
解得x= ,所以EC= 。
6. 如图,长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方
形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF。求△ABE的面积。
解:设BE=x cm,由折叠的性质可得DE=BE=x cm,
所以AE=AD-DE=(9-x)(cm),
在Rt△ABE中,BE2=AE2+AB2,
所以x2=(9-x)2+32,解得x=5,
所以DE=BE=5 cm,AE=9-5=4(cm),
所以S△ABE= AB·AE= ×3×4=6(cm2)。
解:如答图,过点F作∠CFE的平分线,交CE于点H,
所以∠CFH=∠EFH,
根据题意,得∠CEF=∠CEB,
因为AB∥CD,所以∠CEB=∠ECD,
所以∠CEF=∠ECD,
又因为∠CFH=∠EFH,FH=FH,
所以△CFH≌△EFH(AAS),所以EF=CF,
7. 如图,将长方形纸片沿着CE所在直线对折,B点落在点B'
处,CD与EB'交于点F,如果AB=10 cm,AD=6 cm,AE=
2 cm,求EF的长。
答图
如答图,过点E作EG⊥CD于点G,则DG=AE=2 cm,
设EF=CF=x cm,
则GF=AB-AE-EF=10-2-x=(8-x)cm,
在Rt△EFG中,EF2=GF2+EG2,
所以x2=(8-x)2+62,
所以x= ,所以EF= cm。
答图
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