精品解析：广西部分学校2025-2026学年高三上学期考试数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 30 B. 58 C. 60 D. 90 6. 已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 7. 已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，为边上的一列点，连接交于点，且满足，其中数列是首项为1的正项数列，则（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列的前项和为 C. 数列为递增数列 D. 11. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. 图2中， D. 图2中，是及其内部的点Q构成的集合.设集合，则表示的区域的面积小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则复数___________. 13. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则___________. 14. 对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值，后来人们发现，这是一个“令人吃惊的好结果”．随着科技的发展，计算的方法越来越多．已知，定义的值为的小数点后第个位置上的数字，如，，规定．记，集合为函数的值域，则集合______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，Ｏ为坐标原点，余弦相似度为向量夹角的余弦值，记作，A，B的余弦距离为.已知，若P，Q的余弦距离为，求Q，R的余弦距离. 16. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点. （1）证明：平面平面： （2）若直线与平面所成角的正弦值为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知函数的极值点构成数列为． （1）求证：当时，； （2）求函数的单调区间，并证明为等差数列； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 19. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合A,B的并集，根据补集的概念和运算，即可求得答案. 【详解】∵ ，，, 故， ∴， 故选：C． 2. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 4. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先证明由可得，再举反例说明由不能推出即可. 【详解】若“”成立，则或， 当时，， 当时，， 因此，“”可以推出“”， 若“”成立，利用代入，得，即， 这只能说明，不能推出“”， 例如，当时，，但且， 所以，“”是“”的必要不充分条件， 故选：A. 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 30 B. 58 C. 60 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】借助等差数列片段和的性质计算即可得. 【详解】由数列为等差数列， 故、、、、亦为等差数列， 由，，则， 故，，， 即有，，. 故选：D. 6. 已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的平移变换和对称性可得，再利用余弦函数的周期性列式求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，的图像关于轴对称， 则， 所以，，解得，， 又，所以的最小值为4， 故选：A 7. 已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的图象与直线交点的横坐标，即为的零点，因此作出函数的图象，直线，由它们有三个交点可得出的范围，的关系，从而求得结论． 【详解】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点， 由于，，因此，，， 而，即，所以， 所以， 故选：B． 8. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得出，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则化简为，， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故， 则实数的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断. 【详解】对于A，，A正确， 对于B，，B错误， 对于C，因为，， ，， 所以，C正确， 对于D，因为， ， 所以，D错误， 故选：AC. 10. 如图，在四边形中，为边上的一列点，连接交于点，且满足，其中数列是首项为1的正项数列，则（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列的前项和为 C. 数列为递增数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据向量共线定理得到，从而，A正确；B选项，在A选项基础上得到，由分组求和和等比数列求和公式得到B正确；C选项，举出反例即可；D选项，在B选项基础上得到D正确. 【详解】A选项，因为为边上的一列点，设， 即，所以 ， 即，所以， 即，所以数列为公比为2的等比数列，A正确； B选项，因为，所以， 故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，， 的前项和为 ，B正确； CD选项，，故，显然， 则数列不是递增数列，C错误，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. 图2中， D. 图2中，是及其内部的点Q构成的集合.设集合，则表示的区域的面积小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据已知条件求出的值，即可判断A；结合的取值范围求出的值，可判断B；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C；求出，结合扇形的面积公式可判断D. 【详解】函数的最小正周期为， 对于A，在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设点，则点、， ，因为，解得，故A正确； 对于B，，则，可得， 又因为函数在附近单调递减，且，所以，， 所以，，故B错误； 对于C，因为，可得， 又因为点是函数的图象在轴左侧距离轴最近的最高点，则，可得， 因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，所以，，可得， 翻折后，则有、、、， 所以，，， 所以，在图2中，，故C正确； 对于D，在图2中，设点，， 可得， ，，， 易知为锐角，则， 所以，区域是坐标平面内以点为圆心，半径为，且圆心角为的扇形及其内部， 故区域的面积，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则复数___________. 【答案】0 【解析】 【分析】由复数的乘除运算可得. 【详解】， . 故答案为：0. 13. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形分析可得，进而根据，并结合正切的二倍角公式求解即可. 【详解】解：圆即为，可知圆心为，半径为2， 如图，易知直线为圆的一条切线， 设两条切线的切点为，两条切线的夹角， 因为， 所以， 故答案为： 14. 对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值，后来人们发现，这是一个“令人吃惊的好结果”．随着科技的发展，计算的方法越来越多．已知，定义的值为的小数点后第个位置上的数字，如，，规定．记，集合为函数的值域，则集合______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合，逐次计算，即可求解. 【详解】由，集合为函数的值域， 可得，，，， ，，，， ，，所以， 又由 且， 可得，， ，， ，， ，， ，， 可得， 同理可得，． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，Ｏ为坐标原点，余弦相似度为向量夹角的余弦值，记作，A，B的余弦距离为.已知，若P，Q的余弦距离为，求Q，R的余弦距离. 【答案】 【解析】 【分析】根据题干可解得，再根据余弦距离定义代入可求. 【详解】P，Q的余弦距离为 所以， 解得， 故Q，R的余弦距离为 故A，B的余弦距离为. 16. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】（1） （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点. （1）证明：平面平面： （2）若直线与平面所成角的正弦值为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 取中点，连接， 因为，，， 所以，又，所以四边形为平行四边形， 因为，，所以四边形为正方形， 故，⊥， 所以为等腰直角三角形， 故，，即⊥， 又，平面， 故⊥平面， 因为平面， 所以平面⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出⊥，结合线面垂直得到，从而证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据线面角的正弦值列出方程，求出，再用面面角的余弦公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 由（1）得，， 故以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 则直线与平面所成角的正弦值为 ， 所以，解得，或（舍去），负值也舍去， 故平面的法向量为， 又平面的法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. 18. 已知函数的极值点构成数列为． （1）求证：当时，； （2）求函数的单调区间，并证明为等差数列； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明：当时，令，， 令所以单调递增， 当时， 所以在上单调递增，所以， 即得，所以； （2） 函数的单调增区间为，，单调减区间； 证明如下： 令，即得，所以， 结合单调区间知函数的极值点为， 因为，所以， 即得，所以是以为首项以为公差的等差数列； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知构造函数再求出导函数正负得出函数的单调性即可得出即可证明； （2）根据导函数的正负得出函数的单调区间，再根据极值点是，最后应用等差数列的定义证明； （3）先根据（2）得出进而参数分离构造函数，再作差得出单调递减，即可计算求参. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，所以，又因为， 当时，即或，单调递增； 当时，即单调递减； 所以函数的单调增区间为，，单调减区间； 证明略； 【小问3详解】 由（2）知，则， 因为不等式对一切恒成立，即不等式对一切恒成立， 令， 因为， 令，当单调递增，当单调递减， 当时， 当时， 所以当时，， 所以单调递减，所以， 所以的取值范围是 19. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据求出，构造出，得到为首项为，公比为的等比数列，并求出通项公式，得到； （2）变形得到，构造，作差得到，得到数列单调性，得到； （3），结合及二项式定理得到当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得到，利用二项式定理得到除以16的余数为除以16的余数，求出答案. 【小问1详解】 当时，，又，所以， 当时，①， 故②， 式子①-②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故， 【小问2详解】 由（1）知，，故， 对于任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 设，于是， 当时，，即， 当时，，即， 故，所以， 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8. 【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $