考点培优练01 等差数列、等比数列 9大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练01 等差数列、等比数列9大考点 考点01 等差数列的判定与证明 1 考点02 等差数列的基本量运算 2 考点03 等差数列角标性质的应用 3 考点04 等差数列前n项和性质的应用 3 考点05 等差数列前n项和的最值问题 4 考点06 等比数列的判定与证明 5 考点07 等比数列的基本量运算 6 考点08 等比数列角标性质的应用 7 考点09 等差数列与等比数列应用 7 考点01 等差数列的判定与证明 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 1．（多选）若首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列是等比数列 C．数列 为递增数列 D．中存在三项构成等差数列 2．（多选）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是公差为2的等差数列 C． D．数列是等比数列 3．（多选）记为数列的前项和，已知，，则（    ） A． B．是等差数列 C．是等差数列 D． 4．已知正项数列的前n项和为，且． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为，求． 5．已知数列的前项和为，且，. (1)证明：数列是等差数列并求通项； (2)给定正整数，设函数，求. 考点02 等差数列的基本量运算 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 6．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 7．记为等差数列的前项和，已知，则（   ） A．22 B．24 C．28 D．36 8．等差数列的公差，若成等比数列，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 9．记为等差数列的前项和，若，，则 . 10．已知数列是等差数列，若，，则数列的公差 ． 考点03 等差数列角标性质的应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 11．已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 12．已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．设为正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为（   ） A． B． C．9 D．5 14．已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（    ） A． B． C． D． 15．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，，则的值是 ． 考点04 等差数列前n项和性质的应用 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 16．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 17．（多选）在等差数列中，，，记数列的前项和为，则（   ） A． B．取最小值时， C．数列是递增数列 D．数列的前10项和为50 18．已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 19．在等差数列中，已知，，则 . 20．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 考点05 等差数列前n项和的最值问题 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题， 但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 21．（多选）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 22．（多选）设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 23．（多选）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当时，中只有最大 D．当时， 24．（多选）已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 25．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“存在最小值”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 考点06 等比数列的判定与证明 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 26．（多选）已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．是等比数列 27．（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．是等差数列 D．是等比数列 28．记为数列的前n项和，已知，，． (1)求，； (2)证明：为等比数列； (3)求． 29．设数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求； (3)是否存在正整数，满足，若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由. 30．已知正项数列满足． (1)求证：是等比数列 (2)设，记数列的前项和为，求证：． 考点07 等比数列的基本量运算 1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体． 31．已知公差不为零的等差数列满足，且成等比，则的前5项和（    ） A．100 B．80 C．50 D．30 32．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 33．等比数列的前项和为，若，则公比 ． 34．已知为数列的前项和，若，则 ． 35．已知等比数列满足，则 . 考点08 等比数列角标性质的应用 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）． 36．在等比数列中，，则（   ） A．36 B． C． D．6 37．在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．或 C． D． 38．已知等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 39．设等比数列的前项之积为，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 40．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 考点09 等差数列与等比数列应用 解决数列新背景问题的步骤 （1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意； （2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型； （3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和． 41．某企业年初贷款万元，年利率为，按复利计算，从年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（   ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 42．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 43．某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 44．某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（    ） A．20排 B．21排 C．22排 D．23排 45．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个3（），得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ． $考点培优练01 等差数列、等比数列9大考点 考点01 等差数列的判定与证明 1 考点02 等差数列的基本量运算 6 考点03 等差数列角标性质的应用 8 考点04 等差数列前n项和性质的应用 10 考点05 等差数列前n项和的最值问题 13 考点06 等比数列的判定与证明 16 考点07 等比数列的基本量运算 21 考点08 等比数列角标性质的应用 23 考点09 等差数列与等比数列应用 25 考点01 等差数列的判定与证明 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 1．（多选）若首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列是等比数列 C．数列 为递增数列 D．中存在三项构成等差数列 【答案】AC 【分析】由已知得出是以2为公比的等比数列，表示出和，再分别判断各选项即可． 【详解】由得，，， 所以是以首项为，公比为2的等比数列，故A正确； 所以，即， 当时，， 所以，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，因为，当时，， 所以，数列 为递增数列，故C正确； 对于D，取，且， 假设存在能构成等差数列，则， 则有，即，所以， 因为，所以，与矛盾； 假设存在能构成等差数列，则，即， 则，即，显然当时无解， 所以中任意三项不能构成等差数列，故D错误； 故选：AC． 2．（多选）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是公差为2的等差数列 C． D．数列是等比数列 【答案】ACD 【分析】根据题意计算出，求出通项及前项和，再依次判断选项即可. 【详解】由题意可得：，解得或, 因为等比数列的公比为整数，所以，所以等比数列的通项公式为：.故A正确； 选项B:因为, 所以,且当时，,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以选项B错误； 选项C:因为所以等比数列的其前项和所以所以选项C正确. 选项D:由选项C得,所以且当时，,所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.所以选项D正确. 故选：ACD 3．（多选）记为数列的前项和，已知，，则（    ） A． B．是等差数列 C．是等差数列 D． 【答案】BCD 【分析】令结合已知求得判断A；对递推式变形利用等差数列定义判断B；由和的关系及等差数列的定义即可判断C；利用裂项相消法求和即可判断D. 【详解】对于A，令，可得，故，故A错误； 对于B，题干中式子两边同时除以，得， 因此是以2为首项，1为公差的等差数列，故B正确； 对于C，易得，故， 当时，， 当时也符合，故，则，为常数，则是等差数列，故C正确； 对于D，易得，则，故D正确. 故选：BCD 4．已知正项数列的前n项和为，且． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2)5 【分析】（1）在递推关系中令可求，利用可得，故可证是等差数列，求出可求的通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法可求. 【详解】（1）令得，解得或， 而，. 由得，故， 整理得到：， 故是等差数列，且首项为，公差为2， 故， 而为正项数列，故， 故， 当时，，且也满足该式， 故． （2）， 故 ． 5．已知数列的前项和为，且，. (1)证明：数列是等差数列并求通项； (2)给定正整数，设函数，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题设结合与的关系可得，再利用等差数列的定义即可求证以及求出； （2）由（1）得，求导得，进而利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 则， 则， 则，即，， 又，所以，， 则数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. （2）由（1）得， 所以， 故， 可得①， 所以②， 由①②得： ， 所以. 考点02 等差数列的基本量运算 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 6．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解即可. 【详解】由题意得，得. 故选：D 7．记为等差数列的前项和，已知，则（   ） A．22 B．24 C．28 D．36 【答案】C 【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解. 【详解】由可得， 解得， 故， 故选：C 8．等差数列的公差，若成等比数列，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可以得到，进而将式子化为基本量求出，进而求解判断各选项即可. 【详解】由成等比数列，得， 则，又， 则，解得（舍去）或， 则，. 故选：C 9．记为等差数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列通项公式基本量的运算和前n项和的基本量运算列式求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 10．已知数列是等差数列，若，，则数列的公差 ． 【答案】2 【分析】利用等差数列通项公式列方程组求解． 【详解】是等差数列，公差为， ， ，解得． 故答案为：2． 考点03 等差数列角标性质的应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 11．已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求出，再利用等差数列的通项公式计算即可求解. 【详解】已知是等差数列， ， 由等差数列的性质可得，. 因此， ， 又因为，， 所以. 故选：B. 12．已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列求和公式的性质及三点共线的推论计算参数即可. 【详解】根据等差数列前项和公式的二次函数特性，且， 不妨设， 则， 又三点共线，则， 所以. 故选：A 13．设为正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为（   ） A． B． C．9 D．5 【答案】B 【分析】由条件可得，，由根据等差数列求和公式可得，结合等差数列性质可得，再利用基本不等式求的最小值即可. 【详解】因为数列为正项等差数列，所以，， ，可得，即， 由等差数列性质可得， 所以， 因为，，故，， 则，当且仅当时等号成立. 由解得，， 即当，时，取得最小值为， 故选：B. 14．已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，结合同角三角之间的关系得出，，再利用等差数列的性质以及两角和差的正切公式即可计算. 【详解】由辅助角公式可知的最大值为，故， 因，则， 即，得， 则， 则， 因是等差数列的第5项，则， 则. 故选：A 15．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据等差数列、等比数列的性质求解即可. 【详解】由于数列是等比数列， 则，，， 由于数列是等差数列， 则，，， 则， 故答案为：. 考点04 等差数列前n项和性质的应用 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 16．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 故选：A 17．（多选）在等差数列中，，，记数列的前项和为，则（   ） A． B．取最小值时， C．数列是递增数列 D．数列的前10项和为50 【答案】ACD 【分析】A选项，设出公差，根据条件得到方程，求出公差，进而求出首项；B选项，表示出，求出时，取得最小值，B错误；C选项，求出，故，C正确；D选项，求出通项公式，当时，，当时，，从而利用求出的前10项和. 【详解】A选项，设的公差为，则， 即，解得， 故，所以，A正确； B选项，， 当时，取得最小值，B错误； C选项，，故， 所以为递增数列，C正确； D选项，， 当时，，当时，， 的前10项和为，D正确. 故选：ACD 18．已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为：10 19．在等差数列中，已知，，则 . 【答案】60 【分析】根据等差数列片段和的性质即可求解. 【详解】由于成等差数列，所以成等差数列，故，故， 故答案为：60 20．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【答案】 【分析】根据奇数项的和与偶数项的和，可作比得到，由此可得项数和中间项. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， ，解得：，即等差数列的项数为； 项的数列的中间项为第项，即， 由得：，解得：，即中间项为. 故答案为：；. 考点05 等差数列前n项和的最值问题 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题， 但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 21．（多选）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】BC 【分析】利用等差数列的性质得出，，即可逐一判断. 【详解】因数列是等差数列， 则，， 则，，则， 则公差（数列是递减数列），，时取得最大值， 故A、D错误；B、C正确； 故选：BC 22．（多选）设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 【答案】AC 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是等差数列的前项和， 所以由， 由，而，所以， 因为数列是等差数列，所以等差数列的公差，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且，所以，且，所以本选项说法不正确； C：由上可知：，，因此数列的前项都是正数，从第项起每项都是负数， 所以当时，取得最大值，因此本选项说法正确； D：因为， 所以，又， 所以使成立的最大整数为，因此本选项说法不正确， 故选：AC 23．（多选）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当时，中只有最大 D．当时， 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式、等差数列的性质对各个选项逐一分析即可求解. 【详解】对于A，等差数列中，，有，有，可得，故A正确； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，有，所以和最大，故C错误； 对于D，由，，有，故D正确． 故选：ABD． 24．（多选）已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】CD 【分析】由等差数列通项公式基本量的计算可判断A，由A结合二次函数可判断B，由通项公式可判断C,D. 【详解】设的公差为，由，，得，， A错误； 因为，对称轴为：， 所以时，取得最小值，B错误； 由知，，，，都小于0，，，，都大于0， 所以的最小值为，C正确； 由知，，，都小于0， ，，，都大于0， 中，，，，都小于0，其他的都大于0，显然最小，D正确. 故选：CD. 25．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“存在最小值”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，利用充分条件、必要条件的概念判断两命题间的逻辑推理关系，即可判断. 【详解】当且时，存在最小值，当且时，存在最小值， 故“”能推出“存在最小值”， 当且时，存在最小值为 ， 所以“存在最小值”不能推出“”， 所以“”是“存在最小值”的充分不必要条件. 故选：A 考点06 等比数列的判定与证明 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 26．（多选）已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】根据等比数列的公式和性质，求公比和通项公式，结合选项，即可判断. 【详解】设的公比为，则由，递增，得，因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，，所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确. 故选：ACD 27．（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】BD 【分析】根据已知递推关系可得到，结合等比数列通项公式可求得B正确；采用作差法可知A错误，根据等差数列定义可得C错误；由B得，知D正确. 【详解】对于B，，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列； ，解得：，B正确； 对于A，由B知：，，A错误； 对于C，， ， 不是常数，不是等差数列，C错误； 对于D，由B知：，即， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，D正确. 故选：BD. 28．记为数列的前n项和，已知，，． (1)求，； (2)证明：为等比数列； (3)求． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)384 【分析】（1）代入即可求解，进而根据求和的定义求解， （2）根据等比数列的定义，结合所给等式即可化简求解公比， （3）根据（2）的结论求解，即可代入求解. 【详解】（1）由可得，故，进而， （2）由可得， 为常数， 故为等比数列，且公比为，首项为， （3）由（2）知，即， ，故， 所以 29．设数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求； (3)是否存在正整数，满足，若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由已知等式得时，，然后相减后结合的情形可证得结论； （2）由错位相减法求和； （3）假设存在正整数，满足，则，即，先用反证法得到，再在时，由的单调性得，设，则，然后对分别求解，对再证明不可能，即可得． 【详解】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得，， 即， 整理得，， 当时，，解得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得，，则， , , 两式相减得， 所以； （3）假设存在正整数，满足，则，即， 若，则，无正整数解，所以. 若，则，也无整数解，所以. 时，，所以单调递减，则由得， 设，则， 当时，不符题意； 当时，，此时符合题意； 当时，，不符题意； 当时，，不符题意； 当时，， 因此，即当时，不符题意， 所以存在正整数，满足. 30．已知正项数列满足． (1)求证：是等比数列 (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题设整理可得，进而求证即可； （2）由（1）得，结合指数函数的性质可得，进而求和即可求证. 【详解】（1）由，则， 由于，则， 所以，则， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）得，，则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 则，即， 所以. 考点07 等比数列的基本量运算 1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体． 31．已知公差不为零的等差数列满足，且成等比，则的前5项和（    ） A．100 B．80 C．50 D．30 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，依题意得到关于的方程组，求出，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】设等差数列的公差为，因为且成等比， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：D 32．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【详解】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 33．等比数列的前项和为，若，则公比 ． 【答案】或1 【分析】将题设化为，解此方程即可. 【详解】因为，所以， 即，即，又因为， 所以，，解得或. 故答案为：或1 34．已知为数列的前项和，若，则 ． 【答案】 【分析】利用与的关系先判断数列是从第2项开始，是首项为3，公比为2的等比数列，进而利用等比数列的前项公式求解即可；还有直接把用表示出来，利用等比数列的概念求解即可. 【详解】解法1：因为，所以当时，； 当时，，所以，得， 所以数列从第2项开始，是首项为3，公比为2的等比数列． 所以当时，； 当时，，满足上式，所以． 解法2：由，得，又， 所以是首项为3，公比为2的等比数列，得， 显然也符合，所以. 故答案为： 35．已知等比数列满足，则 . 【答案】40 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的性质求得，进而得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意得，即，解得. 故（或） 故答案为：40 考点08 等比数列角标性质的应用 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）． 36．在等比数列中，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质，，结合可得，再利用即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同. 【详解】， 则， 又，解得， 因为， 所以. 故选：D. 37．在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，由条件可得，，由此可判断，再判断的符号，结合等比数列性质可得结论. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，是方程的两个实数根， 所以，且，所以，， 又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以. 故选：D. 38．已知等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列通项公式下标和性质直接求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：A． 39．设等比数列的前项之积为，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质可求的值. 【详解】因为，，故，而， 故选：A. 40．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质及对数运算计算得解. 【详解】等比数列的各项均为正数，且， . 故选：C 考点09 等差数列与等比数列应用 解决数列新背景问题的步骤 （1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意； （2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型； （3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和． 41．某企业年初贷款万元，年利率为，按复利计算，从年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（   ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【分析】设每年应偿还的金额为万元，由分期付款模型建立等式求解即可． 【详解】解:设每年应偿还的金额为万元, 由题意，得 ， 所以 故选：B 42．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 【答案】A 【分析】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列求和公式计算可得. 【详解】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以，解得. 故选：A. 43．某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【答案】B 【分析】根据题意将每排摆放花的盆数理解为等差数列，然后根据等差数列前项和进行求解即可. 【详解】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为. 由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故将该花坛铺满一共需要盆花. 故选：B 44．某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（    ） A．20排 B．21排 C．22排 D．23排 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式列式，再利用单调性确定答案. 【详解】依题意，该会场的座位构成以为首项，2为公差的等差数列，其前项和， 则，显然数列是递增数列， ，由，得， 所以该会场的座位至少有21排. 故选：B 45．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个3（），得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ． 【答案】30 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，并结合数列的增减性找出的最小值. 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，3，，，3，3，3，，，个，，个，，， 当时，， 当时，， 因，则数列为递增数列， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： $