7.4三角函数的应用（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数模型（y=Asin(ωx+φ)+b）的应用，从y=sinx的变换入手，结合昼夜交替、潮汐等现实周期现象，通过匀速圆周运动示例引入参数A、ω、φ的物理意义，搭建从知识到实际应用的学习支架。 其亮点是以简谐运动、温度变化、水轮问题等情境为载体，通过数学建模抽象函数模型，数学运算确定周期、振幅等参数，直观想象分析图像与数据。如弹簧振子数据拟合、水轮距离水面函数求解，帮助学生用数学眼光观察周期现象，用数学思维思考参数意义，用数学语言表达关系，教师可提升教学效率，学生能增强应用能力。

第七章 三角函数 7.4 三角函数的应用 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：从振动、周期变化等情境中抽象三角函数模型；利用性质解决实际问题； 教学难点：将变量关系转化为三角函数表达式，结合情境确定三角函数模型定义域. 能从实际情境抽象三角函数模型，明确参数的实际含义； 会用三角函数性质解决最值、周期相关实际问题，规范解题； 体会数学与现实的联系，提升运用数学知识解决问题的能力； 综合分析多变量情境选择合适模型. 教学目标 学科素养 数学建模：从实际情境抽象三角函数模型，确定参数； 数学运算：计算模型的周期、最值，结合实际条件求解； 直观想象：通过函数图像分析实际量的变化趋势，建立几何直观. 相位变换 振幅变换 伸缩变换 如何应用呢？ 新知引入 新知引入 　　现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么我们就可以考虑借助三角函数来描述. 地球自转引起的昼夜交替变化、地球公转引起的四季交替变化、月亮圆缺、潮汐变化、物体做匀速圆周运动时的位置变化、物体做简谐运动时的位移变化、交变电流变化等，都可用三角函数刻画。 新知引入 本节课我们来研究三角函数的应用问题. 示例1：匀速圆周上点P的纵坐标为 A表示圆的半径， 表示圆周转动的角速度， 表示点P的初始位置所对应的角. 问题探究 示例2：单摆的简谐振动 初始点 (不一定是O) 向右为正 点C 点O 点D 点O 物体做简谐运动时，位移y和时间x的关系为： A：物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； ：相位； ：初相，表示x = 0时的相位. 周期：，做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 频率：，做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； 例题1：点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．求： （1）物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系； （2）该物体在t = 5s时的位置． 解 （1）设x和t之间的函数关系为 ． 则由，可得． 当t = 0时，有，即． 又，可得． 因此所求函数关系，即． （2）令t = 5，得，故该物体在t = 5s时的位置是在O点的左侧且距O点1.5cm处． 待定系数法 典例精讲 t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0 变式1：某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． 振子的振动具有循环往复的特点，其位移 y 随时间 t 的变化规律可以用函数 y＝Asin(ωt＋φ) 来刻画． 根据已知数据作出散点图如右： 典例精讲 变式训练 由数据表和散点图可知y＝Asin(ωt＋φ) 中， 振子振动时位移的最大值为 20 mm，∴A＝20； 振子振动的周期为 0.6 s，即＝0.6，解得ω＝；再由初始状态(t＝0)振子的位移为-20，可得sinφ＝-1，∴φ＝－．∴振子的位移关于时间的函数解析式为 y＝20sin，t∈[0，＋∞)． 变式1：某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． 典例精讲 变式训练 解：（1）振幅 A＝3(cm)．周期 T＝4(s)，频率 f＝(Hz)． （2）由（1）可得 y＝3sin． 由点 (1.2，0) 在图象上可得φ＝＋2kπ (k∈Z)． 取 φ＝，则函数解析式为y＝3sin． y/cm x/s O 3.2 1.2 B C －3 3 例题2：某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题： （1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？ （2）写出这个简谐运动的函数解析式． 典例精讲 变式1：如图，某地一天从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b． （1）求这一天 6～14 时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式． 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是 20℃． (2)由图可知，6～14 时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20．∵ ×＝14－6，∴ω＝． 将 A＝10，b＝20，ω＝，x＝6，y＝10 代入Asin(ωx＋φ)＋b式，可得 φ＝． 综上，所求解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14]． 典例精讲 变式训练 解 （1）如图，建立平面直角坐标系． 设角是以Ox为始边，为终边的角． 由OP在t s内所转过的角为，可知以Ox为始边，OP为终边的角为，故P点纵坐标为，则 .当t = 0时，z = 0，可得． 因为，所以，故所求函数关系式为 例题3：一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间． （1）将点P到水面的距离z（单位：m．在水面下，则z为负数）表示为时间t（单位：s）的函数； 典例精讲 典例精讲 （2）令，得． 取，解得． 例题3：一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间． （1）将点P到水面的距离z（单位：m．在水面下，则z为负数）表示为时间t（单位：s）的函数； （2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？ 反思总结 问题1：对于三角函数应用题，我们应该如何解决？ 实际数据→选择函数模型→求解函数模型→检验结果→实际问题的解 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $