专题07 数列求和(奇偶项讨论和插入数或项)题型归纳 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题07 数列求和(奇偶项讨论和插入数或项)题型归纳 公式知识和题型归纳： 一、等差、等比数列奇偶项和的性质 1、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 2、 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 二、含奇偶项的数列求和问题 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 2、常见类型 题型：通项公式分奇、偶项有不同分段型； 通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如： 角度1：求的前项和 角度2：求的前项和 常见奇偶数列模型:(1)若，则，相减得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. (2)若，则，相除得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. (3)若，则直接按奇偶分开讨论. 3、其他类型 题型：通项含有(－1)n的类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 三、插入数或项构成新数列问题 1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 题型： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 题型： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 题型：在和之间插入个，组成新数列 求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和. 题型一 数列中分段函数型 例1．（2025·福建龙岩·一模）(多选)已知数列的前n项和为，，则下列选项正确的是（    ） A．数列的奇数项构成的数列是等差数列 B．数列的偶数项构成的数列是等比数列 C． D． 2.（23-24高三上·山东·模拟）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. (1)求的通项公式： (2)设数列满足， ①求前项中所有奇数项和，②若的前n项和为，证明：. 【感悟提升】 通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如： 角度1：求的前项和 角度2：求的前项和 变式训练：1.（20253·广东深圳·模拟预测）已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，若对满足的任意正整数，，均有成立． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 题型二 数列通项中含(－1)n的类型 例2．（2025高三·全国·专题练习）(多选)数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·湖南·期末）记数列的前n项和为，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3的等差数列；因为，则 因为，所以的通项公式是. （2）因为，则 因为，则 所以. 【感悟提升】 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 变式训练：2.（24-25高二下·江苏南京·期中）(多选)数列满足，且，数列的前项和为．从的前项中任取两项，它们之和是奇数的概率为，数列的前项积为，则（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高三下·云南·模拟预测）已知为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 题型三 数列中连续两项和(或积)的问题 (an＋an＋1＝f(n))或(an·an＋1＝f(n)) 例3．（25-26高三上·重庆·模拟）已知数列{an}满足数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·广东江门·期末）设是等差数列，是等比数列，且. (1)求与的通项公式； (2)设的前项和为，求证：； (3)设，求数列的前项和. 变式训练：3.（25-26高三上·浙江温州·期末）已知数列满足，则 ． 4.（25-26高三上·全国·模拟预测）已知数列满足，前项和为，则等于（    ） A． B． C． D． 题型四 数列中插入(数或项)构成新数列问题型 例4．（2026·江苏扬州·模拟预测）(多选)定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 5.（25-26高三上·山东临沂·模拟）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【感悟提升】 方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现时，构造等差数列； （2）当出现时，构造等比数列； （3）当出现时，用累加法求解； （4）当出现时，用累乘法求解. 变式训练：4.（25-26·广东广州·一模）(多选)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 【感悟提升】 ①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； ②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； ③对于结构，利用分组求和法； ④对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 2026高考模拟热身训练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有项，奇数项之积为，偶数项之积为，则为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·甘肃酒泉）(多选)数列共有60项，满足，其中且，数列的所有奇数项的和记作，所有偶数项的和记作，则下列选项正确的是（   ） A．（且） B． C． D． 4．（24-25高三下·贵州贵阳·期末）(多选)数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是等差数列 D．为周期数列 5．（24-25高三下·广东佛山·期中）(多选)已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D．若恒成立，则的取值范围为 6．（24-25高三下·黑龙江哈尔滨·期末）(多选)已知数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A． B．是公差为1的等差数列 C．数列的前2025项和为 D．数列的前项和 7．（24-25高三下·江西南昌·模拟）(多选)已知数列满足，，定义其“双阶变换”数列为.以下命题正确的是（   ） A．的通项公式为 B．存在周期性 C．当为偶数时， D．的奇数项之和为 8．（2025·河北秦皇岛·一模）(多选)已知数列满足，，则（   ） A． B．当是偶数时， C．数列是常数列 D． 9．（25-26高三上·山东·模拟）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. (1)求的通项公式： (2)设数列满足， ①求前项中所有奇数项和，②若的前n项和为，证明：. 10．（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列求和(奇偶项讨论和插入数或项)题型归纳 公式知识和题型归纳： 一、等差、等比数列奇偶项和的性质 1、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 2、 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 二、含奇偶项的数列求和问题 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 2、常见类型 题型：通项公式分奇、偶项有不同分段型； 通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如： 角度1：求的前项和 角度2：求的前项和 常见奇偶数列模型:(1)若，则，相减得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. (2)若，则，相除得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. (3)若，则直接按奇偶分开讨论. 3、其他类型 题型：通项含有(－1)n的类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 三、插入数或项构成新数列问题 1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 题型： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 题型： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 题型：在和之间插入个，组成新数列 求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和. 题型一 数列中分段函数型 例1．（2025·福建龙岩·一模）(多选)已知数列的前n项和为，，则下列选项正确的是（    ） A．数列的奇数项构成的数列是等差数列 B．数列的偶数项构成的数列是等比数列 C． D． 答案 BC 思路分析:根据，，进行递推得到数列的规律逐项判断 解 因为，，所以,， ，, ，, ，， ，， ，， 可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列， 奇数项不是等差数列， ， ， ， ，，故选：BC. 2.（23-24高三上·山东·模拟）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. (1)求的通项公式： (2)设数列满足， ①求前项中所有奇数项和，②若的前n项和为，证明：. 答案 (1) (2)①； 思路分析:（1）构造等比数列，由数列的递推公式求通项公式； （2）①用裂项求和法求数列的奇数项的和；②用分组求和法求数列的前项的和，再得出不等式的结论. 解 （1）因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以， 所以的通项公式为； （2）①设的公差为，因为，， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以 ②所以， 所以， 所以， 又因为，所以. 【感悟提升】 通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如： 角度1：求的前项和 角度2：求的前项和 变式训练：1.（20253·广东深圳·模拟预测）已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，若对满足的任意正整数，，均有成立． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 答案 (1) (2) 思路分析:（1）由题意分别令，或，，根据数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是即可求出首项，写出通项公式即可 （2）利用错位相减法即可求出数列的前项和． 解 （1）对满足的任意正整数，， 均有成立，令，则即，令，，得， ，，解得，， 由题意数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是， ，即， （2）由1知， 则， ， ，． 题型二 数列通项中含(－1)n的类型 例2．（2025高三·全国·专题练习）(多选)数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（    ） A． B． C． D． 答案 AD 思路分析:当时，可求出，由可得，两式相减可得，从而得到的奇数项和偶数项均为等差数列，由等差数列的通项公式可判断A；分别对的奇数项和偶数项求和可判断B（或相邻两项求和也可）；由古典概型的概率计算公式可判断C（或直接计算也可）；由数列放缩可判断D 解 解法一： 对于A，当时，，又， 又，，， 的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数列， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，， 又，故D正确． 故选：AD. 解法二： 对于B，当为奇数时，， ，故B错误． 对于C，易知，则，故C错误． 故选：AD. 3.（25-26高三上·湖南·期末）记数列的前n项和为，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 答案 (1) (2) 思路分析:（1）由化简条件可得数列是公差为3的等差数列，利用等差数列通项公式求解即可. （2）利用分组求和裂项相消求和即可. 解 （1）由已知，，即，即，所以数列是公差为3的等差数列；因为，则 因为，所以的通项公式是. （2）因为，则 因为，则 所以. 【感悟提升】 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型 变式训练：2.（24-25高二下·江苏南京·期中）(多选)数列满足，且，数列的前项和为．从的前项中任取两项，它们之和是奇数的概率为，数列的前项积为，则（   ） A． B． C． D． 答案 ACD 思路分析:根据数列的递推关系，通过构造，求出数列通项公式，即可判断A，B；根据组合数以及概率的计算公式，即可判断C；理解数列的前项积的概念，并通过运算即可判断D． 解 ，，， 又，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列.， 即，，对于选项A：，故A对； 对于选项B：，故B错； 对于选项C：显然为奇数时，为奇数，为偶数时，为偶数， 因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个， 所以，故C对； 对于选项D：当时，满足；当时，， 所以，故D对.故答案为：ACD. 3.（24-25高三下·云南·模拟预测）已知为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 答案 (1) (2) 思路分析:（1）由已知条件求出等差数列的首项和公差，进而求得的通项公式； （2）将的通项公式代入，得数列的通项公式，根据等比数列的求和公式求前10项的和，用并项求和的方法求第11项到第100项的和，即可求出数列的前100项和. 解 （1）设数列的公差为，由，得，即， 由，得，解得，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知， ， 则 所以. 题型三 数列中连续两项和(或积)的问题 (an＋an＋1＝f(n))或(an·an＋1＝f(n)) 例3．（25-26高三上·重庆·模拟）已知数列{an}满足数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 答案 A 思路分析:由已知得出是等比数列，可得其通项公式，由，可得，计算可得. 解 因为， 所以，又，则， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列. 于是，因为， 所以， 又，所以，故选：A 4.（25-26高三上·广东江门·期末）设是等差数列，是等比数列，且. (1)求与的通项公式； (2)设的前项和为，求证：； (3)设，求数列的前项和. 答案 (1) (2)证明见解析 (3) 思路分析:（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）由并项求和可得，再结合错位相减法可得解. 解 （1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）因为，所以要证， 即证，即证，即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 所以， 则， 作差得 ，所以， 变式训练：3.（25-26高三上·浙江温州·期末）已知数列满足，则 ． 答案 思路分析:根据题意，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解. 解 由数列满足， 则 .故答案为：. 4.（25-26高三上·全国·模拟预测）已知数列满足，前项和为，则等于（    ） A． B． C． D． 答案D 思路分析:根据已知递推式得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求． 解 由，，得，所以，则有， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. 故选：D 题型四 数列中插入(数或项)构成新数列问题型 例4．（2026·江苏扬州·模拟预测）(多选)定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 答案 ACD 思路分析:对A：由题意直接运算判断；对B：根据题意分析可得：，利用构造法结合等比数列分析运算；对C：根据第次“美好成长”与第次“美好成长”的关系分析运算；对D：由，利用构造法结合等比数列可得，利用裂项相消结合分组求和运算求解. 解 对于A选项，，A对； 对于B选项，设第次“美好成长”后共插入项，即，共有个间隔，且， 则第次“美好成长”后再插入项，则， 可得，且， 故数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，故，B错； 对于C选项，由题意可知： ，C对； 对于D选项，因为，且， 所以，，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，故， 所以，， 所以，数列的前项和为，D对. 故选：ACD. 5.（25-26高三上·山东临沂·模拟）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 答案 (1)， (2) (3)不存在，理由见解析 思路分析:（1）根据已知条件列方程求出数列的首项，公比或公差，进而求出通项公式； （2）用错位相减法求数列前项和； （3）利用反证法，先假设存在，再利用等比中项和等差中项的性质求解，进而证明不存在. 解 （1）由题意，当时，有；当时， 联立方程，解得或（舍）. 所以数列的通项公式. 由题意知，，则， 联立方程，解得， 所以数列的通项公式． 综上，，. （2）因为， 所以...①， ①×3得，...②， ①-②得，， ， 化简得：. （3）由（1）知. 所以，所以． 设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则．故，即． 又因为m，k，p成等差数列，所以，故. 故，化简得，所以. 又因为，所以，故，即. 而，所以. 与假设矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列． 【感悟提升】 方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现时，构造等差数列； （2）当出现时，构造等比数列； （3）当出现时，用累加法求解； （4）当出现时，用累乘法求解. 变式训练：4.（25-26·广东广州·一模）(多选)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（    ） A． B． C． D． 答案 ABD 解 由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时 第次得到数列1，，2 此时 所以，故A项正确； 结合A项中列出的数列可得： 用等比数列求和可得 则 又 所以 ，故B项正确； 由B项分析可知即，故C项错误. ，故D项正确.故选：ABD. 5.（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 答案 (1)，；(2)； (3)2170. 思路分析:（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再借助等差数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，分奇偶求出的通项，并结合裂项相消法及错位相减求出对应前项和，再利用分组求和法求解. （3）根据给定条件，求出数列的前2025项中数列的项及1的个数，再分组求和即得. 解 （1）在等差数列中，，而，解得， 公差，则； 设等比数列的公比为，，由，得， 即，解得，， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）由（1）得，当为奇数时，， 则； 当为偶数时，，， ， 则， 两式相减得 ，因此， 所以. （3）依题意，数列： 项为前的总项数为， 数列是递增的，当时，， 当时，， 因此数列的前项中，有数列的前项，有个， 所以. 【感悟提升】 ①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； ②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； ③对于结构，利用分组求和法； ④对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 2026高考模拟热身训练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有项，奇数项之积为，偶数项之积为，则为（   ） A． B． C． D． 答案 B 解 题意得.故选：B. 2．（25-26高三上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 答案 D 解 由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为，所以奇数项之和与偶数项之和的比为，故选：D 3．（25-26高三上·甘肃酒泉）(多选)数列共有60项，满足，其中且，数列的所有奇数项的和记作，所有偶数项的和记作，则下列选项正确的是（   ） A．（且） B． C． D． 答案 ABC 思路分析：根据可得，即可得和，进而根据并项求和以及分组求解即可得，结合选项即可逐一求解. 解 由可得：当且时，， ，故，故A正确， 由A可得，故，B正确， 当且时，， 又，故，因此 故，故，C正确，D错误， 故选：ABC 4．（24-25高三下·贵州贵阳·期末）(多选)数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是等差数列 D．为周期数列 答案 ACD 解 由题意，数列满足，， 当时，，，当时，， 当时，；若为奇数，则，为偶数，，为奇数， 则，，，； 若为偶数，则，为奇数，，为偶数， 则，，，， 所以数列是以4为周期的周期数列.，A正确； ，B错误； ，是公差为的等差数列，C正确； 由上述讨论可知，是周期为4的周期数列，因为与除以4所得余数相等，所以D正确.故选：ACD. 5．（24-25高三下·广东佛山·期中）(多选)已知是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D．若恒成立，则的取值范围为 答案 ABD 解 对于A，由题可知，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确； 对于B，， ，B正确；对于C，， 所以 ， 则，故不是等比数列，C错误. 对于D，由题可知易知当为奇数时，单调递增且；当为偶数时，单调递减，且；若恒成立，则当为奇数时，，所以；当为偶数时，，所以.综上，的取值范围为，D正确.故选：ABD. 6．（24-25高三下·黑龙江哈尔滨·期末）(多选)已知数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A． B．是公差为1的等差数列 C．数列的前2025项和为 D．数列的前项和 答案AB 分析思路：根据与的关系求解即可得出A项；化简可得出，根据等差数列的定义即可判断B项；求和可得出，然后利用分组求和法即可判断C项；代入化简可得出，用裂项求和法即可得出结果，即可判断D项. 解 对于A项，当时，； 当时，有. 检验当时，满足.综上所述，.故A正确； 对于B项，由已知可得，显然当时，都有. 所以，是公差为1的等差数列.故B正确；对于C项，由A知，. 则. 所以，数列的前2025项和为.故C错误； 对于D项，由已知可得， 所以，. 故D错误.故选：AB. 7．（24-25高三下·江西南昌·模拟）(多选)已知数列满足，，定义其“双阶变换”数列为.以下命题正确的是（   ） A．的通项公式为 B．存在周期性 C．当为偶数时， D．的奇数项之和为 答案AC 解 由题意，，当时，， 所以 当时，适合上式，所以. 故A正确.由题意，， 当为偶数时，， 此时，则有即， 所以 当为奇数时，则为偶数，则有， 所以 故B错误，C正确.对于D，为了方便计算，采用， 当为奇数时，其前项中，奇数项有项， 则 当为偶数时，其前项中，奇数项有项， 此时为奇数，根据上述结论，则有 则 故D错误. 故选：AC. 8．（2025·河北秦皇岛·一模）(多选)已知数列满足，，则（   ） A． B．当是偶数时， C．数列是常数列 D． 答案ACD 解 对于A，，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，， 所以数列是常数列，故C正确； 对于D，，，， 从而把数列写出来就是 观察发现，，且后面两项都是， 其中是数列的前项和， 从而，故D正确.故选：ACD. 9．（25-26高三上·山东·模拟）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. (1)求的通项公式： (2)设数列满足， ①求前项中所有奇数项和，②若的前n项和为，证明：. 答案 (1) (2)①；②证明见解析 分析思路： 1）构造等比数列，由数列的递推公式求通项公式； （2）①用裂项求和法求数列的奇数项的和；②用分组求和法求数列的前项的和，再得出不等式的结论. 解（1）因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以， 所以的通项公式为； （2）①设的公差为，因为，， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以 ②所以， 所以， 所以， 又因为，所以. 10．（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和； 答案(1)， (2) 分析思路： （1）由等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到，由等比数列通项公式可求得；利用可得到，利用累乘法可求得； （2）由（1）可得，进而整理得到，将相邻两项看作一组，采用分组求和的方式，分别根据等差数列求和公式和错位相减法求得两个部分的和，由此可得. 解（1）设等比数列的公比为， ，，成等差数列，，即，，，解得：或（舍）； ，，即，解得：，； 当时，，整理可得：， ； 经检验，当时，满足， 综上所述：. （2）由（1）得：， ， 令，则其前项和； 令， 则其前项和， ， ，， . 学科网（北京）股份有限公司 $