专题01 指数函数十五大题型汇总（压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第二册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01指数函数十五大题型汇总 目录 专题01指数函数十五大题型汇总 类型一、指数幂的运算 类型二、求指数函数的解析式 类型三、指数过定点问题 类型四、指数函数的图像及其应用 类型五、指数函数比较大小 类型六、解指数方程或不等式 类型七、指数函数的定义域 类型八、指数函数的单调性 类型九、指数函数的值域 类型十、由指数函数的值域求参数 类型十一、指数函数的最值 类型十二、已知指数函数的最值求参数 类型十三、指数模型的实际应用 类型十四、指数型函数的奇偶性 类型十五、指数型函数的恒成立与有解问题 压轴专练 典例详解 ≈类型一、指数幂的运算 1.指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算， 还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加 ②运算的先后顺序 2.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 例1.（多选）(25-26高一上江苏南京第十三中学、南京第九中学联考)下列等式中正确的是() A.-x=-x3 B.Vx2=x (x>0) D.-x=x2(x>0) 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-1.（多选）已知a3+a3=3,下列各式正确的是() A.a23+a23=7 B.a393+a393=24 3-3 1 c.a2+a2=5 D.a-2303 0289a-25 1123.3 变式1-2.已知x>0,y>0,则关于x,y的表达式-2x5y2·xy2 y a-bva 12 变式1-3.已知a>0,b>8, +b +74-4b3+b3=i 类型二、求指数函数的解析式 例2.(24-25高一上福建泉州四校联考期中)已知y=fx是奇函数，当x>0时，fx=a且a≠1，又 -3 -V5 25 则f2=元() A.25 B.-25 c 1 0.25 变式2-1.(22-23高一上江苏泗阳中学·期末)定义在R上的奇函数fx,当x≥0时，f(x)=2*-a·2×,当x<0时， fx=i_ 变式2-2.指数函数y=a(a>0且a≠1)的图像过点2,4，若x=2时，y=y1;x=4时，y=y2,则y1y2=(一· 变式23.223高一上浙江台州临海学海中学已知函数x=a2月》 +b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又 不与该直线相交 V本 2 -4-3-2-1 01234x (1)求函数fx的解析式，并画出函数图象： (2)判断该函数的奇偶性和单调性（直接写出结论，无需给出证明）， 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型三、指数过定点问题 指数函数的图像都经过点(0,1)，y=a+m+n,恒过定点（-m,n+1) 例3.（多选）24-25高一上河北昌黎第一中学调研)已知函数fx=3-x4,则() A.函数fx的图象恒过定点0,9 B.当a=2时，函数fx)的图象关于直线x=1对称 C.当a=5时，函数fx的减区间为0,2 D.若函数fx的值域为1，+o∞，则实数a的取值范围为-o∞，-4U4,+o∞ 变式3-1.（多选）(24-25高一上河南驻马店·期末)已知曲线y=a-1+1(a>0且a≠1)过定点Q,且Q的坐标满足方程 mx+ny-1=0m>0,n>0,则() A.mn的最大值为8 B.m+4n2的最小值为 C.1+m的最小值为1+22 1+4的最小值为25 m n D. 2mn+1 变式3-2.（多选）(24-25高一上，广东深圳深圳盟校期中联盟考试期中)已知函数f(x)=e*+2,则() A.当a=0时，f(x)为偶函数 B.f(x)既有最大值又有最小值 C.f(x)在就上单调递增 D.f(x)的图象恒过定点 变式3-3.(24-25高一下·湖南三湘名校联盟期中)已知函数fx=3ox-1(a≠0，则fx)的图象经过定点；fx的 值域为 类型四、指数函数的图像及其应用 对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过伸缩、平移、对称等变 换得到，当a>1时，指数函数y=a的图像呈上升趋势：当0<a<1时，指数函数y=a的图像呈下降趋 势。 例4.函数y=33 一的图象大致为() 3/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 段式41.2425高一上北邯期m>-2是“函数fx)三”3的图象不经过第一象限”的（ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 变式4-2.（多选）设fx=3*-1,c<b<a,且fc>fa>fb,则下列关系式中一定不成立的是() A.3≤39 B.3>3 C.3+3>2 D.3+3°<2 变式4-3.(24-25高一上·上海七宝中学.月考)若直线y=3a与函数y=元a+1-2V(a>0,a≠1)图像有两个公共点，则 实数a的取值范围是 类型五、指数函数比较大小 比较指数幂的大小 常用方法有： 1.对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； 2.对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断： 3.对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较 例5.已知0<a<1<b,则() A.ba<a<aa<b B.a<a<ba<bb C.bb<a<a°<ba D.a<ba<aa<b 变式5-1.(24-25高一上江西赣州期末)函数fx=x2-2x+2,且a>b>1,则fa和fb*的不等关系正确的是 () A.fla"f b* B.fa<f b*) c.fa≥fby D.fa")sf b") 支式52（侈连）2425西-上建自下期已加实数。少是父-广子·则下列装论璃的是《) A.x<Yy c. 1<1 D.x3<y3 x y 变式5-3。（多选）24-25高一上，潮南衡阳衡南县期未若0<b<a<2,X=a+be,y=b+ae,Z=b+ae则下列大小 关系错误的是() A.X<z<y B.Z<X<y C.Z<y<x D.y<z<x 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型六、解指数方程或不等式 指数不等式的解法 1.形如a>a9w的不等式，可借助y=a的单调性求解 2.形如afx>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y=a的单调性求解 3.形如a>b的不等式，可借助y=a,y=b的图像求解 例6.若3+πb≥3b+πa,则() A.a+b≤0 B.a-b≥0 c.a-b≤0 D.a+b≥0 变式6-1.(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地)设fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=2.若对任意 x∈a,a+2,均有fx+a≥f2x,则() 3 A.az 2 8.a2-2 s号 0s- 变式6-2.(24-25高一下山西晋城部分学校期中)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+3)为偶函数，若对任意的x1, X2∈3，+∞x1≠x2,都 有fx一f0,则关于m的不等式f4+3<f2”-3的解集为（) X1-X2 A.（-1,1) B.（1,2) C.(-o,1) D.（1,+∞) 变式6-3.已知指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)的图象过点(-2,9). (1)求a的值： afm)=2.fa=号求m+n的位 (3)求不等式fx2-5x-6>1的解集. 类型七、指数函数的定义域 例7.设函数fx=4-2,则函数f 的定义域为() A.2,+0 B.4,+0∞ C.(-∞，2 D.-00,4 变式7-1.(23-24高一上山东滨州北镇中学若函数fx=2-2*3-2的定义域为R,则实数a的取值范围为() A.-1,0 B.-2,2 c.0,2 D.R 变式7-2.函数y=0.71的定义域为 变式7-3.已知函数fx=的值域为3,13，则该值域对应的一个定义域为. 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型八、指数函数的单调性 判断复合函数单调性的原则是“同增异减” 解决步骤 第一步：求函数的定义域 第二步：将函数分解成内层函数和外层函数第三步：判断内层函数和外层函数的单调性第四步：根据“同 增异减”的原则确定复合函数的单调性 例8.(24-25高一下·云南“美美与共”民族中学联盟)已知函数f(x)=(a+1a+x-1(a>-1且a≠0)在区间1，+∞上 单调递增，则实数α的取值范围是() -1,2 A. J0,+∞） -x2-4x-3 变式8-1.(24-25高一上·江苏太湖高级中学·月考)函数y= 的单调递增区间是() A.i B. C.-3,-2 D.-2,-1 变式8-2.(24-25高一上·上海川沙中学·)己知函数fx=(在R上是严格增函数，则实数a的取值范围是 变式8-3.(24-25高一上.重庆第八中学校)已知函数y=a 2 +b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直 线相交，则该函数的单调递增区间为· 类型九、指数函数的值域 解决步骤 第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数第二步：由自变量的范围求内层函数的值域第 三步：由内层函数的值域求外层函数的值域 例9.(24-25高一上广东18校期末)函数y= 3*+1 9*-3* 的值域为() A.0,+0 B.-00,-6 C.-o,-3-22U0,+∞ D.(-o,0U3+2V2,+o∞ 支式91时表示不过实x的设夫发则7x-引升-父一预说是《). A.-1,0,1 B.{-1,0 c.-1,1 D.-1,0 变式92.(24-25高一上浙江绍兴期末)已知函数fx=2-2x+1,则fx() A.在-o∞，1上单调递增且值域为1，+o∞ B.在-o∞，1上单调递减且值域为1，+∞ c.在-o∞，1上单调递增且值域为0,1 D.在-o,1上单调递减且值域为0,1 变式93.2425商一下山西青桐鸣期中函数X=}号的值拔为一 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型十、由指数函数的值域求参数 例10.(24-25高一下广东衡水联考月考)已知函数fx=m×3*+n的值域为1，+∞，且f0=2,则m+2n=(() A.1 B.2 C.3 D.4 变式10-1.(24-25高一上·江西九江·期末)已知函数fx=(且a≠1的值域为R,则实数a的取值范围是() A.0,1 B.2,2 c.1,2 D.1,+00 变式10-2.医数y=3-的定义城为a,小1信城为0， 则b-a的最大值为 -4x+3 变式10-3.(24-25高一上福建莆田第六中学月考)已知函数f(x)= (1)若a=-2,求f(x)的单调区间： (2)若f(x)有最大值3，求a的值： (3)若f(x)的值域是(0，+o∞)，求a的值. 类型十一、指数函数的最值 例11.(24-25高一上·浙江宁波九校期末)已知fx是定义在R上的奇函数，且当x≤0时， fx=-x+m则fx 在1,2上的最大值为() A.-5 B.-2 C.5 D.6 变式11-1.(24-25高一下·云南昆明禄劝彝族苗族自治县民族中学·期中)已知奇函数fx与偶函数gx满足 f x+g x =2*. (1)求fx,gx的解析式： (2)若gm=4m<0,求f 3m 2 的值： (3)若函数hx=2afx+gx,求h(x在x∈0,1上的最小值. 变式11-2.(24-25高一上江西景德镇期末)己知奇函数fx与偶函数gx满足fx+gx=2×. (1)求fx,gx的解析式： (2)若gm=5,m<0,求f 3m 2 的值 (3)若函数hx=2afx+gx),求hx在x∈0,1上的最小值. 变式11-3.(24-25高一上·新疆乌鲁木齐第101中学.月考)已知函数fx=2*,x∈R, (1)解方程：f2x-fx+1=8: (2)设a∈R,求函数gx=fx+a·4在区间0,1上的最大值Ma的表达式. 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型十二、已知指数函数的最值求参数 例12.(23-24高一上·北京大兴区·期末)指数函数y=a在区间1,2上最大值与最小值的差为2，则a等于 变式12-1.(24-25高一上·内蒙古呼和浩特第二中学期中)设常数a∈R,函数fx=4*-a·2*+1+1,x∈1,2 (1)当a=2时，求函数fx的值域. (2)若函数fx的最小值为0，求a的值， 变式12-2.(23-24高一上河南部分学校期末)已知函数fx=a*+b(且a≠1的图象过坐标原点. (1)求b的值： (2)设fx在区间-1,1上的最大值为m,最小值为n,若m+3n=0,求a的值， 变式12-3.(23-24高一上河南郑州第四十四高级中学期中)已知函数fx=3x2x-3. (1)当a=1时，求fx的值域： (2)若fx的最大值为9，求a的值. 类型十三、指数棋型的实际应用 在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质的衰变 等 2.在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况指数函数在数学和现实生 活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力 例13.某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植 物每天以a%的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的2倍，则24天后该植物的长度是原来的（） 3 27 27 A.16倍 B.之倍 D. 变式13-1.(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温 度为81℃，空气温度为6，℃，则t分钟后物体的温度0（单位：℃）满足：0=0。+01-0oe“.若当空气温度为 20℃时，某物体的温度从80℃下降到50℃用时18分钟，则再经过36分钟后，该物体的温度为() A.22.5C B.25℃ c.27.5C D.30C 变式13-2.(24-25高一上湖北期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位： mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P=Poe“,其中P。、k是正的常数.如果前5h消除了10%的污染物，那么前 10h消除的污染物的占比为() A.19% B.20% C.28% D.81% 变式13-3.(24-25高一上河南南阳六校)衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为α， 2 经过t天后，体积V与天数t的关系式为V=a~®，已知新丸经过25天后，体积变为0，则新丸经过75天，体积变为 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. B. 30 D. 9 类型十四、指数型函数的奇偶性 销14若新=-20是每系数阳6( 1 -1 A.2 B. 2 C.1 D.0 变式14-1.已知函数fx=a·2+21*是定义域为R的偶函数，则f-2=(一· 变式14-2.24-25高一上江苏泰州兴化中学期末)设m为实数，已知函数fx)=1-mx∈R是奇函数。 5*+1 (1)求m的值： (2)求证：fx是增函数. 变式14-3.(23-24高一下云南昭通镇雄第五中学月考)已知函数fX=a-1a∈R】 5+1 (1)求a的值，使得fx为奇函数： (2)用定义证明函数fx的单调性. 类型十五、指数型函数的恒成立与有解问题 1、 已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法： (1)函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解： (2)分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 再利用数形结合的方法来解决 2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是 指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解。 例15.(24-25高一上·安徽铜陵：期末)已知函数f(x)=4+1,g(x)=-(2m+1)·2 (1)若g(x)sf(x)对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围： (2)若关于x的方程f(x)+g(x)=2-m2有实根，求实数m的取值范围. 变式15-1.(24-25高一上·甘肃期末)定义在R上的函数fx是单调函数，f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且 Vx<0,fx<0. (1)求f0,判断函数fx的奇偶性； (2)判断函数fx的单调性并证明： (3)若存在x∈-1,1使得f16*+16×)+f4*+4*+m<0成立，求实数m的取值范围 变式15-2.(24-25高一上·广东深圳盐田高级中学.期末)已知偶函数fx和奇函数gx的定义域均为R,且 fx)-g(x)=21-x (1)求函数fx和gx的解析式： 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若Vx∈R,不等式mf(x)≤g(x)+2m+4恒成立，求实数m的取值范围： (3)若h(x)= gx-fx -2mgx,且h(x)在1，+o∞上的最小值为-2，求m的值. 变式15-3.(24-25高一上四川成都铁路中学校月考)已知定义在R上的函数y=f(x),对一切实数a、b都有 f(a+b)-f(b)=a(a+2b-1)成立，且f(1)=0. (1)求函数y=f(x)的表达式： (2)若任意实数x∈[0,2]，mf2≥4*+1-m,求实数m的取值范围。 压轴专练 一、单选题 1.(2425高一上·内蒙古呼和浩特第二中学期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子” 的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R,用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数，也称取整 函数，例如：-3.7-4,2.3=2.已知fx=3-1-1 3*+12 则函数y=fx的值域为() A.0 B.-1,0 c.-1,0,1 D.{-2,-1,0 2.(24-25高一下云南昆明期中)已知指数函数fx=a2-3a,则函数gx=b*+-1b>1的图象过定点() A.-2,0 B.-2,-1 c.1,0 D.1,-1 3.(24-25高一上·天津弘毅中学期中)若a=23,b=0.23,c=0.22,则下列各式正确的是（) A.c<a<b B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 4.(24-25高一下·浙江杭州学军中学·期中)在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结 构，对称性展现了自然界的和谐与平衡数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美函数图像的对称性，例 如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.己知函数fx=e2x-1+e1-2x+2x-1,使 得不等式f2m+1<fm+2成立的实数m的取值范围为() B 00, U1,+∞ 3 5.(24-25高一下·浙江杭州北斗联盟期中)若函数fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx= +1,则使不等 式fe-3e>8成立的x的取值范围是（) 10/12 专题01指数函数十五大题型汇总 目录 专题01 指数函数十五大题型汇总 类型一、指数幂的运算 类型二、求指数函数的解析式 类型三、指数过定点问题 类型四、指数函数的图像及其应用 类型五、指数函数比较大小 类型六、解指数方程或不等式 类型七、指数函数的定义域 类型八、指数函数的单调性 类型九、指数函数的值域 类型十、 由指数函数的值域求参数 类型十一、指数函数的最值 类型十二、已知指数函数的最值求参数 类型十三、指数模型的实际应用 类型十四、指数型函数的奇偶性 类型十五、指数型函数的恒成立与有解问题 压轴专练 类型一、指数幂的运算 1.指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算， 还应注意: ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序 2.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 例1．（多选）(25-26高一上·江苏南京第十三中学、南京第九中学联考·)下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 【答案】ACD 【分析】根据分数指数幂与根式的转化判断各个选项. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：当时，，B选项不正确； 对于C：时，C选项正确； 对于D：时，D选项正确； 故选：ACD. 变式1-1．（多选）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 变式1-2．已知，则关于的表达式 ． 【答案】4 【分析】将根式转化为分数指数幂，结合指数幂运算性质计算即可. 【详解】原式， 故答案为：4. 变式1-3．已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 类型二、求指数函数的解析式 例2 ．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)已知是奇函数，当时，且，又，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质求出的值，再结合可求出的值，可得出在时的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为函数是奇函数，当时，且， 则，即，所以，， 所以，当时，，故， 故选：C. 变式2-1．(22-23高一上·江苏泗阳中学·期末)定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 【答案】 【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数为奇函数，所以，解得. 设，则，所以， 又为奇函数，所以， 即当时，. 故答案为： 变式2-2．指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则 ． 【答案】64 【分析】将点代入解析式得出，进而由解析式得出. 【详解】因为指数函数（且）的图像过点， 所以或（舍）. 若时，；时，， 因此. 故答案为：64. 变式2-3．(22-23高一上·浙江台州临海学海中学·)已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. (1)求函数的解析式，并画出函数图象； (2)判断该函数的奇偶性和单调性（直接写出结论，无需给出证明）. 【答案】(1)，图像见解析 (2)偶函数；函数在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）根据函数过原点得到，根据函数无限接近直线但又不与该直线相交得到，得到解析式，画出图像即可. （2）直接根据图像得到答案. 【详解】（1）过原点，故； 函数无限接近直线但又不与该直线相交，故，且， 又，故，， ，函数图像如图所示： （2）根据函数图像知，函数定义域为，图像关于轴对称，函数为偶函数； 函数在上单调递减，在上单调递增. 类型三、指数过定点问题 指数函数的图像都经过点（0,1），， 例3．(多选)(24-25高一上·河北昌黎第一中学·调研)已知函数，则（   ） A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数的图象关于直线对称 C．当时，函数的减区间为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对A，代入验证可判断；对B，利用对称性定义求解验证；对C，利用复合函数的单调性判断；对D，根据题意可得的值域为，即运算得解. 【详解】对于A，由，可得函数的图象恒过定点，故A正确； 对于B，当时，， 又，可得的图象关于对称，故B正确； 对于C，当时，，令，解得或， 由是R上的增函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以的减区间为，故C错误； 对于D，由的值域为，可得的值域为， 则，解得或，故D正确. 故选：ABD. 变式3-1．(多选) (24-25高一上·河南驻马店·期末)已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，先由指数函数特征求出，故，由基本不等式求出积的最大值；B选项，，解得，变形得到，求出最小值；C选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值； 【详解】A选项，令，即，此时，故， 由题意得， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，，故，解得， 则， 故当时，取得最小值，最小值为，B错误； C选项，， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，C正确； D选项，因为，， 所以， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD. 变式3-2．(多选) (24-25高一上·广东深圳深圳盟校期中联盟考试·期中)已知函数，则（   ） A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值 C．在上单调递增 D．的图象恒过定点 【答案】ACD 【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B，由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D． 【详解】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确； 因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误； 因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； 当时，，所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 变式3-3．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知函数，则的图象经过定点 ；的值域为 . 【答案】 【分析】对于空1，由恒成立可得解；对于空2，由函数的值域和函数在上的值域即可求解. 【详解】因为恒成立，所以令得， 故的图象经过定点； 函数的定义域为R，所以函数的值域为， 因为在上单调递增，值域为， 所以函数的值域为. 故答案为；. 类型四、指数函数的图像及其应用 对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，指数函数的图像呈上升趋势；当时，指数函数的图像呈下降趋势。 例4．函数的图象大致为（） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先求出时函数的单调性和值域，再求出时函数的单调性和值域，从而采用排除法即可得到答案． 【详解】设， 当时，， ∴时，单调递增， 由，得， ， ∴选项C，D错误． 当时，， ∴时，单调递增， 由，得，即， ∴函数图象在轴下方，排除B选项，则选项A符合要求． 故选：A． 变式4-1．(24-25高一上·河北邯郸·期末)“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题中条件图象不经过第一象限，求出m的范围，根据此范围来确定与两者关系判断充分必要性． 【详解】由图象不经过第一象限，则，解得， 而，故是图象不经过第一象限的必要不充分条件． 故选：B 变式4-2．（多选）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案． 【详解】 则的图象如图所示：    ∵， ∴若，则，这与已知矛盾． 同理，也不成立，∴只有或这两种情况． ∴，故B一定不成立，A成立； 又，即， ∴，故D一定成立，C一定不成立． 故选：BC． 变式4-3．(24-25高一上·上海七宝中学·月考)若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据和分类讨论，作出函数的图象与直线，由它们有两个交点得出的范围． 【详解】时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意； 时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 若与函数的图象有两个交点，则，解得． 综上所述，. 故答案为：. 类型五、指数函数比较大小 比较指数幂的大小 常用方法有: 1.对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断; 2.对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断; 3.对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较 例5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 函数是减函数， 所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 变式5-1．(24-25高一上·江西赣州·期末)函数，且，则和的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接求出函数和，然后作差利用指数函数的单调性判断正负即可 【详解】解：， ， 又， 当时，，，则， 即； 当时，，，则， 即； 当时，，，则， 即； 综上，. 故选：C 变式5-2．（多选）(24-25高一上·福建南平·期末)已知正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知结合不等式及函数单调性可得，检验各选项即可判断． 【详解】因为正实数满足，即， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AD. 变式5-3．（多选）(24-25高一上·湖南衡阳衡南县·期末)若则下列大小关系错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果. 【详解】∵，， ∴ 又，∴， ∴， ， 又 ∴ 综上： 故选：BCD. 类型六、解指数方程或不等式 指数不等式的解法 1.形如不等式,可借助 2.形如不等式,可将化为以为底数的指数幂的形式，再借助 3.形如不等式, 可借助 例6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可采用特值法进行判断，或者采用同构法，将不等式里面参数分到不等号两边，构造函数，根据函数单调性即可判断求解． 【详解】方法一：特值法． 取，得，满足题意，排除A，B； 取，得，满足题意，排除C， 故选：D． 方法二：同构法． 因为不等式，所以， 令，显然函数在上分别单调递增、单调递减， 因此函数在上单调递增， 又原不等式可化为，则，即． 故选：D． 变式6-1．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·)设是定义在R上的偶函数，当时，．若对任意，均有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的性质可得函数的解析式，利用分类讨论思想，根据分段函数的取值，化简不等式，可得答案. 【详解】由函数是偶函数，则， 当时，，可得， 所以， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由，则，由，则， 由函数在上单调递增，则不等式显然不成立； 当，即时，由，则， 由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立； 当，即时， ①当时，，由，则， 由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立； ②当且时，由，则， 由，则，由函数在上单调递增，则， 化简可得，解得； 当且时，由，则， 由，则，由函数在上单调递增，则不等式显然不成立. 综上所述，. 故选：D. 变式6-2．(24-25高一下·山西晋城部分学校·期中)已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性确定其对称性，再由单调性解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 又对任意的，，都有， 即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减， 所以， 即①，显然无解； 或②，解之得. 故选：C 变式6-3．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入解析式中即可得解； （2）利用（1）中的解析式以及指数幂的运算即可求解； （3）利用指数函数的单调性可求解. 【详解】（1）指数函数的图象过点， ，，，； （2）由（1）知，， ，，，， ，； （3）不等式，即， 在上单调递减， ，即，解得， 不等式的解集为． 类型七、指数函数的定义域 例7．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 变式7-1．(23-24高一上·山东滨州北镇中学·)若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 变式7-2．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用分母不为0即可求解. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为： 变式7-3．已知函数的值域为，则该值域对应的一个定义域为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分段函数的解析式画出函数图象，结合值域即可求得答案. 【详解】如图，当时，令，解得， 令，解得或（舍）. 当时，易知，所以令，解得， 故该值域对应的一个定义域为. 故答案为：（答案不唯一）. 类型八、指数函数的单调性 判断复合函数单调性的原则是“同增异减” 解决步骤 第一步:求函数的定义域 第二步:将函数分解成内层函数和外层函数第三步:判断内层函数和外层函数的单调性第四步:根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性 例8．(24-25高一下·云南“美美与共”民族中学联盟·)已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 变式8-1．(24-25高一上·江苏太湖高级中学·月考)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求函数的定义域，然后结合指数函数、幂函数的单调性，根据复合函数单调性法则判断即可. 【详解】由解得， 所以的定义域是.又在上单调递减，在定义域上单调递增， ，的开口向下，对称轴为， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故选：D 变式8-2．(24-25高一上·上海川沙中学·)已知函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解得的取值范围． 【详解】根据题意，函数在R上是增函数， 则有，解得：， 即实数的取值范围为； 故答案为：． 变式8-3．(24-25高一上·重庆第八中学校·)已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则该函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】由题设可得，，结合过原点求得，再利用指数函数、复合函数单调性确定增区间. 【详解】由无限接近直线但又不与该直线相交，所以， 令，则， 即，则满足题设. 由在上单调递减， 在上单调递增， 且在定义域上单调递减， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 又在定义域上单调递减， 所以在上单调递减， 在上单调递增. 综上所述，函数解析式为增区间为. 故答案为: . 类型九、指数函数的值域 解决步骤 第一步:求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数第二步:由自变量的范围求内层函数的值域第三步:由内层函数的值域求外层函数的值域 例9．(24-25高一上·广东18校·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 变式9-1．设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值. 【详解】由题意得，． ①当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． ②当时，，， ，，，， 故． ③当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． 综上所述，的值域为． 故选：B． 变式9-2．(24-25高一上·浙江绍兴·期末)已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【详解】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 变式9-3．(24-25高一下·山西青桐鸣·期中)函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得的范围，然后根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】，当且仅当，即时等号成立， 又在上单调递增，所以，所以函数的值域为. 故答案为： 类型十、由指数函数的值域求参数 例10．(24-25高一下·广东衡水联考·月考)已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 变式10-1．(24-25高一上·江西九江·期末)已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的值域为，可知，分和两种情况，结合指数函数性质运算求解. 【详解】当时，可知的值域为， 设的值域为，依题意得. 当时，在上单调递减， 即当时，，不符合题意； 当时，在上单调递增， 即当时，，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：C. 变式10-2．函数的定义域为，值域为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，求出时的值，结合图象可得所求最大值． 【详解】函数 作出函数的图象如图所示， 令，解得或， 因为函数的定义域为，值域为， 由图象可得，的最大值为． 故答案为：． 变式10-3．(24-25高一上·福建莆田第六中学·月考)已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是 (2)1 (3)0 【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （2）由（1）及题设知，即可求参数值； （3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可. 【详解】（1）当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 类型十一、指数函数的最值 例11． (24-25高一上·浙江宁波九校·期末)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据得，利用奇函数定义求出时，，再由单调性求解最大值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则当时，， 若时，则，， 所以， 由和在R上单调递减，知在上单调递减， 故当时，所以. 故选：B 变式11-1．(24-25高一下·云南昆明禄劝彝族苗族自治县民族中学·期中)已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)当时，； 当时，； 当时，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. （2）由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . （3）由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 变式11-2．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)，； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）由奇偶性得，联立即可求解解析式； （2）由求得和，再结合立方差公式即可计算求解. （3）令 ，构造函数，分、和三种情况结合一元二次函数性质研究函数的单调性求出即可得解. 【详解】（1）由①，得②， ①②得，即. ①②得，即. （2）由（1）得，即， 因为又因为 所以 则. （3）由题，， 令，则在上单调递增，. 则， 当，即时，在上单调递减，. 当，即时，在上单调递增，. 当，即时， 综上：时，；时，；时，. 变式11-3．(24-25高一上·新疆乌鲁木齐第101中学·月考)已知函数，， (1)解方程：； (2)设，求函数在区间上的最大值的表达式. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）所给的方程即，可得的值，从而求得的值； （2）令，则，分①当和②当两种情况，分别利用二次函数的性质，求得的解析式，综合可得结论； 【详解】（1）所给的方程即， 可得或（舍去），所以. （2）由于，， 令，则， ①当时，，则； ②当时，令， 若，则， 若，当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 类型十二、已知指数函数的最值求参数 例12．(23-24高一上·北京大兴区·期末)指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 . 【答案】2 【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程，求出. 【详解】当时，单调递增，故，解得或（舍去）， 当时，单调递减，故，无解， 综上，等于2. 故答案为：2 变式12-1．(24-25高一上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域； （2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可． 【详解】（1）若，则， 因为，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且，， 可得，所以函数的值域为. （2）因为函数，， 且，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，在内单调递增， 则的最小值是，解得，符合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值是，解得，不合题意； 当时，在内单调递减， 则的最小值是，解得，不合题意； 综上所述：． 变式12-2．(23-24高一上·河南部分学校·期末)已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）利用的图象过坐标原点得到关于的方程，解之即可得解； （2）利用指数函数的单调性，分类讨论的取值范围，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】（1）因为的图象过坐标原点， 所以，解得. （2）若，则在上单调递减， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 若，则在上单调递增， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 综上，的值为或3. 变式12-3．(23-24高一上·河南郑州第四十四高级中学·期中)已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若的最大值为9，求a的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二次函数、指数函数单调性求复合函数的值域； （2）令，由指数函数单调性得，结合二次函数性质列方程求参数. 【详解】（1）由题设，若，则， 在上递减，在上递增，则， 在定义域上递增，则， 所以的值域为. （2）令，则， 又在定义域上递增，而的最大值为9，即， 则开口向下且对称轴为，， 所以. 类型十三、指数模型的实际应用 1.在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质的衰变等 2.在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力 例13．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 变式13-1．(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 变式13-2．(24-25高一上·湖北·期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 变式13-3．(24-25高一上·河南南阳六校·)衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干中的指数函数模型得，进而将代入模型计算即可. 【详解】分别设和时的体积为，则，即. 又当时. 故选：C. 类型十四、指数型函数的奇偶性 例14．若是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的性质得到为奇函数，求出的值，再结合偶函数的定义检验即可. 【详解】令，则的定义域为， 因为，所以函数是奇函数． 因为是偶函数， 所以为奇函数． 则，即． 当时，，定义域为. ， 即函数是偶函数. 所以. 故选：D. 变式14-1．已知函数是定义域为R的偶函数，则 ． 【答案】 【分析】法一：由偶函数性质有恒成立，求参数值，进而求函数值；法二：由偶函数得求参数值，注意验证，进而求函数值. 【详解】法一：由函数是定义域为R的偶函数，得恒成立， 即恒成立，即恒成立， 又不恒为0，所以，则； 法二：，，因为函数是定义域为R的偶函数， 所以，即，解得， 经检验，此时为偶函数，故， 所以． 故答案为： 变式14-2．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)求证：是增函数． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）利用，求出的值，验证即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； 【详解】（1）函数是奇函数， 则，解得， 经检验，当时，， 则，则为奇函数， 所以的值为2. （2）由（1）可知，，设， 则，因为， 所以，， 故，即， 所以是上的增函数. 变式14-3．(23-24高一下·云南昭通镇雄第五中学·月考)已知函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)用定义证明函数的单调性. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义域运算求解即可； （2）根据单调性的定义结合指数函数单调性分析证明. 【详解】（1）由题意得的定义域为，且是奇函数， 则，即， 整理可得，解得：. （2）因为的定义域为，设， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在定义域内为增函数. 类型十五、指数型函数的恒成立与有解问题 1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法: (1)函数法:讨论参数范围，通常借助函数单调性求解; (2)分离参数法:首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决 2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解. 例15．(24-25高一上·安徽铜陵·期末)已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 变式15-1．(24-25高一上·甘肃·期末)定义在上的函数是单调函数，，且. (1)求，判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0，奇函数. (2)函数在上为增函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）赋值法得到，令，可得，证明出奇偶性； （2）任取，且，则，从而证明出为上的增函数； （3）变形后，结合函数的奇偶性和单调性得到，令，其中，得到为偶函数， 定义法得到在上单调递增，则当时，，求出，令，则，令，其中，由单调性求出，则，因此，实数的取值范围是. 【详解】（1）在等式中， 令，可得，解得. 因为函数的定义域为， 令，可得，所以， 因此，函数为奇函数. （2）函数为上的增函数.证明过程如下： 任取，且，则，所以. 因为， 所以， 所以，函数在上为增函数. （3）由存在使得， 可得. 因为函数在上为增函数，则. 令，其中，则， 即函数为偶函数， 任取，且， 则 ， 因为，则，则， 所以，则， 所以，函数在上单调递增，则当时，， 即， 所以，当时，. 令，则，则， 所以，可得. 令，其中，由题意可得. 因为函数在上单调递减， 则， 则，因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 变式15-2．(24-25高一上·广东深圳盐田高级中学·期末)已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，结合题目条件得到方程组，求出答案； （2）由题意得到，令，由基本不等式得，分和两种情况，参变分离，得到，变形后，由基本不等式得到，求出； （3），令，由单调性得到，故在上的最小值为，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出. 【详解】（1）由题，，则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立，解得． （2）因为， 由， 可得，即， 令，其中， 当且仅当，即时等号成立， 所以，故恒成立，其中， 当时，，此时，恒成立， 当时，，， 令 ， 当且仅当，即时，等号成立， ； （3） ， 令，显然其在上单调递增，故， 由题意得在上的最小值为， 当时，在上单调递增， 故当，即时，取得最小值，最小值为， 令，解得，不成立， 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 令，解得或（舍去）， 综上：. 【点睛】分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 变式15-3．(24-25高一上·四川成都铁路中学校·月考)已知定义在上的函数，对一切实数a、b都有成立，且. (1)求函数的表达式； (2)若任意实数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令得到即可求解； （2）令，通过参变分离得到，进一步求最值即可求解. 【详解】（1）令时，得，又， 所以， 所以， 所以， （2）令，因为，所以， 则，可化为：，易知， 即， 即， 因为，所以 所以当时，取得最大值， 所以实数的取值范围是. 压轴专练 一、单选题 1．(24-25高一上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”:设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知,由此即可得出的取值范围，再由高斯函数的定义选出答案. 【详解】由题意知， 因为， 所以函数的值域为. 故选：D. 2．(24-25高一下·云南昆明·期中)已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数过定点可得. 【详解】因为指数函数，所以，且，得. 所以函数. 因过定点，所以过定点. 故选：A. 3．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)若，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性计算参数范围即可判断求解. 【详解】因为，，则. 故选：D. 4．(24-25高一下·浙江杭州学军中学·期中)在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得关于直线对称，判断在上单调递增，由此可得，运算得解. 【详解】， ， 所以函数关于直线对称， 当时，， 由对号函数单调性可知在时单调递增，单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， ，化简整理得， 解得. 故选：C. 5．(24-25高一下·浙江杭州北斗联盟·期中)若函数是定义在上的奇函数，当时，，则使不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D．（-1，3） 【答案】A 【分析】由奇函数性质确定函数在R上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式． 【详解】当时，，易知其为增函数且， 又函数是定义在R上的奇函数， 则满足， 所以，函数在上是连续函数， 所以函数在R上是增函数， ，∴ ， ∴， 即，， 又， ∴，即， 即原不等式的解集为． 故选：A. 6．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)已知函数，,，则“为奇数”是“是同一个函数”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】当为奇数时，与定义域相同且解析式一致， 故、是同一个函数，故充分性成立； 若是同一个函数，则的定义域为且，则为奇数，故必要性成立； 所以“为奇数”是“是同一个函数”的充要条件. 故选：C 7．(24-25高一下·四川德阳·期末)若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式和偶函数性质判断出在定义域上的单调性，将转化为，，结合含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由可知：当时，， 即当时，， 可得在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数，偶函数的图象关于轴对称， 所以在上单调递减，且，， 可得，即， 又因为，， 所以， 易知，恒成立，因此，，即，, 的值域是，的值域是， 解得. 故选：D. 8．(24-25高一下·云南宣威部分学校·)已知定义在上的函数满足，且时，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】由题意可得函数周期为6，利用周期函数的概念与性质求解. 【详解】因为，故 ， 所以函数周期为6， 故. 故选：A. 二、多选题 9．(24-25高一上·安徽黄山·期末)已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将方程的根的问题转化为图象交点问题，由一元二次方程解得或，要想有个交点，则两条直线与图象各有个交点，根据图象得到的范围，进而得到可能的取值. 【详解】由得或， 根据二次函数和指数函数图象得到图象，当时，， 并在同一坐标系中画出，与图象有个交点， 要使得关于的方程有4个不同的实根，则直线与图象有个交点，且两条直线不重合， 根据图象可知且，解得且，所以ACD符合， 故选：ACD. 10．(24-25高一下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知函数，，，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 【答案】ABC 【分析】求得函数的解析式，结合指数函数的性质，可判定A正确；求得，可判定B正确；由函数奇偶性的定义和判定方法，可判定C正确；把不等式转化为，得到，求得不等式的解集，可判定D错误. 【详解】对于A中，因为， 则的单调递减区间为，所以A正确； 对于B中，因为，故的图象的对称轴为，所以B正确； 对于C中，因为，可得的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数， 所以函数图象关于原点对称，所以C正确； 对于D中，由，可得，即， 可得，解得，所以D错误. 故选：ABC. 11．(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)设、都是定义在上的两个函数，若对于任意的，都有，则称与在上是“密接函数”，称为“密接区间”.设与在区间上是“密接函数”，则它们的“密接区间”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将问题转化为，根据指数函数的图象性质以及单调性，即可求解. 【详解】由可得，故， 当时，不成立，故A错误， 当时，不成立，故D错误， 当时，由于指数函数与直线至多两个交点，且时，，时，，结合函数图象可知：当时，成立， 而当时，的最大值为2，的最小值为2，故， 综上可知对任意的都有， 故是与的“密接区间”，故BC正确， 故选：BC        三、填空题 12．(24-25高一下·云南昭通普通高中云南师范大学附属镇雄中学教研联盟·期末)已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质求参数值即可. 【详解】由题设，函数定义域为R，则，可得， 所以，则，满足题设. 故答案为： 13．(24-25高一下·四川成都石室天府中学·期末)已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为，则函数在上为减函数，所以， 故，则， 因为，故，故， 综上所述，. 故答案为：. 14．(24-25高一上·安徽铜陵·期末)已知函数，关于x的方程有4个不等实根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先得到或，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】，即， 故或， 画出函数图象，如图所示．    所以方程或有4个不等根， 所以或或， 解得． 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $