微专题 与整式的概念有关的问题10题型（专项训练）数学人教版2024七年级上册

微专题 与整式的概念有关的问题 题型一 单项式有关的概念 1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； 2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 1．（25-26七年级上·江苏·期中）下列哪个是单项式（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中不是单项式的是（   ） A．m B． C． D． 3．下列式子：，，，，，其中单项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26七年级上·上海·阶段练习）在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）单项式的系数和次数分别是（   ） A．，6 B．5，7 C．，7 D．，6 6．（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 题型二 利用单项式的有关概念求值 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. 1．若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）若关于x，y的是6次单项式，则k的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 4．（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）若是关于、的四次单项式，且系数为，则 ， ． 5．若单项式8x|m+2|y与单项式﹣9x6y2的次数相同，求m2﹣2m+3的值． 6．已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式﹣3bc的系数，求a2﹣4（x+y+2mn）的值． 题型三 多项式的有关概念 1、几个单项式的和叫做多项式. 2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. 1．下列说法正确的是（     ） A．是单项式 B．的系数是3 C．的次数是2 D．是四次多项式 2．（25-26七年级上·全国·期中）多项式的次数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26七年级上·上海·阶段练习）多项式是几次几项式_____，其常数项是（   ） A．六次三项式， B．四次三项式，3 C．四次三项式， D．六次三项式，3 4．对于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它是二次三项式 B．最高次项的系数是2 C．它的常数项是5 D．它的项分别是，，5 5．（25-26七年级上·全国·单元测试）关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 6．下列说法：①单项式的系数是，②单项式的次数是，③多项式是二次三项式，④多项式是三次二项式．其中说法正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型四 整式的概念 单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式. 1．下列各式中，不属于整式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·期中）在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则 ． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        …}； 多项式：{                        …}； 整式：{                            …}． 6．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 题型五 利用多项式的相关概念求值 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 2．如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．已知多项式中，最高次项的系数为，多项式的次数为，常数项为，则的值为（    ） A．4 B．6 C．－6 D．14 4．（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）已知是关于x的二次三项式，则 ． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 6．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期中）对于多项式． (1)若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值； (2)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值． 题型六 综合利用单项式和多项式的有关概念求值 主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可． 1．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知是关于的二次多项式，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．若多项式是三次三项式，是单项式的系数，求的值. 4．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段练习）多项式是关于x的二次二项式，且该多项式的次数与关于的单项式的次数相等，求的值． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值． (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 6． （24-25七年级上·全国·随堂练习）运算能力  已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 题型七 写出满足某些特征的单项式或多项式 本题考查了单项式中的系数、次数的特征，多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． 1．（24-25七年级上·重庆秀山·阶段练习）写一个含有字母，，且系数为，次数是的单项式为 ． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式： ． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 4．有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：　 　． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 6．试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件： （1）六次三项式； （2）每一项的系数均为1或﹣1； （3）不含常数项； （4）每一项必须同时含字母x、y，但不能含有其他字母． 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 升幂排列是指将多项式中的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列. 1．（24-25七年级上·全国·期中）多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 6．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式． (1)写出n的值；并将多项式按x的升幂排列； (2)求该多项式各项系数之和． 题型九 单项式中的规律探究问题 对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 1．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南丽江·一模）观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式是 4．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______________ （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________ 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，．写出第个单项式．为解答这个问题，特提供下面的解题思路： (1)这组单项式的系数依次是多少？其系数的符号和绝对值的规律分别是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)①根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么吗？ ②请你根据猜想，直接写出第2025个单项式． 题型十 多项式中的规律探究问题 对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 1．一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（　　） A．n B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．2n 2．有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为　 　． 3．观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是 　． 4．有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是　 ． 5．已知多项式﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…，则第100项是　 　，第2007项是　 　，第n项是　 　． 6．观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+…的构成规律，并回答下列问题： （1）它的第100项是什么？ （2）它的第n（n为正整数）项是什么？ （3）当x＝1时，求前2014项的和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 与整式的概念有关的问题 题型一 单项式有关的概念 1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； 2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 1．（25-26七年级上·江苏·期中）下列哪个是单项式（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的定义，掌握单项式的定义“单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）”是解题的关键．根据单项式的定义判定即可． 【详解】单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）．A和C是多项式，D分母中含有未知数，只有B符合单项式定义． 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中不是单项式的是（   ） A．m B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的识别，解题的关键是掌握单项式的定义． 利用单项式的定义逐项进行判断即可，即单项式是数与字母或字母与字母的积，单个的数与单个的字母也是单项式． 【详解】解：A.该选项是单项式，不符合题意； B. 该选项不是单项式，符合题意； C. 该选项是单项式，不符合题意； D. 该选项是单项式，不符合题意； 故选：B． 3．下列式子：，，，，，其中单项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是单项式的概念，掌握数与字母的积是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式是解题的关键． 根据数与字母的积是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式进行解答即可． 【详解】解：单项式有：，，，共3个． 故选：B． 4．（25-26七年级上·上海·阶段练习）在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数字与字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单项式为，， ∴单项式的个数是2个， 故选：C． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）单项式的系数和次数分别是（   ） A．，6 B．5，7 C．，7 D．，6 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，解题的关键是熟练掌握单项式的系数和次数的定义． 根据单项式的系数和次数的定义进行求解即可，即单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：的系数是，次数是， 故选：D． 6．（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 【答案】A 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、是单项式，原说法正确，符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 、是次单项式，原说法错误，不符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 故选：． 题型二 利用单项式的有关概念求值 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. 1．若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据单项式的次数与系数的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：m，n＝4． ∴m+n4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）若关于x，y的是6次单项式，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式及单项式次数的定义，单项式所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据题意得且，据此即可求k的值． 【详解】解：∵关于x，y的是6次单项式， ∴且， 解得， 故选：A． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的次数的定义即可求解，掌握单项式的次数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式是关于的九次单项式， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）若是关于、的四次单项式，且系数为，则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式系数与次数的含义，单项式中各字母指数的和是单项式的次数，单项式中的数字因数是单项式的系数．根据题意得到，即可求出答案． 【详解】解：∵是关于x、y的四次单项式，且系数为， ∴， 解得： ． 故答案为：，． 5．若单项式8x|m+2|y与单项式﹣9x6y2的次数相同，求m2﹣2m+3的值． 【分析】根据两个单项式的次数相同可知：|m+2|+1＝6+2，从而可求得m的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵8x|m+2|y与单项式﹣9x6y2的次数相同， ∴|m+2|+1＝6+2， 解得：m＝5或﹣9， ∴当m＝5时，m2﹣2m+3＝（m﹣1）2+2＝（5﹣1）2+2＝18， 当m＝﹣9时，m2﹣2m+3＝（m﹣1）2+2＝（﹣9﹣1）2+2＝102． 【点睛】本题主要考查的是单项式的定义、求代数式的值，由单项式的定义求得m的值是解题的关键． 6．已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式﹣3bc的系数，求a2﹣4（x+y+2mn）的值． 【分析】根据x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式﹣3bc的系数，分别求出x+y＝0，mn＝1，a＝﹣3，代入求值即可． 【详解】解：∵x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式﹣3bc的系数， ∴x+y＝0，mn＝1，a＝﹣3， ∴a2﹣4（x+y+2mn）＝（﹣3）2﹣4×（0+2×1）＝9﹣8＝1． 【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握相反数、倒数、单项式的系数等概念是解题的关键． 题型三 多项式的有关概念 1、几个单项式的和叫做多项式. 2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. 1．下列说法正确的是（     ） A．是单项式 B．的系数是3 C．的次数是2 D．是四次多项式 【答案】A 【分析】本题考查了单项式，多项式的系数，次数，掌握单项式，多项式的概念是关键． 根据单项式（数与字母相乘、单独字母或数字，分母不含字母的代数式），单项式的系数（数字因式），多项式次数（次数最高项的次数）的概念判定即可求解． 【详解】解：A、是单项式，正确，符合题意； B、的系数是，原选项错误，不符合题意； C、的次数是次，原选项错误，不符合题意； D、是二次二项式，原选项错误，不符合题意； 故选：A ． 2．（25-26七年级上·全国·期中）多项式的次数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了多项式的概念，解题的关键是掌握多项式次数的计算方法．根据“多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数”求解即可． 【详解】解：∵多项式的最高次项为和，其次数是3， ∴多项式的次数是3． 故选：B． 3．（25-26七年级上·上海·阶段练习）多项式是几次几项式_____，其常数项是（   ） A．六次三项式， B．四次三项式，3 C．四次三项式， D．六次三项式，3 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的意义是解题的关键；因此此题可根据多项式的次数和项数进行求解． 【详解】解：是四次三项式，其常数项是； 故选C． 4．对于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它是二次三项式 B．最高次项的系数是2 C．它的常数项是5 D．它的项分别是，，5 【答案】D 【分析】本题考查多项式的相关概念.多项式是几个单项式的和，每个单项式就是多项式的项；多项式的次数是次数最高项的次数；常数项是不含字母的项.据此对选项进行判断. 【详解】解：A、是二次三项式，故A不符合题意； B、最高次项是系数是2，故B不符合题意； C、的常数项是5，故C不符合题意； D、由三项构成分别为，，5，该选项将的符号漏掉写成了，故D符合题意. 故选：D. 5．（25-26七年级上·全国·单元测试）关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式的项与次数的含义，根据多项式的项和次数的定义，确定各个项和各个项的系数，注意要带有符号． 【详解】解：A、多项式是四次六项式，故本选项错误. B、多项式的最高次项是，故本选项错误. C、多项式的一次项是和，故本选项错误. D、多项式的二次项系数是，故本选项正确． 故选：D． 6．下列说法：①单项式的系数是，②单项式的次数是，③多项式是二次三项式，④多项式是三次二项式．其中说法正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，多项式的项、项数、次数．根据单项式的系数为其数字因数，次数是所有字母的次数的和；多项式的次数是多项式中最高次项的次数，项数为所含单项式的个数，逐个判断即可求解． 【详解】解：单项式的系数是，故①说法错误； 单项式的次数是，故②说法错误； 多项式是二次三项式，故③说法正确； 多项式是二次二项式，故④说法错误． 说法正确的有个． 故选：C． 题型四 整式的概念 单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式. 1．下列各式中，不属于整式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的识别，熟练掌握整式的定义是解题的关键．根据整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：为整式，故A不符合题意； B：为整式，故B不符合题意； C：为分式，故C符合题意； D：为整式，故D不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·期中）在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查整式的判断．整式包括单项式和多项式，用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据定义判断即可． 【详解】解：所给代数式中： 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 分母中含字母，不是整式； 综上可知，整式有7个， 故选D． 3．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个． 【答案】 3 ② 4 【分析】本题主要考查了整式，多项式及其次数，根据多项式及其次数解答，再根据整式的定义判断即可． 【详解】多项式有，，，一共有3个； 因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②； 整式有，，，，一共有4个． 故答案为：3，②，4． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是多项式和单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式，单项式和整式的概念解答即可． 【详解】解：单项式为：，，则， 多项式为：，，，则， 整式为：，，，，，则， 则， 故答案为：. 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        …}； 多项式：{                        …}； 整式：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了单项式、多项式和整式的判断，解题的关键是熟练掌握定义． 利用单项式、多项式和整式的定义进行分类即可． 【详解】解：单项式：{，，0，，m，…}； 多项式：{，，…}； 整式：{，，0，，，，m，…}． 6．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 【答案】见解析 【分析】本题考查单项式和多项式，根据单项式和多项式的定义，进行作答即可． 【详解】解：由题意，填图如下： 题型五 利用多项式的相关概念求值 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和系数，多项式的次数是指多项式中的次数最大的项的次数，根据多项式是关于的四次二项式，列式，则． 【详解】解：∵多项式是关于的四次二项式， ∴， 解得， 故选：C． 2．如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”，熟记多项式的次数的定义是解题关键．根据多项式的次数可得，则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．已知多项式中，最高次项的系数为，多项式的次数为，常数项为，则的值为（    ） A．4 B．6 C．－6 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了多项式，能理解多项式的系数、次数、项的概念是解此题的关键，注意：多项式的系数和项带着前面的符号． 根据多项式的次数和项数的定义分析判断即可． 【详解】解：∵多项式中，最高次项的系数为，多项式的次数为，常数项为， ∴， ∴． 故选：D． 4．（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）已知是关于x的二次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的有关概念求出a，b的值是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 【答案】(1)1 (2)且 【分析】本题考查多项式，理解多项式的相关定义是解答的关键． （1）利用多项式的定义，得出的次数进而得出答案； （2）利用多项式的定义，得出的次数与系数进而得出答案． 【详解】（1）解：时，原多项式变为， ∵该多项式是关于的三次三项式， ∴，解得，即的值为1； （2）解：由题意得：且，即且． 6．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期中）对于多项式． (1)若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值； (2)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的次数、项数、项是解题的关键． （1）此多项式是三次三项式，可得，，，即可求出m的值； （2）此多项式不含常数项，可得，即可求出k的值． 【详解】（1）解：多项式是关于x的三次三项式， ，，， ，， m的值为． （2）解：关于x的多项式不含常数项， ， ． k的值为1． 题型六 综合利用单项式和多项式的有关概念求值 主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可． 1．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知是关于的二次多项式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的相关概念，由是关于的二次多项式，得且，然后求出的值即可，熟练掌握多项式的相关概念是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二次多项式， ∴且， ∴， 故选：． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数，正确理解多项式的次数的概念是解题的关键．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式次数的概念，列方程求解即可． 【详解】解：关于x，y的多项式与多项式的次数相同， ， 解得． 故选：C． 3．若多项式是三次三项式，是单项式的系数，求的值. 【答案】 【分析】本题考查多项式的次数，单项式的系数，根据多项式的次数为多项式中最高项的次数，单项式的系数为单项式中的数字因数，求出的值，进而求出的值即可. 【详解】解：因为是三次三项式， 所以， 解得. 因为是单项式的系数， 所以. 所以. 4．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段练习）多项式是关于x的二次二项式，且该多项式的次数与关于的单项式的次数相等，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，多项式，绝对值，先根据多项式的项、次数的定义求出m的值，再根据单项式的次数与多项式的次数相等求出n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次二项式， ∴， ∴， ∵该多项式的次数与关于x，y的单项式的次数相等， ∴， 解得， ∴． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值． (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】此题考查了整式次数与系数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． （1）根据多项式与单项式次数的定义进行求解； （2）根据单项式系数的定义进行求解． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． 因为与的次数相同， 所以，解得． （2）各项：． 系数和：． 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）运算能力  已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【答案】10 【分析】此题主要考查了相反数，倒数，多项式的项数与次数，单项式的系数与次数，以及有理数的混合运算，解题的关键是正确确定m和n的值． 利用单项式的次数、多项式次数和项数的确定方法可得m和n的值，然后再结合相反数和互为倒数的定义进行计算即可． 【详解】解：因为多项式是六次四项式， 所以， 所以． 因为单项式的次数与这个多项式的次数 相同，所以， 所以， 所以． 因为a，b互为相反数，c，d互为倒数， 所以， 所以． 题型七 写出满足某些特征的单项式或多项式 本题考查了单项式中的系数、次数的特征，多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． 1．（24-25七年级上·重庆秀山·阶段练习）写一个含有字母，，且系数为，次数是的单项式为 ． 【答案】（或） 【分析】要构造满足条件的单项式，根据单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．明确单项式的系数、字母及次数，即可解答． 【详解】解：∵单项式的次数等于各个字母指数之和， ∴满足题意的单项式有两个：，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了单项式的系数和次数的概念．关键是理解单项式中单项式的次数、系数的概念． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的概念和单项式的次数的概念，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，根据单项式系数、次数的定义来求解即可． 【详解】解：∵单项式满足∶①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母 ∴满足单项式的条件如：， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案． 【详解】解：设两个一次式分别是， ∴， ∴， ∴这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 4．有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：　 　． 【分析】根据多项式的项，组成多项式项的次数的概念即可求解． 【解答】解：多项式x3+y3中x3的次数为3，y3的次数为3． 故答案为：x3+y3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 6．试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件： （1）六次三项式； （2）每一项的系数均为1或﹣1； （3）不含常数项； （4）每一项必须同时含字母x、y，但不能含有其他字母． 【分析】多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，满足条件（1），即最高项的次数为6，满足条件（2），多项式的系数是1或﹣1，满足条件（3），即多项式没有常数项，满足条件（4）多项式中每项都含xy，不能有其它字母． 【解答】解：此题答案不唯一， 如：x3y3﹣x2y4+xy5；﹣x2y4﹣xy﹣xy2． 【点评】多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，要看清每项条件的要求． 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 升幂排列是指将多项式中的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列. 1．（24-25七年级上·全国·期中）多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【答案】C 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式降幂，升幂排列的定义． 根据降幂排序和升幂排列的定义进行解答即可． 【详解】解：多项式是按y的升幂排列． 故选：C 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将多项式进行升降幂排列，根据题意，按照x的降幂进行排列即可． 【详解】解：由题意把多项式按x的降幂排列，得； 故选B． 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按照这个字母降幂排列．本题考查多项式的降幂排列，掌握方法并注意符号不变才能正确求解． 【详解】解：依题意，按字母的降幂排列为 故选：C 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式按的升幂排列为． 故选：C． 5．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）多项式中次数最高的项为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解；∵项式是关于、的五次四项式， ∴， ∴； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 6．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式． (1)写出n的值；并将多项式按x的升幂排列； (2)求该多项式各项系数之和． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （1）利用多项式的定义即可求出n的值，然后根据升幂排列的定义求解； （2）计算各项系数之和即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； 按x的升幂排列为； （2）解：∵多项式， ∴多项式各项系数之和． 题型九 单项式中的规律探究问题 对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 1．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给单项式，发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．观察所给单项式的系数及次数，发现规律：第个单项式的系数为；第个单项式的次数为，即可解决问题． 【详解】解：根据前几项单项式排列可知：各单项式的系数可表示为：，，，，，， 各单项式字母的部分规律为：． 第个单项式是． 故选：A． 2．（2025·云南丽江·一模）观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵x ，， ， ，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：． 故选C． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式是 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据已知单项式发现，系数为的次方，的次数是连续的奇数，的次数是连续的偶数，即可得到答案． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式， 第3个单项式， 第4个单项式， …… 观察发现，第个单项式是． 故答案为： 4．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______________ （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________ 【答案】（1）  （2） 【分析】本题考查了单项式的数字类规律探索，对单项式正确进行等价变形是解题关键． （1）对所给的单项式进行整理后即可求解． （2）对所给的单项式进行整理后即可求解． 【详解】解：（1）∵， ， ， ， ， ∴第n个单项式为． （2）第1个单项式的系数为，次数为， 第2个单项式的系数为，次数为， 第3个单项式的系数为，次数为， 第4个单项式的系数为，次数为， 第5个单项式的系数为，次数为， ……， 以此类推，可知第个单项式的系数为，次数为，即第个单项式是， 故答案为：（1）  （2） 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 【答案】(1) (2)系数是，次数是 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键． （1）根据所给的式子，直接写出即可； （2）通过观察可得第个单项式为，当时，即可求解； （3）由题意可得，求出，再由（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：，，，， 第个单项式为， 第20个单项式为， 第20个单项式的系数是，次数是41； （3）解：系数的绝对值为2025， ∴ ， 次数为． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，．写出第个单项式．为解答这个问题，特提供下面的解题思路： (1)这组单项式的系数依次是多少？其系数的符号和绝对值的规律分别是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)①根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么吗？ ②请你根据猜想，直接写出第2025个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数依次是，3，，7，…．因为第奇数个单项式的系数为负数，各个系数的绝对值为连续的奇数，所以其系数的符号是，绝对值是： (2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数 (3)①第n个单项式是 ②第2025个单项式是 【分析】（1）根据题目中的单项式，可以直接写出这组单项式的系数，绝对值规律； （2）根据题目中的单项式，观察找出这组单项式的次数的规律； （3）根据（1）和（2）中的发现，然后可以写出第n个单项 式，然后将2025代入计算即可解答第2025个单项式． 【详解】（1）解：一组单项式：，，， 奇数个单项式的系数为负数，各个系数的绝对值为连续的奇数， 其系数的符号是，绝对值是：． （2）解：一组单项式：，，， 这组单项式的次数的规律是从1开始的一些连续的自然数； （3）解：①根据上面的归纳，猜想出第n个单项式是； ②当时，这个单项式是． 【点睛】本题考查了数字的变化类、单项式，明确题意，发现单项式的变化特点，写出相应单项式是解题的关键． 题型十 多项式中的规律探究问题 对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 1．一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（　　） A．n B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．2n 【答案】B． 【分析】先根据已知算式得出规律，再根据多项式次数的定义得出答案即可． 【详解】解：∵a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…， ∴a的指数依次为1，2，3，4，5，6，•••， b的指数依次为1，3，5，7，•••，（2×1﹣1＝1，2×2﹣1＝3，2×3﹣1＝7，•••）， ∴第n（n为正整数）个式子的次数是2n﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式和多项式的次数定义，能根据已知算式得出规律是解此题的关键，注意：多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数． 2．有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为　 　． 【答案】a10﹣b20． 【分析】首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n，然后将n＝10代入，即可求得答案． 【详解】解：∵第1个多项式为：a1+b2×1， 第2个多项式为：a2﹣b2×2， 第3个多项式为：a3+b2×3， 第4个多项式为：a4﹣b2×4， … ∴第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n， ∴第10个多项式为：a10﹣b20． 故答案为：a10﹣b20． 【点睛】此题属于规律性题目．此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键． 3．观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是 　． 【答案】xn+n2． 【分析】根据所给式子发现规律，即可解答． 【解答】解：x+1＝x+12， x2+4＝x2+22， x3+9＝x3+32， x4+16＝x4+42， x5+25＝x5+52， … 第n个式子是xn+n2． 故答案为：xn+n2． 【点评】本题考查了多项式，解决本题的关键是根据所给式子发现规律． 4．有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是　 ． 【答案】﹣a3b5． 【分析】由多项式的特点可知，该多项式是加减替换，a从最高次方向最低次方递减，b从最低次方到最高次方递增．由此可知第六项是﹣a3b5． 【详解】解：因为a的指数第一项为8，第二项为7，第三项为6… 所以第六项为1； 又由于两个字母指数的和为8，偶数项为负， 所以第6项为﹣a3b5． 故答案为：﹣a3b5． 【点睛】此题考查的是对多项式的规律，通过对多项式的观察可得出答案． 5．已知多项式﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…，则第100项是　 　，第2007项是　 　，第n项是　 　． 【答案】100b100；﹣2007a2007；﹣nan或nbn． 【分析】各项的符号一负一正相隔出现，第奇数项含a，指数是系数的绝对值；第偶数项含b，指数是系数的绝对值，分情况讨论：当n为奇数；当n为偶数． 【详解】解：∵﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…， ∴第100项是100b100，第2007项是﹣2007a2007， 分情况讨论： ①当n为奇数，第n项是﹣nan； ②当n为偶数，第n项是nbn． 故答案为：100b100；﹣2007a2007；﹣nan或nbn． 【点睛】本题是一道规律型题目，考查了多项式的项以及通项公式，难度较大． 6．观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+…的构成规律，并回答下列问题： （1）它的第100项是什么？ （2）它的第n（n为正整数）项是什么？ （3）当x＝1时，求前2014项的和． 【分析】（1）根据多项式得出规律，确定出第100项即可； （2）写出得出的规律即可； （3）把x＝1代入多项式计算即可求出． 【详解】解：（1）根据题意得：第100项为﹣199x100； （2）根据题意得：第n项为（﹣1）n+1（2n﹣1）xn； （3）把x＝1代入得：1﹣3+5﹣7+…+4025﹣4027＝﹣2﹣2…﹣2（1007个﹣2相加）＝﹣2014． 【点睛】此题考查了多项式，弄清题中规律是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $