精品解析：陕西省渭南市实验初级中学2025-2026学年九年级上学期期中质量调研数学试卷

2025~2026学年度第一学期期中质量调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的布袋中装有若干个白球和5个黑球，它们除颜色不同外其他都相同，将布袋中的小球搅匀后，从中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到了黑球，估计口袋中白球的个数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 3. 如图，四边形是正方形，，两点的坐标分别是，点在第二象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是一元二次方程的一个根，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5. 如图所示，在矩形中，对角线、相交于点O，，，则（　　） A. B. C. D. 6. 在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（    ） A. B. C. ， D. ， 7. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一元二次方程，下列说法： ①若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若，则它有一根为； ④若，则一元二次方程两个不相等的实数根； 其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ②③ D. ①② 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，则的值为____________． 10. 如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE．若AB＝2，则AE的长为 _____． 11. 某人工智能大模型七月份用户数量为1.25亿，九月份用户数量增长至1.8亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为____________． 12. 某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛．若随机推荐，则两名同学均来自相同班级的概率是__________． 13. 已知菱形的两条对角线、相交于点，若该菱形的边长是方程的一个根，且，则该菱形的面积是____________． 14. 如图，矩形中，，为的平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 现有3件同型号的产品需要检测，已知其中有1件不合格品和2件合格品，在这3件产品中加入件合格品后混匀，进行如下试验：随机抽取1件产品进行检测，然后放回并混匀，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.8，估计的值是多少？ 17. 如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上，点在平面内．请用尺规作图法将菱形补充完整．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在矩形中，点，在边上，连接，，且，求证：． 20. 明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们可随机选择一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同． （1）他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为______． （2）用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率． 21. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂 足分别为M、N． 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形． 22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为__________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）已知等腰三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求这个三角形的周长． 24. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 25. 如图，某农户准备用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋，点、分别在边，上（图中阴影部分为羊的活动区域），其中边靠墙（墙面足够长，靠墙的一面不用栅栏，、用栅栏）． （1）若羊的活动区域的面积为，求的长； （2）羊的活动区域的面积能否为？若能，求出此时边的长；若不能，请说明理由． 26. 【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中质量调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质求解即可．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义得，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入，，，得：， 解得：， 故选：D ． 2. 一个不透明的布袋中装有若干个白球和5个黑球，它们除颜色不同外其他都相同，将布袋中的小球搅匀后，从中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到了黑球，估计口袋中白球的个数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率的稳定值即概率，关键是得到关于黑球概率的等量关系． 先由频率＝频数数据总数，计算出频率，再由题意列出方程求解即可． 【详解】解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是， 由于大量反复试验下频率的稳定值即概率，故摸出黑球的概率为， 设口袋中有个白球，则黑球的概率为， 解得， 故白球的个数为15个． 故选：B． 3. 如图，四边形是正方形，，两点的坐标分别是，点在第二象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题考查了正方形的性质、坐标与图形，根据正方形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，两点的坐标分别是， ∴， 又∵点C在第二象限， ∴点的坐标是， 故选：B． 4. 已知是一元二次方程的一个根，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义、代数式求值等知识点．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程可得，即． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴，即， 故选：B． 5. 如图所示，在矩形中，对角线、相交于点O，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形对角线互相平分且相等是解题关键．由矩形的性质可得，，从而推出是等边三角形，得到，，再利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 故选：B． 6. 在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（    ） A. B. C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得出，求出方程的解即可． 【详解】解：， 即， ， ， ，， ，， 在正数范围内定义运算“”， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义和解一元二次方程，关键是能根据新定义得出方程． 7. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴是边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 对于一元二次方程，下列说法： ①若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若，则它有一根为； ④若，则一元二次方程两个不相等的实数根； 其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】由是方程的一个根得到，只有时由，则可对①进行判断；由方程有两个不相等的实根得到，则可判断，于是可对②进行判断；计算出根的判别式，再利用求根公式解方程可对③进行判断；利用计算根的判别式得到，则根据根的判别式的意义可对④进行判断． 【详解】解：①若是方程的一个根，则，当时，，所以①错误； ②若方程有两个不相等的实根，则， 因为方程的根的判别式， 所以方程必有两个不相等的实根，所以②正确； ③若时，则，则， ， 解得，，所以③正确； ④若，则，所以一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，则的值为____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据题意得，，代入要求的式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE．若AB＝2，则AE的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知AB＝2，BE＝1，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝90°， ∵E为BC中点， ∴BE＝CE＝1， ∴AE＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形四边相等、四个角为直角的性质是解题关键． 11. 某人工智能大模型七月份用户数量为1.25亿，九月份用户数量增长至1.8亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用已知表示出八、九月份的用户数量进而得出等式求出答案． 【详解】解：设八、九月份用户数量的月平均增长率为x，则八月份用户数量为亿，九月份用户数量为亿， 根据题意可得方程为：． 故答案为：． 12. 某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛．若随机推荐，则两名同学均来自相同班级的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 根据题意，根据画树状图法求概率即可求解． 【详解】解：画树状图，如图所示， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， ∴两名同学均来自相同班级的概率是， 故答案为：． 13. 已知菱形的两条对角线、相交于点，若该菱形的边长是方程的一个根，且，则该菱形的面积是____________． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程――因式分解法，一元二次方程的解．先利用解一元二次方程，求出，，然后利用三角形的三边关系进行判断，再利用菱形的性质及勾股定理即可解答． 【详解】解：， 因式分解得， 或， 解得，， 当菱形边长是2时， ， 不能组成三角形； 该菱形的边长是13， 如图，连接，交于点O， ∵菱形中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：120． 14. 如图，矩形中，，为的平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过矩形性质以及角平分线推导为等腰直角三角形，再根据中位线定理分析动点轨迹，根据动点运动到特殊点最终结合垂线段最短求出最小值． 【详解】解：矩形中，，，平分， 因此， 在中，，， 故是等腰直角三角形，即， 点是上的动点，是的中点， 根据中位线定理，当F在直线上运动时，的轨迹是一条平行于的线段， 取的两个特殊点：当运动到点时，是的中点，记为； 当运动到点时，是的中点，记为，连接M、N， 则线段即为的轨迹，且∥，， 所以， 要使最小，需，即， 所以的最小值是即为的长度， 所以，即的最小值为． 【点睛】本题考查了动点轨迹与转化最小值问题，角平分线的性质，利用三角形中位线定理，分析出垂线段最短原理是解决本题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先整理，再利用配方法解答即可． 【详解】解：原方程整理为， 配方得，， ， ． 16. 现有3件同型号的产品需要检测，已知其中有1件不合格品和2件合格品，在这3件产品中加入件合格品后混匀，进行如下试验：随机抽取1件产品进行检测，然后放回并混匀，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.8，估计的值是多少？ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识，根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值． 【详解】解：通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.8， ， 解得， 经检验，是原方程的根， 答：估计的值为2． 17. 如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的应用，解题的关键是根据已知比例关系建立方程求解． 先根据线段的和差关系表示出，再结合已知的比例关系建立方程． 【详解】解：由图可知，， ，，， ， 解得， 经检验，是原方程的根，即． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上，点在平面内．请用尺规作图法将菱形补充完整．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示． 【解析】 【分析】此题考查了基本作图和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形作图． 【详解】解：作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，连接、、，即可得到所求菱形． 19. 如图，在矩形中，点，在边上，连接，，且，求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ∵，，， ， ，即． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据矩形的性质得，然后利用证明即可得出结论． 【详解】略 20. 明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们可随机选择一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同． （1）他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为______． （2）用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到他们两人选择相同入口进入植物园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有A、B、C、D四个入口，进入每个入口的概率相同， ∴他们其中一人进入植物园时，从入口处进入的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 由表格可得一共有16种等可能性的结果数，其中他们两人选择相同入口进入植物园的结果数有4种， ∴她们两人选择相同入口进入植物园的概率． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 21. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂 足分别为M、N． 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形． 【答案】 证明：BD平分 ABC ∠ABD=∠CBD 在△ABD和△CBD中 △ABD≌△CBD ∠ADB=∠CDB 是∠ADC的角平分线 PMAD，PNCD PMAD，PNCD ∠PMD=∠PND=90o ADC=90 四边形MPND是矩形 四边形MPND是正方形 【解析】 【分析】先通过证△ABD≌△CBD得到∠ADB=∠CDB, 是∠ADC的角平分线,得到,又易知四边形MPND是矩形,从而得证四边形MPND是正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定． 22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为__________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26 （2）当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据题意“发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件”即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据为了扩大销售、增加盈利进行取舍． 【小问1详解】 解：销售单价每降低元，平均每天可多售出件 降价3元，则平均每天销售数量为， 【小问2详解】 解：设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元， 根据题意得，， 解得， ∵为了扩大销售、增加盈利， ∴不符合题意， ． 答：当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意确定相等关系列出方程是解题的关键． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）已知等腰三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求这个三角形的周长． 【答案】（1） 证明： 恒成立 故无论取任何实数，方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式来判断即可； （2）根据等腰三角形腰相等求出符合条件的，即可求出周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当腰为时，为方程的解， 把代入，得， 得， 方程的另外一个解为， 此时三角形的周长， 当底为时，由于另两边恰好是这个方程的两根， 故， 解得， 此时方程的解为， 三角形的周长． 综上所述，答案为或． 【点睛】本题主要考查根的判别式，等腰三角形的性质，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 24. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 如图，某农户准备用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋，点、分别在边，上（图中阴影部分为羊的活动区域），其中边靠墙（墙面足够长，靠墙的一面不用栅栏，、用栅栏）． （1）若羊的活动区域的面积为，求的长； （2）羊的活动区域的面积能否为？若能，求出此时边的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）边的长为或． （2） 解：羊的活动区域的面积不能为．理由如下： 设边的长为，则边的长为， 依题意得：， 整理得，， ， 羊的活动区域的面积不能为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据羊的活动范围的面积为活动区域的面积列出方程求解 即可； （2）依题意得，根据根的判别式，即可得到答案； 【小问1详解】 解：设边的长为，则边的长为， 依题意得：羊的活动区域的面积为， ， 解得，， 边的长为或． 【小问2详解】 略 26. 【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 【答案】（1）①＝； ②证明：由平移得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 如图，在上截取，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， ，， ， ∴点为的中点， 点为的中点， 是的中位线， ， ，即． （2）水库到农田边的距离为． 【解析】 【分析】（1）过点C作，证明四边形是平行四边形，得出，证明，得，从而可证； （2）由平移得，，证出，根据证明，得，在上截取，连接，即是等腰直角三角形，，得，得出是的中位线，由三角形中位线性质可得结论； （2）过点作交于点，得出四边形是平行四边形，，由勾股定理求出，，连接，在上方作，交的延长线于点，证明得，，再证明，得，设，则，由勾股定理列方程可求解． 【详解】解：（1）①过点C作，交于点F，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：=； ②略 （2）解：如图，过点作交于点， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ，， ∴， ， 连接，在上方作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 水库到农田边的距离为． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $