8.5.2直线与平面平行 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦直线与平面平行，通过复习直线与平面的位置关系，结合门扇转动、矩形纸板转动等生活实例观察，引导学生从已有的空间位置关系知识过渡到线面平行判定定理的探究，搭建起新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以生活实例抽象数学本质，培养学生用数学的眼光观察现实世界，通过判定与性质定理的转化（线线平行→线面平行→线线平行）训练逻辑推理，体现用数学的思维思考现实世界。采用“问题-探究-归纳-应用”模式，如空间四边形中点连线证线面平行、木料锯线问题应用性质定理，帮助学生构建知识体系。学生能提升空间观念与推理能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

8.5.2 直线与平面平行 1 1.理解直线与平面平行的定义； 2.能准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系； 3.理解并能证明直线与平面平行的性质定理，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题。 学习目标 ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点. 在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系. 它不仅应用广泛，而且是学习平面与平面平行的基础. 思考 直线与平面有哪些位置关系？如何判定直线与平面平行？ 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点. 但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的， 如何保证直线与平面没有公共点呢? 复习回顾 ①门扇的两边是平行的. 当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗? 此时门扇转动的一边与墙面平行吗? ②将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边CD转动，在转动的过程中(AB离开桌面)，DC的对边AB与桌面有公共点吗? 边AB与桌面平行吗? 两个实验告诉我们一个现象，就是平面外的一条直线不管怎么移动，只要保证直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线就不会与平面有公共点，即直线与平面平行，这就是直线与平面平行的判定定理. 观察 符号表示： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 线面平行的判定定理 知识一 定理告诉我们，可以通过直线间的平行，可以得到直线与平面平行. 这是处理空间位置关系的一种常用方法. 定理的实质就是将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题).即 线线平行 线面平行 线面平行的判定定理 知识一 这一定理在现实生活中有许多应用.例如，安装矩形镜子时，为了使镜子上的上边框与天花板平行，只需镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面. 已知：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点. 求证：EF//平面BCD. B C A D E F 证明： 今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了. 典例 如图，在直四棱柱ABCD—中，底面ABCD为菱形，E为中点。求证：//平面ACE 解：设AC与BD交于点O，连接OE, ∵底面ABCD是菱形，∴O为DB中点， 又因为E是的中点，∴OE// , ∵ OE在平面AEC内，不在平面AEC内， 所以 //平面ACE 典例 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2,点E为线段PD的中点。证明：PB//平面AEC 证明：连接BD,交AC于点O,连接OE,如图所示， ∵O是正方形ABCD对角线的交点， ∴PB//OE， 又OE在平面AEC内，PB不在平面AEC内， ∴PB//平面AEC 练习 用判定定理证明直线与平面平行的步骤 （1）找：在平面内找到一条直线或作出一条直线与已知直线平行 （2）证：证明已知直线与该直线平行 （3）结论：由判定定理得出结论 注：第一步找到平行关系是证题关键，其常用方法： ①利用三角形中位线，梯形中位线性质、平行线分线段成比例定理 ②利用平行四边形的性质 ③利用基本事实4 归纳总结 如图，在三棱柱中，为的中点,连接，，，.求证：平面. 证明：如图，连接，设，连接. 由题意知，四边形是平行四边形， ∴是的中点.又∵是的中点， ∴是的中位线，即. 又∵平面，平面， ∴平面. 练习 如图，在空间四边形中，分别是，，的中点.求证：(1)平面；平面. 证明：(1)∵，分别是，的中点， ∴为的中位线.∴. 又∵平面，平面， ∴平面. (2)∵平面， 平面， ∴平面. 练习 刚才，我们利用平面内的直线与平面外的直线平行，得到了判定平面外的直线与此平面平行的方法，即得到了一条直线与平面平行的充分条件. 反过来，如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论呢? 这就是要研究直线与平面平行的性质， 也就是研究直线与平面平行的必要条件. 接下来我们就来研究在直线a平行于平面α的条件下，直线a与平面α内的直线有何位置关系. 思考 如右图，由定义可知，直线a //平面α， 那么：a与α无公共点，即a与α内的任何直线都无公共点. 这样，直线a与平面α内的直线只能是异面或平行. 那么，在什么条件下，直线a与平面α内的直线平行呢？ α a 思考 假设a与α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3， 过直线a，b有唯一的平面β. 这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线. 于是可得结论：若a//α，过直线a的平面β与平面α相交于b，则a//b. 下面我们来证明这个结论： b α a b β 证明： 如图示，已知a//α，a⊂β， α∩β=b. 求证：a//b. ∵α∩β=b， ∴b⊂α. 又a//α， ∴a与b没有公共点. 又a⊂β， b⊂β， ∴a//b. 这样，我们就得到了直线与平面平行的性质定理 α a b β 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号表示： 线线平行 线面平行 线面平行的性质定理 知识二 直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面中蕴含着直线与直线平行，这也给出了一种作平行线的方法. 如图，用平行于四面体的一组对棱，的平面截此四面体. 求证：截面是平行四边形. 证明：∵平面， 平面平面，且平面， ∴由线面平行的性质定理，知. 同理可得. ∴由基本事实4可得.同理可得. ∴截面四边形为平行四边形. 典例 如图所示，已知异面直线AB,CD都平行于平面α，且AB,CD在α的两侧。若AC,BD分别与α相交于M,N两点。求证： 证明：如图所示，连接AD,交平面α于点P,连接PM,PN.因为CD//α，平面ACD∩α=PM. 所以CD//PM, 所以在△ACD中，有. 同理，在△DAB中，有 , 所以. 练习 利用线面平行的性质定理解题的步骤： 在已知条件中有线面平行时，就设法应用该条件，即着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，也就是找已知直线的平行线．有时为了得到交线还需作出辅助平面. 归纳总结 如右图的一块木料中，棱BC平行面A'C'. (1) 要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开, 在木料表面应该怎样画线? (2) 所画的线与平面AC是什么位置关系? 解：(1)如右图，在平面A'C内，过点P作直线EF，使EF//B'C'，并分别交棱A'B', D'C' 于点E, F. 连接BE, CF, 则EF, BE, CF就是应画的线. 典例 如右图的一块木料中，棱BC平行面A'C'. (1) 要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开, 在木料表面应该怎样画线? (2) 所画的线与平面AC是什么位置关系? (2)∵BC//平面A'C', 平面BC'∩平面A'C'=B'C', ∴BC//B'C’. 由(1)知，EF//B'C'，∴EF//BC. 而BC在平面AC内，EF 在平面AC外， ∴EF//平面AC， 显然BE, CF都与平面AC相交. 典例 1. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中， (1) 与AB平行的平面是_________________________； (2) 与AA'平行的平面是_________________________； (3) 与AD平行的平面是__________________________. 平面A'B'C'D'，平面CDD'C' B D C A' B' C' D' A 平面BCC′B'，平面CDD'C' 平面A'B'C'D'，平面BCC′B' 辨析 辨析 2.已知a//α，b在α内，则直线a与b的位置关系是（ ） A 平行 B 相交或异面 C 异面 D 平行或异面 D 3.(多选)若确定直线与平面平行，则必须同时具备的条件是( ). A. B. C. D. ACD 4. 判断下列命题是否正确 (1) 如果直线a//b，那么a平行于经过b的任何平面. ( ) (2) 如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任何直线平行. ( ) (3) 如果直线a，b和平面α满足a//α， b//α，那么a//b. ( ) (4) 如果直线a，b和平面α满足a//b，a//α， b α，那么b//α. ( ) (5)如果直线a，b和平面α满足，且，则. ( ) √ × × × 辨析 × × (6)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行.( ) (7)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.( ) (8)若直线平行于平面，则直线与平面内任意一条直线都无公共点.( ) 辨析 × √ 5.如图，在三棱锥中，分别是，上的点，且平面，则( ). A.与相交 B.与异面 C. D.以上均有可能 C 辨析 如图所示，四边形是矩形，平面，过作平面交PA于，交于.求证：四边形是梯形. 证明：∵四边形是矩形，∴. 又∵平面，平面， ∴平面. 又∵平面平面，∴. 又∵ ∴. ∴四边形是梯形. 巩固 如图所示，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是,的中点.记平面与平面的交线为.求证：直线平面. 证明：∵分别是的中点，∴. 又∵平面，平面∴平面 而平面，且平面平面， ∴ ∵平面，平面， ∴平面. 巩固 直线与平面平行的判定定理与性质定理常常交替使用， 即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行， 复杂的题目还可以继续推下去，相互转化如下： 线线平行 线面平行 线线平行. 线面平行判定定理 线面平行性质定理 归纳总结 巩固 证明： 如图，α∩β=a，b⊂α，c⊂β，b//c，求证：a//b//c. 巩固 已知直线，，平面满足，，.求证：. 证明：如图所示，过作平面交平面于. ∴∴ 同样过作平面交平面于. ∵∴，则 ∵∴. ∵，，∴ 又∵，∴. 巩固 1.直线与平面平行的判定定理： 文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 符号语言： 图形语言： 作用：证明直线与平面平行. 课堂小结 2.直线与平面平行的性质定理： 文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言： 图形语言： 作用：证明两条直线平行. 课堂小结 $