8.5.2 直线与平面平行(第1课时)直线与平面平行的判定 （教学课件）数学人教A版必修第二册

第8章 立体几何初步 8.5.2 直线与平面平行(第1课时)直线与平面平行的判定 人教A版· 必修第二册· 学习目标 1.理解直线与平面平行的定义，能识别空间中直线与平面的位置关系。 2.通过直观感知、操作确认，归纳并证明直线与平面平行的判定定理，掌握定理的符号表示与图形语言。 3.能运用直线与平面平行的判定定理解决线面平行的证明、判断及相关计算问题，掌握“线线平行推导线面平行”的转化方法。 4.体会“空间问题平面化” “线线平行与线面平行相互转化”的数学思想，提升直观想象、逻辑推理等核心素养。 目录 CATALOG 01.直线与平面平行的判定定理 03.题型强化训练 02.直线与平面平行判定定理的应用 04.小结及随堂练习 01 直线与平面平行 的判定定理 8.5.2 直线与平面平行 导入新知1：书架隔板的安装智慧 家里装修时，木工师傅安装书架水平隔板时，无需用尺子测量隔板与天花板的距离，只需让隔板的上边缘与墙面和天花板的交线保持平行，就能笃定隔板与天花板平行。再观察教室的日光灯管，灯管作为一条直线，与天花板这个平面无公共点、呈平行关系，且灯管两端分别与天花板和墙面的交线（教室横梁边缘）平行。 1. 木工师傅的安装方法为什么能保证隔板与天花板平行？ 2. 日光灯管和天花板的平行关系，与灯管和横梁边缘的平行关系之间有什么联系？ 3. 是不是只要一条直线和平面内的某条直线平行，这条直线就一定和这个平面平行？ 导入新知2：滑雪板的滑行奥秘 冬天滑雪时，滑雪者脚下的滑雪板可看作一条直线，雪地可看作一个平面，当滑雪者沿着平行于雪地上某条雪道（平面内的直线）滑行时，滑雪板与雪地无额外公共点，呈现平行状态。再看商场自动扶梯，扶手作为一条直线，扶梯侧面玻璃墙面作为一个平面，扶手始终与玻璃墙面内的扶梯轨道（平面内的直线）平行，且扶手与玻璃墙面无公共点、呈平行状态。 1. 滑雪板与雪地平行、扶手与玻璃墙面平行，这两个现象中共同的关键条件是什么？ 2. 如果滑雪板不与雪道平行，还能保证滑雪板与雪地平行吗？ 3. 结合这两个实例，你能猜想出判断直线与平面平行的方法吗？ 学习新知 在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行是一种很重要的位置关系，不仅在现实生活中有广泛应用，也是我们后面学习平面与平面平行的基础． 如何判定直线和平面平行（即直线与平面平行的充分条件）？ 根据定义，判定直线和平面平行，只需判定直线与平面没有公共点，但是直线是无限延伸的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面没有公共点呢？ 学习新知 【观察】 门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时， 另一边与墙面有公共点吗？ 此时门扇转动的一边与墙面平行吗？ 在门扇的旋转过程中：门扇转动的一边AB在门框所在的平面外， 直线CD在门框所在的平面内，直线AB与CD始终是平行的． 门扇转动的一边AB与墙面平行． 学习新知 【观察】 如图，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动，在转动的过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？ 在门扇的旋转过程中：AB不在桌面所在的平面外，直线CD在桌面所在的平面内，直线AB与CD始终是平行的． AB与桌面没有公共点， AB与桌面所在的平面平行． 学习新知 直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号语言： 图形语言： a b α 三个条件缺一不可 定理告诉我们，可以通过直线间的平行，得到直线与平面平行．这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）. 学习新知 a  b A c 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断线面平行、线面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 充要条件的证明、判断线面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断线面平行 02 直线与平面平行 判定定理的应用 8.5.2 直线与平面平行 学习新知 这一定理在现实生活中有许多应用．例如，安装矩形镜子时，为了使镜子的上边框与天花板平行，只需镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行，就是应用了这个判定定理．你还能举出其他一些应用实例吗？ 定理告诉我们，可以通过直线间的平行，得到直线与平面平行．这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）． 学习新知 例2： 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面． 今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了． A B C D E F 图8.5-7 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断线面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断线面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 证明线面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 线面关系有关命题的判断、判断线面平行 学习新知 【变式】 【详解】 学习新知 反思1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理； 反思2：能够运用定理的条件是要满足六个字； “面外、面内、平行” 反思3：运用定理的关键是找平行线. 找平行线又经常会用到三角形中 位线定理. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断线面平行、线面关系有关命题的判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 证明线面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 证明线面平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由线面平行求线段长度 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由线面平行求线段长度 03 题型强化训练 8.5.2 直线与平面平行 能力提升 【练习1】 题型一、直线与平面平行的判断定理的理解 已知下列叙述： ①一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行； ②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点， 因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行； ③若直线l与平面α不平行，则l与α内任一直线都不平行； ④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行.其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 能力提升 【详解】 这条直线有可能就在这个平面内，①错； 一条直线平行于一个平面，这个平面内的直线可能与它异面，②错； 对于③④，直线有可能在平面内.故正确的个数为0. 故选：A 能力提升 题型一、直线与平面平行的判断定理的理解 【感悟提升】 证明线面平行的方法、步骤 (1)利用判定定理证明直线与平面平行的关键是在已知平面α内找一条直线b和已知直线a平行，即要证直线a与平面α平行，先证直线a与直线b平行，即由立体向平面转化． (2)证明线面平行的一般步骤： ①在平面内找一条直线；②证明线线平行；③由判定定理得出结论． (3)在与中点有关的平行问题中，常考虑中位线定理． 能力提升 【练习2】 题型二、 直线与平面平行的判断定理的应用 证明问题 能力提升 【点睛】本题主要考查长方体的结构特征以及线面 平行的判定定理，属于基础题. 【详解】 能力提升 题型二、 直线与平面平行的判断定理的应用 证明问题 【感悟提升】 1.判定定理应用的注意事项 (1)欲证线面平行可转化为线线平行解决. (2)判断定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形. 2.应用判定定理证明线面平行的步骤 能力提升 【练习3】 题型三、 直线与平面平行的判断定理的应用 计算问题 能力提升 【详解】 能力提升 题型三、 直线与平面平行的判断定理的应用 计算问题 【感悟提升】 利用线面平行解决计算问题的三个关键点 (1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系． (2)利用中位线、平行线分线段成比例找有关线段关系． (3)利用所得关系计算求值． 能力提升 【练习4】 题型四、　直线与平面平行的综合应用 能力提升 能力提升 【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO. 题型四、　直线与平面平行的综合应用 【感悟提升】 1．判定和性质之间的推理关系是由线线平行⇒线面平行⇒线线平行， 2．既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化. 04 小结及随堂练习 8.5.2 直线与平面平行 课堂总结1 1．知识清单： (1)直线与平面平行的判定定理． (2)直线与平面平行的判定定理及其应用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：证明线面平行时漏写线在平面外(内)． 课堂总结2 直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号语言： 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 符号语言： 课堂总结3 3．应用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤： （1）利用性质定理在面内找平行线; （2）证明直线与直线平行； 常用方法：三角形的中位线定理，平行四边形的平行关系、 成比例线段、线线平行的传递性． （3）说明两线与平面的位置关系（一条在面内，一条不在面内）； （4）得出结论. 课堂总结4 作业 8.5.2 直线与平面平行 教材第139页练习1、2、3题， 教材第143页习题8.5的4、5、6题. 练习（第138页） A B C D A B C D A1 B1 C1 D1 E O 3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． × × × 3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． × × × √ a b c a b c (第4题) 人教A版· 必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 若直线 与平面 相交，则下列结论正确的是（    ） A．平面 内任意直线和直线 异面 B．平面 内存在直线和直线 平行 C．平面 内有且仅有一条直线和直线 相交 D．平面 内有无数条直线都与直线 相交 【详解】因为直线与平面相交，所以平面内的直线与直线的关系相交或异面， 设直线与平面交于点， 对于A，当平面内的直线过交点时，此时过点的直线和直线相交，故A不正确； 对于B，若平面内存在直线和直线平行，根据线面平行的判定定理得出平面， 与已知矛盾，故B不正确； 因为平面内过交点的直线有无数条，且这些直线都与相交，故C不正确；D正确． 故选：D． 2. “直线 平面 ”是“直线 与平面 内的任意直线都没有公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由直线平面，易知直线与平面没有公共点， 故直线与平面内的任意直线都没有公共点，故充分性成立； 又由直线与平面内的任意直线都没有公共点， 即直线与平面没有任何公共点，则直线平面，故必要性成立. 故“直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的充要条件. 故选：C. 3. 过正方体 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 平行的直线共有（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．16条 【详解】由三角形的中位线易得平面， 易得平面平面，所以平面内有6条， 平面关于平面对称的平面内有6条， 共有12条. 故选：C. 如图，在正方体 中， 分别是 的中点， 则直线 与平面 的位置关系是（   ）   A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【详解】连接交于点，连接，，而分别是的中点，  所以，即， 且，即， 则为平行四边形，故， 由平面平面，则平面． 故选：B 已知 ， 是两个不同的平面， 是一条直线，下列条件中一定能使 成立的是（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【详解】A.若，，则或，故A错误； B.若，，则或，故B错误； C.若，，则，或或相交，故C错误； D.若，，则，故D正确. 故选：D 6. 如图所示，在正方体 中，直线 与平面 的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．直线 在平面 内 【详解】根据正方体性质知道，平面， 平面，则平面. 故选：A. 7. 下列条件中能确定直线 与平面 平行的是（    ） A． ， ， B． ， C． ， ， ， D． ， ， ， ， ，且 【详解】由 ， ，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 由 ，，可知或，故B错误； 由 ， ， ，，可知或，故C错误； ， ， ， ，，且， 则可能或，或直线 与平面相交，故D错误. 故选：A 证明：连接 ， 分别与 ， 交于 ， ， 则 ， 是 ， 的中点， 、 分别是 、 的重心， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ． 如图，在三棱锥 中，M，N分别 为 和 的重心． 求证： 平面ABC． 8. 已知平面 与平面 相交于直线 ，直线 直线 ，则（    ） A．一定有直线 平面 B．一定有直线 平面 C．一定有直线 平面 且直线 平面 D．直线 平面 和直线 平面 至少有一个成立 【详解】当时，此时，由，，则； 当时，此时，由，，则； 当，且时，此时由和得， 且由和得；所以直线平面和直线平面至少有一个成立． 故选：D. 9. 如图，正方体 的棱长为2， 分别是棱 的中点，点 是底面 内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．不存在点 ，使得 平面 B．过 三点的平面截正方体所得截面图形是五边形 C．三棱锥 的体积为4 D．三棱锥 的外接球表面积为 【详解】对于A，当为中点时，由三角形中位线定理可得， 因为平面，平面，所以平面．故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 即就是一条截线，连，得截面，又因，所以截面为梯形，故B错误； 对于C，点到平面的距离为2，故，故C错误； 对于D，因两两垂直，则三棱锥的外接球可以补形成以这三边长为长、宽、高的长方体的外接球，则外接球半径即该长方体的体对角线的一半，即， 故其表面积，故D正确． 故选：D. 10. 如图，在正四面体木块 中，点 在 内，过点 将木块锯开，且使截面平行于直线 ， ，若截面的周长为4，则正四面体 的表面积为（   ）   A． B． C． D．2 【详解】作出截面如图所示：  因为截面平行于直线，， 由线面平行的性质定理可得， 所以，从而截面是平行四边形， 所以， 所以，又，所以， 又因为截面的周长为4，所以，所以， 所以正四面体的表面积为. 故选：A 在长方体ABCD­A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、 面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD) 所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 如图所示， 因为AA1∥BB1， 平面BB1D1D， 平面BB1D1D， 所以 AA1∥平面BB1D1D. 因为AA1∥DD1， 平面CC1D1D， 平面CC1D1D，所以 AA1∥平面CC1D1D 因为AA1∥BB1， 平面BB1C1C， 平面BB1C1C， 所以 AA1∥平面BB1C1C 故选：B 如图，已知四棱锥 的底面是菱形， 交 于点O，E为 的中点，F在 上， ， ∥平面 ，则 的值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 设 与 交于点 ，连接 ，如图所示， 因为 为 的中点，则 ， 由四边形 是菱形，可得 ，则 ， 所以 ，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ， 所以 ，所以 . 故选：C. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设 的中点为M， 的中点为N，下列结论正确的是（    ） A． 平面 B． 平面 C． 平面 D． 平面 【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示， 取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等， 四边形ONMB为平行四边形，MN‖BO,∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交， 故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M, ∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO, MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确； 显然M,N在平面CDEF的两侧， 所以MN与平面CDEF相交， 故D错误. 故选：C. $