1.4.2 用空间向量解决距离问题 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦用空间向量解决距离问题，涵盖点到直线、点到平面等类型。通过问题驱动导入，从点线距公式推导出发，逐步延伸至线线距、面面距，形成知识递进，辅以例题与练习构建学习支架。 其亮点在于以向量法为核心，将几何问题代数化，培养数学思维与运算能力。通过正方体、正四棱柱等实例，结合直观想象，总结解题步骤。学生可提升空间观念，教师能高效开展教学，落实核心素养。

1.4.2 用空间向量解决距离问题 1 能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算) 学习目标 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等. 如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 下面我们先研究用向量方法求直线外一点到直线的距离. 问题1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？ 引入 如图，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形. 因为都是定点，所以，与单位向量的夹角都是确定的. 于是可求.再利用勾股定理,可以求出点到直线的距离. 设,则向量在直线上的投影向量. 在中，由勾股定理，得 点到直线的距离 知识一 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为　　　　　.  练习 解析:如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2), =(1,-2,1),=(1,0,-2), ∴||=, ∴直线EF的单位方向向量=(1,-2,1), ∴在上的投影长度为, ∴点A到直线EF的距离d=. 思考2：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 两条平行直线之间的距离点到直线的距离 我们再来看平面外一点到平面的距离问题. 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点， 是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度. 因此 探究 A P Q 点到平面的距离 知识二 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为　　　.  解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4), 练习 则=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,-2,0), 设平面AD1C的法向量为=(x,y,z), 则 取z=1,则x=y=2,所以=(2,2,1). 所以点B1到平面AD1C的距离d=. 两个平行平面之间的距离： 如果两个平面α, β互相平行, 在其中一个平面α内任取一点P, 可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 直线和平面间的距离： 如果一条直线l与一个平面α平行, 可在直线l上任取一点P, 将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. l 思考3：类似地，请同学们研究如何求平行于平面的直线到平面的距离？两个平行平面之间的距离呢？ 线面、面面距离平面外一点到平面的距离 判断正误. (1)平面外一点到平面的距离，就是点与平面内一点所成向量的长度.（ ） (2) 直线平面，则直线到平面的距离就是直线上的点到平面的距离.（ ） (3)若平面//平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距离，也可转化为平面内某点到平面的距离.（ ） × 巩固 √ √ 已知A(0, 0, 2) ，B(1, 0, 2) ，C(0, 2, 0) ，则点A到直线BC的距离为( ) A 如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点.(1)求点到直线的距离； (2)求直线到平面的距离. 解：以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以， 取， 则. 所以，点到直线的距离为 如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点.(2)求直线到平面的距离. 则，，，，， 所以， 因为所以 所以平面.所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 设平面的法向量为，则 所以所以取则 所以，是平面的一个法向量. 如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点. (2)求直线到平面的距离. 设平面的法向量为，则 所以所以取则 所以，是平面的一个法向量. 又因为，所以点到平面的距离为. 即直线到平面的距离为. 解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A1(4,0,1),C1(0,3,1), 所以直线A1C1的方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1), 所以点B到直线A1C1的距离d==. 点到直线的距离 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°, 求点B到直线A1C1的距离. 例1中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直线MN的距离. 解:如例1解中建立空间直角坐标系(图略). 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，求点B到直线A1C1的距离. 解:以B为坐标原点,分别以BA,过B垂直于BA的直线, BB1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A1(2,0,2), C1(1,,2), 所以A1C1的方向向量=(-1,,0),=(1,,2), 所以点B到直线A1C1的距离 d==. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，求点B到直线A1C1的距离. 方法技巧： 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量； (3)求所求点与直线上某一点所构成的向量； (4)代入点线距公式求距离. (5)注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 点线距公式的由来： 1.计算斜线向量在直线的方向向量上的投影向量的长度. 2.利用勾股定理求解. 设,直线的单位方向向量为 则向量在直线上的投影向量. 由勾股定理，得 点到平面的距离或直线到平面的距离 如图，已知正方形的边长为1，平面，且，分别为的中点.(1)求点到平面的距离； (2)求直线到平面的距离. 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ∴，，. 设平面的法向量为 则所以即令则. 所以点到平面的距离. 点到平面的距离或直线到平面的距离 如图，已知正方形的边长为1，平面，且，分别为的中点(2)求直线到平面的距离. (2)由于分别为的中点，所以， 所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 由于，又由(1)知平面的法向量为. 所以点到平面的距离为. 即直线到平面的距离为. 方法技巧： 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标 (，内两不共线向量，平面的法向量)； (4)求距离. 在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2 ,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示. 求点B到平面CMN的距离. 解:取AC的中点O,连接OS,OB. ∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC, ∴SO⊥平面ABC. 又BO⊂平面ABC,∴SO⊥BO. 如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz, 在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2 ,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示. 求点B到平面CMN的距离. 则B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,). ∴=(3,,0),=(-1,0,),=(-1,,0). 设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 则取z=1, 则x=,y=-,∴n=(,-,1). ∴点B到平面CMN的距离d=. 如图所示，已知四棱柱是底面边长为1的正四棱柱. 若点到平面的距离为，求正四棱柱的高. 解：设正四棱柱的高为建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，, ∴，， 设平面的法向量为， 则即取得， 所以点到平面的距离为，解得 故正四棱柱的高为2. 求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法:d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段) 若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( ) 分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1). 可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)， D 解: 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB到平面D1CB1的距离. A1 C B D A B1 C1 D1 x y z 1.点线距(线线距)： 2.点面距(线面距面面距)： 设平面的法向量为，在直线上的投影向量为， 则点到平面的距离. 课堂小结 设,直线的单位方向向量为 则向量在直线上的投影向量. 由勾股定理，得 则M(2,0,1),N,C1(0,3,1), 所以直线MN的方向向量为, =(-2,3,0), 所以点C1到MN的距离 d=. $