1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 空间中直线、平面的垂直 1 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直 关系.(数学抽象) 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理. (逻辑推理) 3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.(逻辑推理) 学习目标 1.空间中点、直线和平面的向量表示 (1)点→点+位置向量 (2)线→点+方向向量 (3)平面→点+法向量 2.空间中直线、平面的平行 复习 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直； 直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行； 平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 引入 l2 思考1：如何用直线的方向向量表示两条直线的垂直？ l1 设直线的方向向量分别为， 思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直关系？ l 设直线的方向向量分别为，平面的法向量为， ，使得 n1 思考3：由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ n2 设平面的法向量分别为 巩固 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点. 求证:D1M⊥平面EFB1. 证明:(方法1)因为E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点, 所以, 而, 于是=()·() =0-0+0-×0=0, 因此.同理, 又因为不共线, 因此D1M⊥平面EFB1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点. 求证:D1M⊥平面EFB1. (方法1)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则D1(0,0,1),M,B1(1,1,1),E,F, 于是, , 因此=1×0+1××(-1)=0,故; 又=1×+1×0+×(-1)=0,故. 又不共线,因此D1M⊥平面EFB1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点. 求证:D1M⊥平面EFB1. (方法2)则D1(0,0,1),M,B1(1,1,1),E,F, 于是,, 设平面EFB1的法向量为n=(x,y,z), 于是n⊥,n⊥,因此 取x=2,则y=2,z=-1,即n=(2,2,-1), 而(2,2,-1),即n, 所以∥n,故D1M⊥平面EFB1. 利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找两个不共线的向量, 证明直线所在向量与两个不共线向量垂直,从而证得结论. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标, 证明直线的方向向量与两个不共线向量垂直,从而证得结论. (3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论. 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4, AD=2,CD=2, PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC. 证明:因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点, AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则B(4,0,0),P(0,0,4), D(0,2,0),C(2,2,0), 所以=(-4,2,0),=(2,2,0),=(0,0,4). 所以=(-4)×2+2×2+0×0=0, =(-4)×0+2×0+0×4=0, 所以BD⊥AC,BD⊥AP. 因为AP∩AC=A,AC⊂平面PAC,AP⊂平面PAC, 所以BD⊥平面PAC. 如图，在平行六面体中， 求证：直线平面. 证明：设，，，则为空间的一个基底， 且，，. 因为 所以 在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点， 存在唯一的有序实数对，使得 所以， 所以是平面的法向量. 所以平面. 证明“平面与平面垂直的判断定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如图，，求证：. 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C. 解:由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2,0,0),A1(2,0,1), C(0,2,0),C1(0,2,1),E(0,0,), 则=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,2,1),=(-2,0,). 设平面AA1C1C的一个法向量为n1=(x1,y1,z1). 则 令x1=1,得y1=1.∴n1=(1,1,0). 设平面AEC1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2). 则 令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4). ∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0, ∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，且 是的中点.求证：平面平面. 证明：设，建立如图所示的空间直角坐标系， 易知 设平面的法向量为 ∴即 令，可得平面的一个法向量为. ∵平面，∴平面的一个法向量为 ∵，∴平平面. 利用空间向量证明面面垂直的方法 1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径: 一是将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直; 二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直. 2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度. 2.如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD, AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=. 求证:平面AMD⊥平面CDE. 分析:因为FA⊥平面ABCD,所以可以以点A为坐标原点建立空间直角坐标系. 跟踪训练 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1, 点F是PB的中点,点E在边BC上移动. 求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF. 证明:以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a, 则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F. ∵E在BC上,∴设E(m,1,0),∴=(m,1,-1), . ∵=0,∴PE⊥AF. ∴无论点E在边BC上何处,总有PE⊥AF. 利用向量方法证明线线垂直的方法 (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直; (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 课堂小结 证明:如图,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设AB=1,依题意得A(0,0,0),M,C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1), 则=(-1,0,1),=(0,2,0),可得=0,=0,因此CE⊥AM,CE⊥AD. 又AM∩AD=A,∴CE⊥平面AMD. 又CE⊂平面CED,∴平面AMD⊥平面CED. $