2.1等式性质与不等式性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式与不等式性质，通过回顾等式性质引入现实不等关系实例，如限速、酸奶质量标准等，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解不等式的表示方法。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，用赵爽弦图探究重要不等式、作差法推导培养数学思维，通过糖水变甜等问题强化数学语言表达。典例练习结合，小结清晰，助力学生构建知识体系，方便教师高效教学。

高2025级 数学 必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质(2) 1 回顾 1.比较大小：作差法(与0比较) 2.重要不等式： 可用于求最值 ①画图(对/△/开) ②配方 > > 作差→变形(化为因式的积或平方和)→与0比较 P40思考 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共线，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 等式的基本性质： 性质1 如果a=b，那么b=a； 性质2 如果a=b，b=c，那么a=c； 性质3 如果a=b，那么a+c=b+c； 性质4 如果a=b，那么ac=bc； 运算中的不变性就是性质. 性质5 如果a=b，c≠0，那么 P40探究 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 等式的基本性质： 性质1 如果a=b，那么b=a； 性质2 如果a=b，b=c，那么a=c； 性质3 如果a=b，那么a+c=b+c； 性质4 如果a=b，那么ac=bc； 不等式的基本性质： 性质1 如果a>b，那么b<a； 性质2 如果a>b，b>c，那么a>c； 性质3 如果a>b，那么a+c>b+c； 性质4 如果a>b, c>0，那么ac>bc, 如果a>b, c<0，那么ac<bc ； 性质5 如果a>b, c>d，那么a+c>b+d； 性质6 如果a>b>0, c>d>0，那么ac>bd； 性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N, n≥2). 不等式的性质： 性质1 （对称性） 性质2 （传递性） 性质3 （同加性） 性质4 （乘法法则） 性质6 性质7 性质8 （乘方法则） （开方法则） 性质5 （同向可加性） （同向可乘性） 证明： 说明：此推论可以推广到有限个同向不等式两边分别相加 . 性质5： （同向可加性） 正确的是： 证明： 想一想： 成立吗？ 说明：同向不等式只能相加，异向不等式只能相减！ 不成立 证明： 性质6 （同向可乘性） 证明1： 证明2： 不等式性质 10 P42例1 > < < < 利用不等式性质判断不等式是否成立的方法: (1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质. (2)特殊值法.取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题设条件; 二是取值要简单,便于验证计算. 反思总结 -- 14 × √ × × × × √ 有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d， 已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，求这四个小球由重到轻 的排列顺序？ 解：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)， 即a>c. ∴b<d. 又a＋c<b，∴a<b. 综上可得，d>b>a>c. 小结： 不等式的性质： 性质1 （对称性） 性质2 （传递性） 性质3 （同加性） 性质4 （乘法法则） 性质6 性质7 性质8 （乘方法则） （开方法则） 性质5 （同向可加性） （同向可乘性） 重要不等式： 一般地，∀ a,b∈R,有 a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成立. 关键：减化加 3a+2b 18 (不等式不可同向相除) 关键：除化乘 19 解： 错解 正确解法： 解得 练习 23 Fighting [补充例3]　已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d). 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0， 即a－c＞b－d＞0， ∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d). 又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d). $ 高2025级 数学 必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质(1) 1 前情回顾 思考：以前，我们已经通过具体实例归纳出了一些(不)等式的性质， 你还记得哪些等式和不等式的性质呢？ 等式性质 文字表述 性质1 性质2 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，等式仍然成立 等式的两边同乘(或除以)一个非零数，等式仍然成立 说说你还记得的不等式的相关性质？ 新课引入 高与矮 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、重与轻、长与短、高与矮、远与近、升与降、涨与跌、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示。 新知探究1 思考：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应 不小于2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 学习新知 问题2 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： 练习(第39页） 如图，在一个面积小于350 m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库， 仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍． （3） 新知1 1. 两实数大小关系的基本事实： 比较两数(式)的大小 A B b x （B） A （b） x B A b x 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 作差法 典例分析 例1 比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小？ 解：因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6) =(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0， 所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6). 应用新知 新知探究2 探究2：如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是 根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 新知探究2 当且仅当a=b时，等号成立. 不等关系：大正方形面积大于或等于四个三角形面积？ 新知2 重要不等式 2. 重要不等式： 利用完全平方公式： 重要不等式： 一般地，，有 当且仅当时，等号成立. 14 习题2.1（第42页） 12．火车站有某公司代运的甲种货物1 530 ，乙种货物1 150 ．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？ 习题2.1（第42页） 所以共有三种方案，方案一：安排A型货厢28节，B型货厢22节； 方案二：安排A型货厢29节，B型货厢21节； 方案三：安排A型货厢30节，B型货厢20节． 课堂小结 1. 两实数大小关系的基本事实： 作差法 A B b x （B） A （b） x B A b x 2. 重要不等式： 一般地，，有 当且仅当时，等号成立. 【变式】已知,比较与的大小. 【解析】因为 因为,所以, 所以, 所以. $