24.4弧长和扇形面积（第1课时)（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十四章 圆 24.4弧长和扇形面积 （第1课时) 学 习 目 标 1 2 3 经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程，了解并会应用公式解决问题。 从学生熟知的圆的周长和面积公式入手进行推导，培养学生的探索和归纳能力。了解公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。 让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。 知识回顾 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形。 1.圆的周长公式：； 面积公式： 。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 新知探究 探究点1 与弧长相关的计算 议一议 （1）弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，在半径为𝒓的圆中，1°的圆心角所对的弧长是多少？ 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ， 长度为 ，即 。 1° 新知探究 探究点1 与弧长相关的计算 议一议 （2）在半径为𝒓的圆中，2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长是多少？ ∵1°的圆心角所对的弧长是 ， ∴2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长分别 是 的2、3、90、180、270、360倍。 圆心角 弧长 1° 2° 3° 90° 180° 270° 360° 新知探究 探究点1 与弧长相关的计算 归一归 （3）在半径为𝒓的圆中，n°的圆心角所对的弧长是多少？ 1°的圆心角所对的弧长是 。 n°的圆心角所对的弧长是 的n倍，即 . 在半径为的圆中，n°的圆心角所对的弧长公式 注意:用弧长公式计算时，要注意公式中n的意义: n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位. 归 纳 n° A B O 典例分析 例1．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直长度L(结果取整数). 解:由弧长公式，得： 的长 ∴所要求的展直长度： . 探究点1 与弧长相关的计算 新知探究 探究点2 与扇形面积相关的计算 议一议 （1）扇形是圆的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分，在半径为𝒓的圆中，圆心角为1°的扇形面积是多少？ 圆心角为1°的扇形面积是圆的面积的 ， 扇形面积为 。 （2）在半径为𝒓的圆中，圆心角为2°、3°、90°、180°、270°、360°的扇形面积是多少？ 圆心角 弧长 1° 2° 3° 90° 180° 270° 360° 所对的扇形面积分别是 的2、3、90、180、270、360倍。 新知探究 探究点2 与扇形面积相关的计算 归一归 （3）在半径为𝒓的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积是多少？ 圆心角为1°的扇形面积是 。 圆心角为n°的扇形面积是 的n倍，即 . 在半径为 的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式： 注意:用扇形面积公式计算时，要注意公式中n的意义: n表示1°圆心角的倍数，它和弧长公式一样是不带单位。 归 纳 n° A B O 扇形 新知探究 探究点2 与扇形面积相关的计算 议一议 (4)你发现了扇形的弧长公式与面积公式有什么联系吗? 归纳：实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，就会得到越来越多的小“等腰三角形”，扇形的面积就是这些小“等腰三角形”面积和的极限,我们也可以得到扇形面积公式的另一种表示方法： n° l O → 新知探究 探究点2 与扇形面积相关的计算 议一议 (5)一条弧与过它两端点的弦组成的封闭图形叫弓形，怎样求弓形的面积？ 弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差. 0 B A S弓形 = S扇形AOB- S△OAB 0 A B E S弓形 = S扇形AEB+ S△AOB 典例分析 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积. (结果保留小数点后两位) 解:如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D， 交 于点C，连接AC. ∵　, ∴， ∴OD=DC. 又 AD⊥DC, ∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC=AO=OC. ∴ ， . 有水部分的面积: 0 B A C 典例分析 例3　如图，四边形内接于圆O， ，求劣弧的长度． 解：分别连结， ． 新知巩固 教材P113练习 1.弧长相等的两段弧是等弧吗? 答：不一定，如图1，半径为2，圆心角是45°弧长为l1 45° O R1=2 90° O R2=1 如图2，半径为2，圆心角是45°弧长为l1 图1 图2 这两段弧长相等但不能重合，所以不是等弧 2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)? 新知巩固 教材P113练习 得：12= 新知巩固 教材P113练习 3.如图，正三角形ABC的边长为a，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，一长为半径作圆.求图中阴影部分的面积. 3. A B F E C D 拓展提升 1．如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接． (1)若，求的度数 (2)在（1）的条件下，若 ，求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号）． 解： （1）∵ AB是半圆O的直径， 答： 的度数是 ； 拓展提升 1．如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接． (1)若，求的度数 (2)在（1）的条件下，若 ，求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号）． （2）解：由（1）知 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴阴影部分的面积是: -2 =2π-2 ， 答：阴影部分的面积是 ． 真题感知 1.(2025•山西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影 部分的面积为(　　) A．2π－4 B．4π－4 C．8π－8 D．4π－8 解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵BC＝4，∴， ∴ ， D 真题感知 2.（2025.山东烟台）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 解：连接OA、OE、OF， 过点O作OM⊥AF于点M，如图所示： ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴OA＝OE＝OF， ， ∠BAF＝120°， ∴△OAF和△OEF为等边三角形， ∠AOE＝60°+60°＝120°， ∴∠OEF＝∠OAF＝60°， ∵OM⊥AF， M ∟ ∴S△OAF ， ∵∠BAF＝120°， ∴∠OAG＝120°﹣60°＝60°， ∴∠OAG＝∠OEH， ∴∠GOA+∠AOH ＝∠AOH+∠EOH＝120°， ∴∠GOA＝∠EOH， ∴△GOA≌△HOE，∴S△GOA＝S△HOE， ∴S△GOA+S四边形AOHF＝S△HOE+S四边形AOHF， ∴S五边形AGOHF＝S四边形AOEF， ∴S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF ， G H ∴AM＝FMAF＝2， ∴OM， 真题感知 3.（2025.河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为 （1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数； （2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； （3）当∠EOF＝150°时，求的长． 解：（1）∵四边形ABCD为边长为5的正方形， ∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°， ∵AE＝3，∴DE＝2， ∵DE＝DF，∴DE＝DF＝2． ∵OE＝OF＝2， ∴DE＝DF＝OE＝OF＝2， ∴四边形OEDF为正方形， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EMFEOF＝45°； 真题感知 3.（2025.河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为 （1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数； （2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； （3）当∠EOF＝150°时，求的长． （2）连接EF，交BD于点H，如图， ∵四边形OEMF为菱形， ∴OE＝EM＝OF＝MF＝2， EH⊥MD， ∵OM＝OE＝OF＝2， ∴△OEM，△OFM为等边三角形， ∴∠OEM＝∠OME ＝∠OMF＝∠OFM＝60°， ∴EH＝2． ∵四边形ABCD为边长为5的正方形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝45°， ∴△EDH为等腰直角三角形， ∴DH＝EH， ∴DEDH； 真题感知 3.（2025.河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为 （1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数； （2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； （3）当∠EOF＝150°时，求的长． （3）当∠EOF＝150°时，如图2， ∴的长； 当∠EOF＝150°时，如图， 的长． 综上，当∠EOF＝150°时， 的长为或． 课堂小结 01 03 02 在半径为r 的圆中，n°的圆心角所对的弧长公式： . 在半径为r 的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式： ；另一种表示方法： . 弓形弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差. 课后练习 （2）一个扇形的弧长是 20π cm，面积是240π cm2，则扇形的圆心角是_____； 解析：设该扇形圆心角为 n°，半径为 R cm. 由题意得 240π = ×20π×R， 解得 R = 24． 则有 20π = ，解得 n = 150. 150 ° （3）用一个圆心角为 120°，半径为 4 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 . 解析：设圆锥的底面圆半径为 r， 由题意得 2πr = ，解得 r = . 1.填空： （1）75° 的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所在圆的半径是_____cm； 6 教材P115 习题24.4 课后练习 教材P115 如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，求这条传送带的长. 2. 解：这条传送带的长是一个圆的周长与两条等长的平行线段的长度之和， ∴ 传送带的长是 3π + 10×2 = 3π + 20 (m)． 习题24.4 课后练习 教材P115 3.在航海中，常用海里（单位：n mile）作为路程的度量单位. 把地球看作球体，1 n mile 近似等于赤道所在的圆中 1′ 的圆心角所对的弧长. 已知地球半径（也就是赤道所在圆的半径）约为 6370 km，1 n mile 约等于多少米（π 取 3.14，结果取整数）？ 解： ≈1852（m）. 答：1n mile 约 等于 1852 m. 习题24.4 课后练习 4.正方形的边长为 a，以各边为直径在正方形的画半圆，求图中阴影部分的面积. 解法 1：设图中阴影部分的面积为 x， 则空白部分的面积为 (a2 – x)， 由图形的对称性可得 x + (a2 – x) =π ， 解得x = (－1) a2 ． 教材P115 习题24.4 解法 2：S阴影 = 解法 3：S阴影 = 答：图中阴影部分面积为 课后练习 教材P 6.如图是一段弯形管道，其中，∠O =∠O′ = 90°，中心线的两条圆弧半径都为 1000 mm，求图中管道的展直长度（π 取 3.142）. 解：3000 + 2× ≈ 6142（mm）. 答：图中管道的展直长度约为 6142 mm. 教材P115 习题24.4 课后练习 11.如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的画花，请你提供设计方案. 解：答案不唯一， 如：可先作该圆的一条直径，然后再作与其垂直的另一条直径，则这两条直径就把圆形花坛分成了面积相等的四部分． 教材P115 习题24.4 探究性作业 感谢聆听! $