专题24.7 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（十大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题24.7 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（十一大题型） 【题型1求弧长】...................................................................................................................1 【题型2求扇形半径】.............................................................................................................2 【题型3求圆心角】...............................................................................................................3 【题型4求某点的弧形运动路径长度】.....................................................................................4 【题型5求扇形面积】..........................................................................................................5 【题型6求图形旋转后扫过的面积】.....................................................................................6 【题型7求弓形面积】..........................................................................................................8 【题型8求圆锥侧面积】........................................................................................................9 【题型9求圆锥底面半径】.................................................................................................10 【题型10求圆锥侧面展开图的圆心角】................................................................................11 【题型11圆锥侧面上最短路径问题】.....................................................................................12 【题型1求弧长】 1．如图，正六边形的边心距为，以顶点为圆心，长为半径画圆，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 5．无论是“轻罗小扇”，还是“羽扇纶巾”，当古诗词遇上扇子，更显古朴韵味，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物．如下图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则此时折扇所在扇形的弧长为 ．（结果保留） 【题型2求扇形半径】 1．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 2．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的圆心角等于，则围成的圆锥的母线长R的值为（    ）    A．2 B．4 C．8 D．10 3．在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是 ． 4．如图所示，综合实践课上，聪聪用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 ． 【题型3求圆心角】 1．如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了 度． 3．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 度． 4．一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角为 度． 5．如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品A被传送，则 ．    【题型4求某点的弧形运动路径长度】 1．如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面又落回到地面，则点所走路径的长度为 ． 3．时钟的时针长，从上午到中午，这个时针的针尖经过的路程为 ． 4．如图，已知三角板，将三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为 ．（结果保留） 5．如图，在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，、．将绕着原点顺时针方向旋转、得到（点A、B的对应点分别为、）． (1)画出并写出点坐标； (2)求点B在旋转过程中经过的路径长（结果保留或根号）． 【题型5求扇形面积】 1．如图，在中，，，以为直径的半圆O交于点D，交于点E，连接，若D是的中点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．若扇形半径为4，圆心角为，则该扇形的面积为 ． 4．如图1是精美的红木木雕算盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为算盘）．通过测量得到扇形的圆心角为，，则算盘的面积为 ．（结果保留π） 【题型6求图形旋转后扫过的面积】 1．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 3．如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是 ．（结果保留） 4．如图，在平面直角坐标系中，为原点，的顶点、、．将绕点顺时针旋转得到（分别与对应）． (1)在图中画出旋转后的图形； (2)在旋转过程中，求所扫过的图形的面积．（结果保留） 5．如图，的顶点均在边长为1的小正方形组成的的网格的格点上． (1)画出将绕点顺时针旋转90°得到的对应图形； (2)旋转过程中边“扫过”的面积为 ． 【题型7求弓形面积】 1．如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 4．如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．    【题型8求圆锥侧面积】 1．若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 2．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，圆锥的底面半径，高，该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的底面半径为3，母线长为15，则该圆锥的侧面积为 ． 5．若圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是 ． 【题型9求圆锥底面半径】 1．若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是 ． 2．如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ． 3．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，扇形半径，则圆锥的底面圆半径 ． 4．如图，小张同学用半径，的扇形包装纸恰好能设计成一个圆锥状冰淇淋的侧面外包装，则这个圆锥状冰淇淋的底面半径 ． 5．如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 6．如图，从一块直径为6的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ． 【题型10求圆锥侧面展开图的圆心角】 1．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 2．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ）    A． B． C． D． 4．如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 5．已知圆锥底面圆的周长为，母线长是，它的侧面展开图的圆心角 ． 6．如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为 度． 【题型11圆锥侧面上最短路径问题】 1．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 2．如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 3．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为 ． 4．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍， （1）求它的侧面展开图的圆心角． （2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长 5．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 1．如图，扇形的半径长为2，，以为直径画半圆，取弧的中点，连接，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在等腰直角中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形．若点C恰好在弧上，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．个半径均为的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为；的圆心为B，半径为；的圆心为C，半径为；的圆心为D，半径为，…，按规律循环延伸曲线，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.7 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（十一大题型） 【题型1求弧长】...................................................................................................................1 【题型2求扇形半径】.............................................................................................................4 【题型3求圆心角】...............................................................................................................7 【题型4求某点的弧形运动路径长度】.....................................................................................9 【题型5求扇形面积】..........................................................................................................13 【题型6求图形旋转后扫过的面积】.....................................................................................15 【题型7求弓形面积】..........................................................................................................20 【题型8求圆锥侧面积】........................................................................................................24 【题型9求圆锥底面半径】.................................................................................................27 【题型10求圆锥侧面展开图的圆心角】................................................................................30 【题型11圆锥侧面上最短路径问题】.....................................................................................34 【题型1求弧长】 1．如图，正六边形的边心距为，以顶点为圆心，长为半径画圆，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据正六边形的边心距求出边长，正六边形的边心距，指的是从正六边形的中心到任意一条边的垂直距离．再利用圆心角的度数和弧长公式求出弧长． 【详解】解：连接对角线，交点为，作,垂足为点H,则, ∵是正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∵正六边形的边心距， ∴圆的半径， ∴的长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了正六边形的性质以及弧长公式计算，解题关键是明确正多边形的性质和熟记弧长公式． 2．如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，弧长公式．连接，根据圆周角定理得出，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得出，求得，，再利用弧长公式解答即可． 【详解】解：连接，如图： ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， 故的长是． 故选：B． 3．如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 4．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键． 利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解． 【详解】解：的长为 ． 故答案为： ． 5．无论是“轻罗小扇”，还是“羽扇纶巾”，当古诗词遇上扇子，更显古朴韵味，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物．如下图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则此时折扇所在扇形的弧长为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此即可计算． 【详解】解：根据题意得：弧的长． 故答案为：． 【题型2求扇形半径】 1．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积与弧长公式的应用，解答本题的关键是掌握扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式（其中为面积，为弧长，为半径），结合已知的弧长和面积，直接解方程即可求得半径． 【详解】设扇形的半径为， 根据扇形的面积公式， 解得． 故选：． 2．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的圆心角等于，则围成的圆锥的母线长R的值为（    ）    A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 【详解】解：∵圆的半径， ∴圆的周长， ∴这个圆锥侧面展开的扇形的弧长是， ∵扇形的圆心角等于， ∴， ∴这个扇形的半径是． 故选：C． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 3．在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了扇形的半径，掌握扇形面积公式是关键，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：根据题意得到，， 解得，（负值舍去）， ∴扇形的半径为， 故答案为：6 ． 4．如图所示，综合实践课上，聪聪用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥与扇形的计算，掌握相关计算公式是解题的关键．设圆锥的底面半径为，扇形的半径为，扇形的弧长为，根据扇形的弧长=圆锥底面圆周长构建方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，扇形的半径为，扇形的弧长为， 圆锥的底面半径是， 扇形的弧长， 扇形纸板的圆心角为，， ， 解得：， 故答案为：． 【题型3求圆心角】 1．如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，由切线的性质及正多边形的性质得，由多边形的内角和即可求解； 【详解】解：如图，连接、， ∵与正八边形相切于点， ，， ∵六边形的内角和为， ， ， ∴的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；掌握切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键． 2．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了 度． 【答案】36 【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式并理解题意是解题的关键．先根据题意得出点旋转的弧长为，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意得滑轮上某一点运动的路程为， 即点旋转的弧长为， 设点旋转的角度为度， 则， 解得：， 故答案为：36． 3．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 度． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算，设扇形的圆心角为，根据弧长公式列式计算即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】216 【分析】根据扇形面积公式求出圆的半径，再根据弧长公式求出圆心角度数即可． 【详解】解：∵一个扇形的弧长是，面积是， ∴，解得，， ∴， ∴，解得，， 故答案为：216． 【点睛】本题考查了扇形面积和弧长的计算，解题关键是熟记扇形面积公式和弧长公式． 5．如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品A被传送，则 ．    【答案】120 【分析】根据物品A被传送的距离等于转动了的弧长，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：∵物品A被传送的距离等于转动了的弧长， ∴， 解得， 故答案为：120． 【点睛】本题考查弧长公式，理解传送距离和弧长之间的关系是解题的关键． 【题型4求某点的弧形运动路径长度】 1．如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长的计算，旋转的性质，勾股定理，能得到点运动的路径是圆心角为，半径为5的扇形的弧长是解题的关键． 根据题意和图形，可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据弧长公式计算即可得到的长． 【详解】解：由图可得，， 由旋转可得， 的长为：， 故选：B． 2．如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面又落回到地面，则点所走路径的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式．解题的关键在于明确旋转路径．分别计算每次旋转的路径，求和计算即可． 【详解】解：第一次是以B为旋转中心，长为半径旋转， 此次点走过的路径是． 第二次是以为旋转中心，长为半径旋转， 此次走过的路径是． 第三次是以A为旋转中心，长为半径旋转， 此次走过的路径是． ∴点从起始位置翻滚一周后所经过的长度 ． 故答案为：． 3．时钟的时针长，从上午到中午，这个时针的针尖经过的路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算公式．先根据题意得到时针转过的角度为，再根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：时钟从上午到中午，转过的角度为， 因为时钟的时针长， 所以时针的针尖经过的路程为． 故答案为： 4．如图，已知三角板，将三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了轨迹，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧长公式等知识点，首先利用已知求出，解直角三角形求出，求出旋转角，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵将三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点落在边的起始位置上时即停止转动， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴旋转角， 即， ∴B点转过的路径长为， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，、．将绕着原点顺时针方向旋转、得到（点A、B的对应点分别为、）． (1)画出并写出点坐标； (2)求点B在旋转过程中经过的路径长（结果保留或根号）． 【答案】(1)见解析，； (2)． 【分析】本题考查了画旋转图形，根据坐标系写出点的坐标，求弧长，理解题意掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据题意找到A， B绕点顺时针方向旋转的对应点，顺次连接为所求作，根据坐标系写出点的坐标即可； （2）勾股定理求得的长，进而根据弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作；． （2）解：由勾股定理得：， ∴点B在旋转过程中经过的路径长为：． 【题型5求扇形面积】 1．如图，在中，，，以为直径的半圆O交于点D，交于点E，连接，若D是的中点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边对等角、三角形内角和定理，关键是求出扇形的圆心角和半径． 连接，由等边对等角可得，求出，再由D是的中点可得，从而得出，再根据，得出，从而得出，得出，从而求出，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆与正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用所学知识求解是解题的关键． 如图：连接，根据圆与正多边形的性质可知是等边三角形，则，，然后再运用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意得圆的内接正六边形的半径为2， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 故选B． 3．若扇形半径为4，圆心角为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，直接根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形的面积为， 故答案为：． 4．如图1是精美的红木木雕算盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为算盘）．通过测量得到扇形的圆心角为，，则算盘的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据，结合扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故答案为：． 【题型6求图形旋转后扫过的面积】 1．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆环的面积，明确扫出的图形是圆环是解题的关键． 线段扫过的轨迹为圆环，求出、到线段的距离，根据圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求解． 【详解】解：如图，线段扫过的轨迹为圆环，其中大圆是以为圆心、为半径的圆，小圆是以为圆心、为半径的圆； 连接， ∵， ∴大圆的半径 ， 小圆的半径即到线段的距离，即， ∴圆环的面积为， 即线段扫过的面积为． 故选． 2．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 3．如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转变换，推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键． 线段所扫过的面积 ． 【详解】解：线段所扫过的面积 ． 故答案为． 4．如图，在平面直角坐标系中，为原点，的顶点、、．将绕点顺时针旋转得到（分别与对应）． (1)在图中画出旋转后的图形； (2)在旋转过程中，求所扫过的图形的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据旋转的性质，确定旋转后对应点的位置，从而画出旋转后的图形． （2）先求出的长度，再根据扇形面积公式计算所扫过图形的面积． 本题主要考查了图形的旋转以及扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：分别作出点、绕点顺时针旋转后的对应点、，连接、、，即为所求． 如图，即为所求； （2）解：∵，， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴所扫过的图形是扇形，圆心角为，半径为的长度． ∵扇形面积公式为（为圆心角度数，为半径）， ∴所扫过图形的面积为． 5．如图，的顶点均在边长为1的小正方形组成的的网格的格点上． (1)画出将绕点顺时针旋转90°得到的对应图形； (2)旋转过程中边“扫过”的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了旋转作图、勾股定理、扇形面积等知识点，理解旋转的性质、扇形的面积公式成为解题的关键． （1）先作出点B、C绕点顺时针旋转90度的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）先根据小正方形的特点用勾股定理求出边长，再根据旋转的性质以及扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由题意可得：，， 所以旋转过程中边“扫过”的面积为． 故答案为：． 【题型7求弓形面积】 1．如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，过点O作于点F，求出，由圆周角定理得，得，由三角形外角的性质得，由垂径定理得，根据勾股定理得，根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点F，    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠， ∴∠， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键． 2．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 4．如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．    【答案】/ 【分析】连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点，     由题意可知：， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 【题型8求圆锥侧面积】 1．若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：B． 2．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据勾股定理得，根据勾股定理逆定理得出，再求出扇形面积即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴这个圆锥的侧面积是． 故选：D． 3．如图，圆锥的底面半径，高，该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积计算它的侧面积即可． 【详解】解：圆锥的母线的长， 这个圆锥的侧面积， 故选：C． 4．已知圆锥的底面半径为3，母线长为15，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后代入计算即可． 【详解】解：如图所示， ∴． 故答案为：． 5．若圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查计算圆锥侧面积，因圆锥侧面展开图是扇形，掌握扇形面积计算方法是关键．根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥侧面积为：， 故答案为：． 【题型9求圆锥底面半径】 1．若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设这个圆锥的底面圆半径是，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径是， 根据题意得， 解得， 即这个圆锥的底面圆半径是． 故答案为：6． 2．如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，弧长公式，解题的关键在于掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设这个圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程，然后解方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为， 则有 解得， 那么这个圆锥的底面圆半径为； 故答案为：． 3．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，扇形半径，则圆锥的底面圆半径 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，圆锥的侧面积等于母线长乘以圆周率乘以底面圆半径，据此建立方程求解即可． 【详解】解；由题意得，， 解得， 故答案为：2． 4．如图，小张同学用半径，的扇形包装纸恰好能设计成一个圆锥状冰淇淋的侧面外包装，则这个圆锥状冰淇淋的底面半径 ． 【答案】6 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：解：设圆锥底面圆的半径为， 则：， 解得：， 故答案为：6． 5．如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键． 先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r， 由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，从一块直径为6的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，连接，过点O作于D，根据垂径定理得到，求出，进而求出，再根据扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为r， 则， 解得：， 故答案为：． 【题型10求圆锥侧面展开图的圆心角】 1．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的扇形圆心角，设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为，再利用底面圆周长等于展开图的弧长可得答案. 【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为， 由题知，， 解得， 其侧面展开扇形的圆心角为． 故选：D 2．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求圆锥展开图的圆心角的度数，设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为．根据题意，圆锥的侧面积是底面积的2倍，可建立方程求出母线长．再利用扇形弧长等于底面周长，即可求出圆心角． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为， 由题意，得： ∴． 又∵，将代入得： ∴； 故选D． 3．如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是， 根据题意得， 解得， 即圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是． 故选：D． 4．如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键．先根据勾股定理求出圆锥的底面圆的半径，再根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：圆锥的高为，母线长为， 圆锥的底面圆的半径， 由（r为圆锥底面半径，R为圆锥的母线长，n为圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角） 得， ， 故答案为：． 5．已知圆锥底面圆的周长为，母线长是，它的侧面展开图的圆心角 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图得到的扇形圆心角度数，根据圆锥的底面圆周长是其侧面展开图得到是的扇形弧长建立方程求解即可． 【详解】解；设它的侧面展开图的圆心角度数为， 由题意得，， ∴， ∴它的侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 6．如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为 度． 【答案】120 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆锥侧面展开图，圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，据此利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要的扇形纸片的圆心角为， 由题意得，， 解得， ∴需要的扇形纸片的圆心角为120度， 故答案为：120． 【题型11圆锥侧面上最短路径问题】 1．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 2．如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】3 【分析】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出即可解答． 【详解】解：如图，连接，作于点， ∴即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． ∴蚂蚁爬行的最短距离为3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键． 3．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC的长即可． 【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4， 侧面展开的圆心角，n=90º即∠ASC=90º， C为SD的中点SD=4， 线段AC是小虫爬行的最短距离， 在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键． 4．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍， （1）求它的侧面展开图的圆心角． （2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长 【答案】（1）它的侧面展开图的圆心角为90°；（2）BB′＝8． 【分析】（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后求出n的值即可； （2）连接BB′，如图，根据两点之间线段对短得到BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，然后利用△ABB′为等腰直角三角形得到BB′的长． 【详解】解：（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°， 根据题意得2πr＝， 而l＝2r， 所以2πr＝，解得n＝90， 所以它的侧面展开图的圆心角为90°； （2）连接BB′，如图， 此时BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径， ∵r＝4， ∴l＝2r＝8， ∵∠BAB′＝90°， ∴△ABB′为等腰直角三角形， ∴BB′＝AB＝8． 【点睛】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角和在圆锥侧面求最短路径问题，解答关键是根据公式计算求出圆心角和将立体问题转化为平面问题加以解决． 5．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 1．如图，扇形的半径长为2，，以为直径画半圆，取弧的中点，连接，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积，过点D作将的延长线于点E，由已知可推出阴影部分面积等于扇形面积加个半圆的面积，加以为边长的小正方形的面积，再减去面积，最后根据扇形面积公式代入数据即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点D作将的延长线于点E，取中点，连接，则， ∵扇形的半径长为2， ∴， 又∵，点为弧的中点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵阴影部分面积等于扇形面积，加个半圆的面积，加正方形的面积，再减去面积， ∴ ． 故选：A． 2．如图，在等腰直角中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形．若点C恰好在弧上，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设交于点H，交于点，利用可证得，从而这两个三角形面积相等，则四边形的面积等于的面积，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点H，交于点， ∵是等腰三角形，且，，， ∴， ∵点D为的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三线合一，直角三角形的两个锐角互余，求扇形面积，求其他不规则图形的面积等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．个半径均为的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长的计算的应用等知识点，根据题意确定运动路径是由由4个孤1与8个孤2组成，然后利用弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长的计算是解决此题的关键． 【详解】如图， 该硬币圆心路径由4个孤1与8个孤2组成， ∴由圆半径相等得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴弧1的长，弧2的长， ∴总路径长， 故选：C． 4．如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为；的圆心为B，半径为；的圆心为C，半径为；的圆心为D，半径为，…，按规律循环延伸曲线，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，弧长的计算，找到的圆心角所对的弧的半径变化规律是解本题的关键．观察图形知曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．并且每一段弧的半径每次比前一段弧半径，得出半径规律，再计算弧长即可， 【详解】四边形是边长为的正方形 由已知可得；的半径为1；的半径为，的半径为2；的半径为，的半径为3，， 每一段弧的半径每次比前一段的圆心角所对的弧半径大， 半径增加2， 的半径为3；的半径为5， 的半径为7； 的半径为， 的长是． 故选：A． 5．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积以及图形面积之间的转化． 图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，由此可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示： 图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和， 图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示： 四边形的面积， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积，扇形和三角形如下图所示： 扇形的面积， 三角形面积， 弓形的面积， 图形1的面积， 图中阴影部分的面积图形1的面积． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$