24.3正多边形和圆（第2课时)（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十四章 圆 24.3 正多边形和圆（第2课时） 24.3 正多边形和圆 学 习 目 标 1 2 3 会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形。 会用圆的有关知识，解决正多边形的问题。 学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到事物之间是相互联系，相互作用的。 知识回顾 正多边形和圆的关系 把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． · A B C D E O O · A B C D E F 圆心角60° 圆中相等的圆心角所对的弧相等 3 知识回顾 复 习 ③正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角（即∠AOB ） ①我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心（即点O） ②外接圆的半径叫做正多边形的半径（即OA） ④中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（即OM） O · 中心角 半径R 边心距r A B C D E F M 正多边形及外接圆中的有关概念 新知探究 探究点1 正多边形的画法 生活中的正多边形图案. 观察 议一议 （1）在七年级上册第四章，我们就是用什么方法画五角星的，用这种方法可以画出任意正n边形吗？为什么？ 用量角器等分圆的方法画五角星的； 用这种方法可以画出任意正n边形； 新知探究 探究点1 正多边形的画法 议一议 （1）在七年级上册第四章，我们就是用什么方法画五角星的，用这种方法可以画出任意正n边形吗？为什么？ （2）怎样画一个边长为1.5cm的正六边形时？试一试 (3)在圆上依次截取与相等的弧，得到圆的6个等分点， 步骤：（1）以1.5cm为半径作一个⊙0 O · A B C D E F 圆心角60° （2）用量角器画一个等于360°÷6=60°的圆心角，它对着一段弧: (4)顺次连接各分点，即可得到正六边形. 因为圆中相等的圆心角所对的弧相等， 因此作出相等的圆心角就可以等分圆． 新知探究 探究点1 正多边形的画法 议一议 (3)你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正n边形吗？ 正四边形: 第一步：在圆中，用量角器画一个等于360°÷4=90°的圆心角，它对着一段弧， 第二步：然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的4个等分点， 第三步：顺次连接各分点，即可得到正四边形. · O 圆心角90° A B C D 正五边形 · A B C D E O 72° O · C D A B E F 正十二边形 30° 7 议一议 (3)你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正n边形吗？ 新知探究 探究点1 正多边形的画法 第一步：在圆中，用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧， 第二步：然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n个等分点， 第三步：顺次连接各分点 即可得到正n边形. 用量角器画正n边形 O · 圆心角 A B 画一画 新知探究 探究点1 正多边形的画法 对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作. 示例：利用圆规和直尺这样来作正六边形 方法： 由于正六边形的边长等于半径R ，所以半径R与边组成的三角形是等边三角形，在圆上依次截取等于半径R的弦，就把圆六等分了，再顺次连接各分点，即可得出正六边形． A B O C D E F R 画一画 新知探究 探究点1 正多边形的画法 对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作. 你能用直尺和圆规作正四边形、正八边形正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……吗？ · O A C B D 用圆规和直尺作两条互相垂直的直径，就可以把圆4等分，从而作出正方形． · A B C D O 只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形…… 新知探究 探究点1 正多边形的画法 议一议 （1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形等． 你能归纳出正多边形的作法吗？ O · A B C D E F 圆心角60° 典例分析 例1 　如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 解：如图，正方形为所作． 垂直平分为 的直径， 的直径， ， 四边形是矩形, 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是 的内接正方形． 典例分析 例2　如图①、图②都是 的网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上．图①、图②中的点A在 上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，所画图形的顶点均在格点上，并保留作图痕迹． (1)在图①中画一个的内接正方形. (2)在图②中画一个的内接四边形，使该四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，且点在该四边形内部. （2）如图所示，四边形ABCD即为所作； B C D 解：（1）如图所示，正方形ABCD 即为所作； B C D 新知探究 探究点1 正多边形的应用 议一议 在解决正多边形的有关计算时，除直接通过圆的性质直接求外，通过作正n边形的半径和边心距，把正n边形分为2n个全等的直角三角形，再利用勾股定理，即可完成一些特殊的正多边形的计算问题。 解决正多边形的有关计算时一般方法是什么？ 新知探究 探究点1 正多边形的应用 议一议 解决正多边形的有关计算时边长、周长、半径、边心距、面积之间有什么关系？ 常要用到: 弧相等→弦相等、 圆周角相等→多边形各边相等、 各角相等→多边形是正多边形等关系， 归纳总结： 解决正多边形的问题常和圆的起来，利用多边形的半径、中心角、边心距的关系，构造直角三角形，转化为直角三角形问题， 边心距r 半径R 中心角一半 边长一半 有时还需要和圆中的相关元素及三角形、四边形等联系。 构造直角三角形 典例分析 例3．如图，已知正六边形 边长为2，在正六边形的边上距离 最远的点到 的距离为（ ） A．3 　　　B．4 　　　　C． 　　　　D． 解：连接 交于点O， 如图则点O为外接圆的圆心， ∴在正六边形的边上距离 最远的点是 ， ∵正六边形 边长为2， ∴ ， ∴ 都是等边三角形， ∴， ∴ ． 例4.一个正多边形的半径是2，边心距为 ，求它的边数. 解：设这个多边形边数是n, 如图，AB是正多边形的一边，O是正多边形的中心. OD⊥AB于点D.则AO=2,OD= ┏ 典例分析 由勾股定理得： AD= ∵在RtAOD中，AD=1,AO=2 ∴AD=∴∠AOD=30° ∴=30° ∴n=6 答：这个多边形的边数是6 新知巩固 教材P108练习 1.画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线。画出一个五角星. (1)画一个以任意点O为圆心,以2cm长为半径的圆; (2)用量角器画一个等于 =72°的圆心角,得到此角所对的弧; (3)在圆上依次截取这条弧的等弧,得圆的五等分点; (4)顺次连接各等分点,得到此圆的内接正五边形; (5)连接正五边形的各条对角线得到五角星. . O 解：如图所示: 18 新知巩固 教材P108练习 2.用等分圆周的方法画出下列图案: 画法提示: (1)以圆的三等分点为圆心，圆的半径为半径作三条弧; (2)以正六边形的各边中点为圆心，正六边形的边长为直径向圆外画半圆; (3)作圆的内接正五边形，再以正五边形的各个顶点为圆心，边长为半径画十条. 拓展提升 1．如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC上一动点，过P作PM AB交AF于M，作PN CD交DE于N. (1)求出的度数，并证明； (2)如图②，点的中点，连接，求证：； (3)如图③，点O是AD的中点，OG平分，求证：四边形OMGN是菱形. 拓展提升 1．如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC上一动点，过P作PM AB交AF于M，作PN CD交DE于N. (1)求出的度数，并证明； （1）证明：延长FA、ED，分别交BC延长线于I，H ∵MP AB，PN CD，ABCDEF是正六边形 ∴均为等边三角形 ∴PM=PI，AB=IB，PN=PH，CD=CH， ∠IPM=∠HPN=60° ∴∠MPN=180°-60°-60°=60° PM+PN=PI+PH=IB+BP+PC+CH =AB+BC+CD=3a 拓展提升 1．如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC上一动点，过P作PM AB交AF于M，作PN CD交DE于N. (2)如图②，点的中点，连接，求证：； （2）证明：如图，令MP交AD于R，NP交AD于Q， ∵ABCDEF是正六边形，O是AD中点 ∴，AO=OD=AB， ∠MAR=∠NDQ=60° ∵ ∴ABPR是平行四边形， ∴AR=BP， ∠ARM=180°-120°=60° ∴是等边三角形， ∴AM=MQ=AQ，∠MRO=120° 同理可证QD=PC，DN=DQ=QN， ∠OQN=120°， ∵AO=AR+RO=OQ+QD=BP+PC ∴AR=OQ，RO=QN 在 ∴（SAS） ∴MO=NO 拓展提升 1．如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC上一动点，过P作PM AB交AF于M，作PN CD交DE于N. (3)如图③，点O是AD的中点，OG平分，求证：四边形OMGN是菱形. （3）证明：连接OE， ∵ABCDEF是正六边形 ∴∠EOD=60° 由（2）知 ∠NOQ+∠MOR=60° ∴∠MON=120° ∵OG是∠MON的角平分线 ∴∠GON=60° ∵∠GOE+∠EON=60°，∠DON+∠EON=60° ∴∠GOE=∠DON 在 (ASA) ∴GO=GN∴GO=GM ∵∠MOG=∠NOG=60° ∴都是等边三角形 ∵MO=NO ∴MO=NO=NG=GM ∴四边形MONG是菱形； 真题感知 1.（2025.金安校考）如图，已知 ，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 解：如图，任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F， 再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交 于点C，E， 顺次连接， 则六边形 即为所求． 真题感知 2．（2025.长丰统考）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长． 解：如图，连接， ． ∵六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ∴这个正六边形的周长为 ． 真题感知 3.（2025.太原统考）如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？ 解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K， 连接BD，作CG⊥BD于G. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF， ∴P到AF与CD的距离之和， 及P到EF、BC的距离之和均为HK的长. ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK. ∴ ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG= =2×3=6. ∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18． A B C D E F P K H G 1.画正多边形的方法： 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形. 2.画正多边形的方法 1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆 课堂小结 课堂小结 01 03 02 正多边形画法：（1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形等． 在解决正多边形的有关计算时，除直接通过圆的性质直接求外，通过作正n边形的半径和边心距，把正n边形分为2n个全等的直角三角形，再利用勾股定理，即可完成一些特殊的正多边形的计算问题。 如果正n边形的边数给定，已知它的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项，都可以求出其他各项。 04 解决正多边形的问题常和圆的起来，利用多边形的半径、中心角、边心距的关系，构造直角三角形，转化为直角三角形问题，常要用到弧相等→弦相等、圆周角相等→多边形各边相等、各角相等→多边形是正多边形等关系，有时还需要和圆中的相关元素及三角形、四边形等联系。 课后练习 习题24.3 教材P108 3.正多边形都是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？正多边形都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？ 答：正多边形都是轴对称图形. 当正多边形的边数为奇数时，它的对称轴是顶点与其中心的连线所在的直线； 当正多边形的边数为偶数时，它的对称轴是顶点或任意边的中点与其中心的连线所在的直线. 正多边形都是 图形，一个正n边形共有 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 . 轴对称 n 中心 3条 4条 5条 6条 课后练习 课本习题24.3 教材P108 3.正多边形都是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？正多边形都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？ 答：正多边形不都是中心对称图形. 当正多边形的边数为偶数时是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心；当正多边形的边数为奇数时不是中心对称图形. 不是中心对称图形 不是中心对称图形 边数是偶数的正多边形还是 ，它的中心就是对称中心. 中心对称图形 课后练习 课本习题24.3第4题. 教材P108 4.如图，H，I，J，K，L 分别是正五边形 ABCDE 各边的中点. 求证：五边形 HIJKL 是正五边形. 证明：在正五边形 ABCDE 中，AB = BC = AE， ∠A =∠B =∠C． ∵ I，H，L 分别为 BC，AB，AE 的中点， ∴ AL = AH = BH = BI = IC． ∴△AHL ≌ △BIH ≌ △CJI（SAS）． ∴ HL = IH = JI，∠AHL =∠BHI =∠BIH=∠CIJ． ∴∠LHI =∠HIJ. 同理可得：LK = KJ = IJ = HI = HL， ∠HLK =∠LKJ =∠KJI =∠LHI=∠HIJ， 即五边形 HIJKL 的各边相等，各内角也相等. ∴ 五边形 HIJKL 是正五边形. 课后练习 课本习题24.3第6题. 教材P 6.如图，正方形的边长为 4 cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积. 解：设这个正八边形的边长为 x cm． 由勾股定理得 2[ (4 – x)]2 = x2， 解得 x1 = – 4 – 4 (舍去)，x2 = – 4 + 4 . ∴ 这个正八边形的边长为 (4 – 4) cm． ∴ 剪下的小三角形的直角边长为: (4 – x) = 4 – 2 . ∴ S正八边形 = S正方形 – 4S小三角形 = 42 – 4× (4 – 2 )2 = 32 – 32 (cm2)． 课后练习 课本习题24.3第8题. 教材P109 8.把圆分成 n (n≥3) 等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正 n 边形. 如图，⊙O 的半径是 R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长. 解：⑴连接OA,若AB与⊙O切于H则OH⊥AB. 则∠AOH= ∴在Rt△AOH中∠OAH=300 ∴AO=2OH=2R ∴AH= ∴边长a=AB=2AH= ⑵连接OA.若AB与⊙O切于H则OH⊥AB. 则∠AOH= ∴在Rt△AOH中∠OAH=450 ∴AH=OH=R ∴边长a=AB=2AH=2R 课后练习 课本习题24.3第8题. 教材P109 解：⑶连接OA,若⊙O与AF切于H， 连接OH，则OH⊥AF. 则∠AOH= ∴在Rt△AOH中AO=2AH ∵AH2+OH2=AO2 ∴ AH2+R2=(2AH)2 ∴边长a=AF=2AH= 课后练习 课本习题24.3第8题. 教材P109 ∴ AH= 课后练习 课本习题24.3第8题. 教材P109 8.把圆分成 n (n≥3) 等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正 n 边形. 如图，⊙O 的半径是 R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长. 答：半径为 R 的圆外切正三角形的边长为 R， 外切正四边形的边长为 2R， 圆外切正六边形的边长为 R. 感谢聆听! $