24.3 正多边形和圆（第1课时)（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十四章 圆 24.3 正多边形和圆（第1课时） 24.3 正多边形和圆 学 习 目 标 1 2 3 结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，发展抽象能力。 结合实例了解多边形、正多边形、圆、扇形。了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念。会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题。 （3）学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活。 知识回顾 正三角形 三条边相等， 三个角也相等（60°）。 正方形 四条边都相等， 四个角也相等（90°）。 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。 正多边形命名： 正多边形： 新知探究 探究点1 正多边形和圆的关系 议一议 观察下边的美丽图案，思考下面的问题: (1)这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能找出正多边形吗? 正六边形 正十二边形 正八边形 学生对照正多边形定义，指出图中的正多边形。 4 A B C D E 新知探究 探究点1 正多边形和圆的关系 议一议 圆是这个正多边形的外接圆。 （2）你知道正多边形和圆有什么关系吗? 弧相等 弦相等（多边形的边相等） 圆周角相等（多边形的角相等） 多边形是正多边形 正多边形和圆的关系非常密切 把正n边形的边数无限增多,就接近于圆 把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形 (3)怎样做一个正多边形呢? 新知探究 探究点1 正多边形和圆的关系 议一议 （4）以圆内接正五边形为例，你能证明只要把一个圆分成五个相等的弧，就可以作出这个圆的内接正五多边形吗？ 如图 ，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE. 证明：∵ ， ∴AB=BC=CD=DE=EA， ∴∠A=∠B. 同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上. ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆. · A B C D E O 新知探究 探究点1 正多边形和圆的关系 议一议 (5)这时举例的是圆内接正五边形，如果是6、7、8…时应作什么改动？由此说明什么？ 上面相等的弧、弦、圆周角都改为6、7、8…，结论仍然成立， 即只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 把一个圆分成n等份(n≥3),顺次连接各分点就可以作出这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 结 论 新知探究 探究点1 正多边形和圆的关系 归一归 （6）与正多边形有关的一些概念，我们利用多边形的外接圆来定义 正多边形的概念：中心、半径、中心角、边心距 E F C D . O 中心角 半径R 边心距r 正多边形的中心:该正多边形的外接圆的圆心 正多边形的半径:外接圆的半径. 正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的圆心角. 正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离. A B 新知探究 探究点1 正多边形和圆的关系 归一归 外接圆的圆心 外接圆的半径 正多边形的每一条边所对的圆心角 弦心距 正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形的边心距 O 圆心 半径 圆心角 弦心距 弦 O 中心 半径 边心距 中心角 类比学习 圆内接正多边形 例1．正十边形的中心角的度数为（　　） A．30° 　　　B． 36° 　　　C．45° 　　D．60° 解：正十边形中心角的度数为𝟑𝟔𝟎°÷𝟏𝟎=𝟑𝟔° 典例分析 B 探究点1 正多边形和圆的关系 例2　若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是_____. 【分析】如图，在直角三角形中根据正多边形的边心距与半径的比为1:2，得到半径与边的夹角为30° ，可以求出中心角的度数，再求出多边形的边数. 解:∵正多边形的边心距与半径的比为1:2， ∴半径与边的夹角为30° ， 中心角的一半是60° ， ∴中心角为120° ， 多边形的边数为：360÷120＝3. 3 新知探究 探究点2 正多边形的计算 议一议 （1）正n边形的一个内角的度数是多少?中心角呢?正多边形的中心角与外角的大小有什么关系? 正n边形的每一个内角的 度数是____________; 中心角是___________; 正多边形的中心角与外角的 大小关系是________. 中心角与内角互补. 相等 E D C B A O F 注意：多边形的外角和等于360° 新知探究 探究点2 正多边形的计算 议一议 （2）圆内接正多边形怎样构造直角三角形？ 如图，1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.  · A B C D E O ∟ 解决正多边形的问题常和圆的起来，利用多边形的半径、中心角、边心距的关系，构造直角三角形，转化为直角三角形问题，常要用到弧相等→弦相等、圆周角相等→多边形各边相等、各角相等→多边形是正多边形等关系。 归纳总结 例3 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2). 典例分析 解：过点O作OM⊥BC于M. 在Rt△OMB中, , 利用勾股定理,可得边心距 , 亭子地基的面积： . 根据题意作图，将实际问题转化为数学问题。 【分析】 C D O E F A 抽象成 ∟ B M 例4　如图，正六边形内接于 ，求的度数． 典例分析 解：∵正六边形𝐀𝐁𝐂𝐃𝐄𝐅内接于⊙𝐎 𝐀𝐃是直径 【分析】 由正六边形与圆的性质可得： , 再求解 从而可得答案. 新知巩固 教材P106练习 1.矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 正方形四边、四角都相等，是正多边形. 矩形各角相等，但各边不相等，它不是正多边形; 菱形各边相等，但各角不相等，也不是正多边形; 2.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形呢?如果是，说明为什么;如果不是，举出反例 各边相等的圆内接多边形的各个角也相等，它是正多边形; 各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如矩形. O 新知巩固 教材P106练习 3.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. 半径为R的圆内接正三角形的边长为，边心距为，面积为 ; 内接正方形的边长为，边心距为 ，面积为 . O · A B C D O D ∟ E ∟ A B C 拓展提升 1.用一批全长为120m 的篱笆围出一块草地，分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形和圆时的面积（精确到 0.1），并比较它们的大小． 解：由题意可得，正三角形的边长为 ， ∴正三角形底边上的高为 ； ∴ ； ∵正方形的边长为 ， ∴ ， ∵正六边形的边长为 ， ∴边心距为 ， ∴ ； ∵圆的半径 ，∴ ； ∵ ， ∴在周长都是 时， ． 真题感知 1.（2025·淮安校考）要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 解：如图所示，连接AC， ∵∠D＝90°， ∴AC为直径， 在 Rt△ACD中， AC＝ a， ∴半径至少为 a． 真题感知 2．（2025•聊城统考）如图，正方形内接于，E是 的中点，连接． (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若 ，则点E到的距离为 ． 解： （1）如图，连接， ∴ ∵正方形内接于， ∴ ， ∴ ； （2）证明： ∵四边形是正方形， ∴，∴ ． ∵E是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴； 真题感知 2．（2025•聊城统考）如图，正方形内接于，E是 的中点，连接． (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若 ，则点E到的距离为 ． （3）解：连接EO 并延长交BC 于点F， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 即点E到 的距离为 ， F 课堂小结 01 03 02 把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 圆内接正多边形构造直角三角形方法：连半径，得中心角；作边心距，构造直角三角形。 课后练习 习题24.3 教材P108 1.完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60° 2 4 1 6 120° 2 1 120° 60° 2 2 12 90° 90° 2 8 4 课后练习 习题24.3 教材P108 2.要用圆形铁片截出边长为 a 的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 解：如图，连接AC． ∵∠D = 90°， ∴ AC 为 ⊙O 的直径． 在Rt△ACD中，AC = = a， ∴ 选用的圆形铁片的半径至少为 a． 课后练习 习题24.3 教材P108 5.如图，要拧开一个边长 a = 12 mm 的六角形螺帽，扳手张开的开口 b 至少要多少？ 解：如图，连接 AC，AD． 易得 CD = a = 12 mm，AC = b， ∠ACD= 90°，∠ADC = 60°， ∴∠CAD = 30°． ∴ AD = 2CD = 24 (mm)． ∴ AC = = = 12 (mm)， 即扳手张开的开口 b 至少要 12 mm． 课后练习 习题24.2 教材P101 7.已知 AB = 6 cm，画半径为 4 cm 的圆，使它经过 A，B 两点．这样的圆能画出多少个？如果半径为 3 cm，2 cm 呢？ 解：半径为 4 cm 的圆可以画出两个； 半径为 3 cm 的圆只能画出一个； 不能作出同时经过 A，B 两点，且半径为 2 cm 的圆. 感谢聆听! $