专题03 分式重点复习:必备知识+重难题型+分层验收（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材青岛版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03分式（期中复习讲义） 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 分式的基本性质 能利用性质解决分式相关基础问 基础必考点，常出现在小题 题。 分式的运算 分式的混合运算及化简求值。 分式的运算是必考内容，难道不大，但对运 算能力有一定要求，化简求值常出现在解答 题中。 分式方程的应用题 行程工程销售问题等。 应用题是必考类型，其中难道较大的还有方 案问题。找出等量关系列方程解答是关键， 还要考察分式方程的解及检验。 记·必备知识 屋知识点01分式及其基本性质 A 1)分式的概念：如果把A÷B写成B的形式，其中A、B都是整式，且B中含有字母，那么代数式B就叫做 分式.其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。 2)分式有意义的条件：(1)分式有意义的条件是分母不等于零。 (2)分式无意义的条件是分母等于零。 (3)分式的值为正数的条件是分子、分母同号。 (4)分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 3)分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 4)分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 昼知识点2分式的乘法与除法 1)约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约 分. 1/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分 式 3)把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4)分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 5)分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6)分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 屋识点3分式的加法与减法 1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。 2)通分的定义：这种不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成同分母分式的变形叫做分式的通分。 3)最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分 母叫做最简公分母。 4)异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先把他们通分，变为同分母分式，再加减。 5)分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的. ®知识点04分式方程 1)分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2)分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的 解。 3)增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4)解分式方程的一般步骤： 解分式方程的一般步骤 转化 分式方程 整式方程 目标 求解 分式方程的解 整式方程的解 5)分式方程的应用 2/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)列分式方程解应用题的一般步骤： 设未知数 实际问题 分式方程 表达等量关系 解 解 决 程 实际问题的解 分式方程的解 (2)要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度=路程÷时间； 工作量问题：工作效率=工作量工作×时间等等。 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力. ®知识点05分式方与比 A 1)比的定义：两个整式A与B(B0)相除，叫作A与B的比，记作A:B或B,其中A叫作比的前项，B叫 作比的后项。 2)比例的定义：表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。如果a与b的比等于c与d的比，那么就说 a,b,c,d四个数成比例。可以写成ab=cd或-S。在比例中，a,b,c,d叫作组成比例的项，其中a b d 与d叫作比例的外项，b与c叫作比例的内项。当比例的两个内项相等，即当_b: =二时，b叫作a和c的 比例中项。 3)比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。如果-C, =兰，那么ad=bc. b d 4)两条线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比。 5)成比例线段：如果四条线段a,b,c,d的长成比例，我们就把这四条线段a,b,c,d称为成比例线段， 简称比例线段。 破·重难题型 题型一 分式的乘除 3/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答题|模1板 化简： a-1 ÷a2-1 a2-4a+4a2-4 a-1a+2)a-2 解：原式= (a-22a+1(a- a+2 (a-2)(a+1) 【典例1】计算： 暗( (2)4-a2 a-2a+2 4+4a+a 2a+4a-1 【变式1】先化简，再求值：-6x+9:-3,其中x-3. x2-1x+1 【变式2】当x取何值时，式子2-6，x+3),+x-6的值为正数？ x2-4x+4 3-x 它题型二 分式的混合运算 答|题模|板 化简： 2a-1-a÷a2-1 a2-a a-1)a 2a-1_a）a2-1 解：(a2-aa-a 2a-1a2.a2-1 a-aa-a)a 2a-1-a2,a2-1 a2-a -(a-12 a aa-l（a+1(a-) a+1 4/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4m+5 【典例1】先化简，再求值， m+2 +m-1 其中：m=-5. m+1 m+1 【变式1】先化简，再求值： m+2-5）m-3 m-2°m2-2m ,其中m满足方程m2+3m+1=0. 【变式2】先化简，再求值： (小1- 题型三 解分式方程 答|题模板 解分式方程：1-x-1=,2 x-2 2-x 1-x-1=2 解：x-2 2-x, 方程两边都乘x-2,得1-x-(x-2)=-2, 解得：×2， 5 检验：当×2时，x-2≠0， 5 所以×2是原方程的解， 5 即原方程的解是×2 易错|点|拨 解分式方程与一般方程最大的不同在于分式方程可能有增根，分式方程可能无解。因此需要检验，认真检 验能够提高正确率。 【典例1】解方程：+4 x-1r-1. 【变式1】解分式方程：年1 5/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】解分式方程：2+3：6 x+1x-1x2-1 题型四 增根和无解问题 答|题模|板 2 5 m 计算：当m为何值时，关于x的方程x+11-xx2-1会产生增根？ 25 m 解：x+1'1-xx2-1 方程的两边都乘以x+(x-,得2(x-)-5x+=m 化简，得m=-3x-7 当x2-1=0时，即x=±1时，方程有增根 当x=1时，m=-3-7=-10: 当x=-1时，m=3-7=-4 25m :当m=-10或m=-4时，关于×的方程x+11-xx2-1会产生增根. 【奥刻】关于的方程：”习24 1 (1)若方程的解为x=6,求a的值： (2)若此方程有增根，求a的值. 【变式】下面是小亮同学样方程，3一号的过程，请铜读并完成相应任务。 解：去分母得，1=3+(x-,第一步， 去括号得，1=3+x-1,第二步， 解得，x=-1.第三步， 检验：当x=-1时，2-x≠0，第四步， ·x=-1是原方程的根，第五步. 6/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 任务： (1)小亮同学的求解过程从第_步开始出现错误，错误的原因是-； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是_ 2-1= 【变式2】已知关于x的分式方程：3x m 6x-2 (1)当m=3时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值. 题型五 分式方程应用题 答|题模|板 某校为了让更多师生了解一带一路”的相关知识，开展了“幸福友谊路，点亮科技梦”的创客活动.某创客小 组用电脑编程控制小型小车进行50m比赛的活动，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到 达终点时，“创新号”离终点还差2m.已知“梦想号"的平均速度比“创新号"的平均速度快0.1ms, 求“创新 号”的平均速度 解：设“创新号”的平均速度为xms,则“梦想号的平均速度为x+0.ms 5050-2 由题意得，x+0.1x, 解得：x=2.4, 经检验：x=2.4是原方程的解，且符合实际意义， 答：“创新号"的平均速度为2.4ms. 【典例1】某村计划修复一条连接活动场地的公路，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙工程队平均每 天修复公路的长度比甲工程队多2千米，且甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修 复30千米公路所需要的时间相等.甲、乙两个工程队分别平均每天修复公路多少千米？ 【变式1】列方程解下列问题： 7/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 学校义卖活动，是展现创意的好机会，更是学习生活的精彩瞬间.学生小鲁制作的笔记本和文件夹凭借出 色的设计，一推出就圈粉无数.已知每个笔记本的成本比每个文件夹的成本多2元，2个笔记本和3个文件 夹的成本相同、 (1)请问每个笔记本和每个文件夹的成本各是多少元？ (2)当这两款学习用品的销售额都为400元时，笔记本比文件夹少售出10个，若每个笔记本的售价比每个文 件夹的售价高25%，则每个文件夹的售价是多少元？ 【变式2】某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车 装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等. (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载 的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 过·分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1.分式+3 的值是零，则x的值为() x-3 A.3 B.-3 C.3或-3 D.0 2.已知x2+5x+1=0,则x+二的值为() A.5 B.1 C.-5 D.-1 3.(山东省菏泽市曹县2024-2025学年八年级上学期期中)下列各式变形中，正确的是（) A.白 B.b=b+c c.、a2 =-aD. 3x x a a2 aa+c -a2+ab a-b 3x+y x+y 二、填空题 山东省淄博市高新区20242025学年八年级上学期期中考若+22，则分式0二3,2的值 x y 8/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为一 5.(仙东省淄博市桓台县2024-2025学年八年级上学期期中)当-=3时，代数式2-1，÷Q-3 、a+2a2-4的值 为 6巴即名子则的省为 a+b 7.先化简，再求值：求： (0,-1:+2a+1,在1，-1,2三个数中选一个适合的数，说明理由并代入 a-1a2-1 求值. 8.解方程： 1)-1=12 6x-221-3x 1g-+网 3 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1.(山东省淄博市桓台县2024-2025学年八年级上学期期中)下列是最简分式的是() A.+x B.4x-1 C.1-x 3x D. 4x2 1-x 6x+9y 2.(仙东省淄博市沂源县2024-2025学年八年级上学期期中)若x-y=2x,则上-上的值是（） A.-2 B.2 c.-1 2 D. 3.若5x-7-AB -4x-5x+1x-5'则A、B的值为() A.A=3,B=-2 B.A=2,B=3 C.A=3,B=2 D.A=-2,B=3 4.甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲 为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个？设乙每 小时加工x个零件.可列方程为() A.120_120=30 B.120_120=30 1.2xx x1.2x 9/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.120_12030 D.120_12030 1.2xx60 x1.2x60 二、填空题 5.若分式-的值为零，则x的值为 x-1 6.己知9=b、c 知654，且a+6-2c=9,则c的值为一 三、解答题 7.解方程： -+x=1 2-9+r*3 2)--,1-2. x-22-x 8.先化简，再求值： x2-4 x2-4x+4 ,并从-2,2,4中选一个合适的数作为x的值代入求值. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1.2025年山东省淄博市中考数学若分式1-3有意义，则x的取值范围是（) x+1x-2 A.x≠-1且x≠2 B.x≠-1且x≠3 C.x≠2且x≠3 D.x≠-1且x≠2且x≠3 2.(2025年山东省潍坊市中考真题数学判计算1 +x的结果是() x-11-x A.1 B.-1 C.0 D.+1 x- 32023年山东省福考市中考已知：=1是方程223的解，那么实数m的值为() A.-2 B.2 C.-4 D.4 4.(2022年山东省济宁市中考数学)一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多 行10km,则提前1小时到达目的地.设这辆汽车原计划的速度是xkm/h,根据题意所列方程是() A.420-420+1 B.420+1=420 xx-10 x+10 10/11 专题03 分式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的基本性质 能利用性质解决分式相关基础问题。 基础必考点，常出现在小题. 分式的运算 分式的混合运算及化简求值。 分式的运算是必考内容，难道不大，但对运算能力有一定要求，化简求值常出现在解答题中。 分式方程的应用题 行程工程销售问题等。 应用题是必考类型，其中难道较大的还有方案问题。找出等量关系列方程解答是关键，还要考察分式方程的解及检验。 知识点01 分式及其基本性质 1）分式的概念：如果把A÷B写成的形式，其中A、B都是整式，且B中含有字母，那么代数式就叫做分式．其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。 2）分式有意义的条件：（1）分式有意义的条件是分母不等于零。 （2）分式无意义的条件是分母等于零。 （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号。 （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 3）分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 4）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 知识点02 分式的乘法与除法 1）约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． 2）最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 3）把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4）分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 5）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6）分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 知识点03 分式的加法与减法 1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。 2）通分的定义：这种不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成同分母分式的变形叫做分式的通分。 3）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 4）异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先把他们通分，变为同分母分式，再加减。 5）分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 知识点04分式方程 1）分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3）增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4）解分式方程的一般步骤： 5）分式方程的应用 (1)列分式方程解应用题的一般步骤： (2)要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝工作量工作×时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 知识点05 分式方与比 1）比的定义：两个整式A与B(B≠0)相除，叫作A与B的比，记作A:B或 ，其中A叫作比的前项，B叫作比的后项。 2)比例的定义：表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。如果a与b的比等于c与d的比，那么就说a，b，c，d四个数成比例。可以写成a:b=c:d或=。在比例中，a，b，c，d叫作组成比例的项，其中a与d叫作比例的外项， b与c叫作比例的内项。当比例的两个内项相等，即当时，b叫作a和c的比例中项。 3）比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。如果=，那么ad = bc. 4)两条线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比。 5)成比例线段：如果四条线段a，b，c，d的长成比例，我们就把这四条线段a，b，c，d称为成比例线段，简称比例线段。 题型一 分式的乘除 答｜题｜模｜板 化简： 解：原式 ． 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，通过因式分解确定最简公分母是解题关键． 先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】当取何值时，式子的值为正数？ 【答案】且 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，分式的值，先根据乘除混合运算法则，进行化简，再根据分式的值为正数，则分子分母同号，且要保证分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：原式． 因为式子的值为正数，所以，即． 又因为式子中，需满足， 所以当，且时，式子的值为正数． 题型二 分式的混合运算 答｜题｜模｜板 化简：． 解： 【典例1】先化简，再求值，，其中：． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法． 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后把m的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， 原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中m满足方程． 【答案】； 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 根据分式的运算法则先化简分式，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， ∵ ， 将代入得，． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂、负整数指数幂等知识点，先根据分式的运算法则化简，得到化简结果，再根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则求出x的值，代入化简后的式子计算即可获得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 题型三 解分式方程 答｜题｜模｜板 解分式方程：． 解：， 方程两边都乘，得， 解得：x， 检验：当x时，， 所以x是原方程的解， 即原方程的解是x． 易｜错｜点｜拨 解分式方程与一般方程最大的不同在于分式方程可能有增根，分式方程可能无解。因此需要检验，认真检验能够提高正确率。 【典例1】解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先将分式方程去分母，转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 【变式1】解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解： 方程两边同乘以得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：时，，故是原分式方程的根， ∴原分式方程的解为． 【变式2】解分式方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题考查了分式方程的求解． 先找到最简公分母，方程的左右两边同时乘以最简公分母，将其转化为整式方程，再解一元一次方程即可，最后检验． 【详解】解：， ∴， 解得：， 经检验，是增根，则原方程无解． 题型四 增根和无解问题 答｜题｜模｜板 计算：当m为何值时，关于x的方程会产生增根？ 解： 方程的两边都乘以，得 化简，得． ∵当时，即时，方程有增根 ∴当时，； 当时，． ∴当或时，关于x的方程会产生增根． 【典例1】关于的方程． (1)若方程的解为，求的值； (2)若此方程有增根，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或． 【详解】（1）解：原方程整理，得， 把代入整式方程得， 解得． （2）解：由分式方程有增根，得到， 解得或， 把代入整式方程得； 把代入整式方程得． 综上，的值为或． 【变式1】下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 【答案】(1)一，去分母时3没有乘最简公分母； (2)正确过程见解析； (3)去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时3没有乘最简公分母； 故答案为：一，去分母时3没有乘最简公分母； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是增根，分式方程无解； （3）解：解分式方程产生增根的原因是去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 故答案为：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【变式2】已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）解：当时，分式方程为，即 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解； （2）解： 方程两边乘，得，解得． ，解得． ∴分式方程的增根为 ， 分式方程无解， ∴，解得， ∴若该分式方程无解，m的值为4． 题型五 分式方程应用题 答｜题｜模｜板 某校为了让更多师生了解“一带一路”的相关知识，开展了“幸福友谊路，点亮科技梦”的创客活动．某创客小组用电脑编程控制小型小车进行比赛的活动，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差． 已知“梦想号”的平均速度比“创新号”的平均速度快． 求“创新号”的平均速度． 解：设“创新号”的平均速度为，则“梦想号”的平均速度为， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合实际意义， 答：“创新号”的平均速度为． 【典例1】某村计划修复一条连接活动场地的公路，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙工程队平均每天修复公路的长度比甲工程队多2千米，且甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等．甲、乙两个工程队分别平均每天修复公路多少千米？ 【答案】甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米 【详解】解：设甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 则乙工程队平均每天修复公路千米， 答：甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米． 【变式1】 列方程解下列问题： 学校义卖活动，是展现创意的好机会，更是学习生活的精彩瞬间．学生小鲁制作的笔记本和文件夹凭借出色的设计，一推出就圈粉无数．已知每个笔记本的成本比每个文件夹的成本多2元，2个笔记本和3个文件夹的成本相同、 (1)请问每个笔记本和每个文件夹的成本各是多少元？ (2)当这两款学习用品的销售额都为400元时，笔记本比文件夹少售出10个．若每个笔记本的售价比每个文件夹的售价高25％，则每个文件夹的售价是多少元？ 【答案】(1)每个笔记本的成本是6元，每个文件夹的成本是4元； (2)8元 【详解】（1）解：设每个笔记本的成本是x元，每个文件夹的成本是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个笔记本的成本是6元，每个文件夹的成本是4元； （2）解：设每个文件夹的售价是m元，则每个笔记本的售价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个文件夹的售价是8元． 【变式2】某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等． (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 【答案】(1)甲种货车每辆车可装45袋物品，乙种货车每辆车可装35袋物品 (2)需要甲种货车8辆，乙种货车7辆 【详解】（1）解：设乙种货车每辆车可装袋物品，则甲种货车每辆车可装袋物品， 由题意，得， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种货车每辆车可装45袋物品，乙种货车每辆车可装35袋物品； （2）解：设需要甲种货车辆，则需要乙种货车辆， ， 解得：， ， 答：需要甲种货车8辆，乙种货车7辆． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．分式的值是零，则的值为（  ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】∵分式的值是零， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 3．（山东省菏泽市曹县2024-2025学年八年级上学期期中）下列各式变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、等式两边应同时平方，故本选项变形错误，故不符合题意； B、 的分子、分母应该同时乘以，分式的值才不改变．故不符合题意； C、 变形正确，故本选项符合题意； D、分式的分子、分母同时除以同一个数3，分式的值不变，即是错误的．故本选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．(山东省淄博市高新区2024-2025学年八年级上学期期中考)若，则分式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 5．(山东省淄博市桓台县2024-2025学年八年级上学期期中)当时，代数式的值为 ． 【答案】22 【详解】解：∵， 解得：或， ， ∵，， ∴， 原式； 故答案为： 6．已知 ，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】， ， ， 故答案为：． 7．先化简，再求值：求：，在1，，2三个数中选一个适合的数，说明理由并代入求值． 【答案】；当时，原式 【详解】解：原式• • ； 当a取1，时，原式无意义， 当时，原式． 8．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．(山东省淄博市桓台县2024-2025学年八年级上学期期中)下列是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，该选项不符合题意． B、是最简分式，该选项符合题意． C、，该选项不符合题意． D、，该选项不符合题意． 故选：B． 2．(山东省淄博市沂源县2024-2025学年八年级上学期期中)若，则的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式， 故选：A． 3．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 4．甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件， 由题意得， 故选：D． 二、填空题 5．若分式的值为零，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， 解得：，， 即， 故答案为：． 6．已知，且，则的值为 ． 【答案】12 【详解】解：∵， ∴设a=6x，b=5x，c=4x. ∵a+b-2c=9， ∴6x+5x−8x=9， 解得x=3， ∴c=12. 故答案为：12. 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：∵, 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原方程的根， 故是原方程的根． （2）∵， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 经检验，使得分母无意义，是原方程的增根， 故原方程无解． 8．先化简，再求值：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【详解】 ； ∵, ∴当时，原式． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．(2025年山东省淄博市中考数学)若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 2．(2025年山东省潍坊市中考真题数学)计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：； 故选B． 3．(2023年山东省淄博市中考)已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 4．(2022年山东省济宁市中考数学)一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这辆汽车原计划的速度是x km/h，则实际速度为km/h， 根据题意所列方程是 故选C 二、填空题 5．计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 6．当时，分式（为常数）没有意义，那么当的值为3时的值是 ． 【答案】4 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴分式分母为0，即, 解得,此时分式为. 当时，两边同乘（）得, 展开右边得, 移项得, 合并同类项得, 解得. 检验：当时，,符合题意， 故答案为：. 三、解答题 7．(2023年山东省枣庄市中考数)先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∵， ∴的整数解有：， ∵， ∴，原式． 8．(2025年山东省东营市中考数学)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； (2)4种 【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， 故共有4种方案． 9．(2025年山东省淄博市中考数学)某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $