5.4 《圆周角和圆心角的关系—圆周角定理》教学课件- 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“圆周角和圆心角的关系——圆周角定理”，通过复习圆心角知识，结合钧窑“入窑一色，出窑万彩”案例及等分圆周问题导入，以概念辨别、小组活动（画图、度量、证明）和动态演示为支架，构建圆周角概念、定理及推论的学习脉络。 其亮点在于融合思政教育与数学探究，以钧窑文化中“变化与规律”培养数学眼光，通过三种位置情况分类证明定理发展推理意识，结合匠人精神感悟数学应用。动态演示和思维导图助力理解，学生能提升抽象能力与应用意识，教师可借鉴思政融合与分层探究的教学思路。

《圆周角和圆心角的关系 —圆周角定理》 复习回顾 问题1: 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ o B C A 问题2: 圆心角与它所对弧的关系 首课思政------365浸润式首课 案例呈现：入窑一色，出窑万彩 它的美，是‘意外之美’。工匠们入窑时，只施了一种青釉，但窑火中的铜元素在高温下发生了奇妙的化学变化，形成了这种绚烂如晚霞的紫红色。这就是钧窑最著名的‘窑变’，正所谓‘入窑一色，出窑万彩’。 这种简约、对称、饱满的造型，是中国古典美学‘天圆地方’的体现，也让它历经千年，依然符合我们现代的审美。” 反思感悟：变化中的规律 首课思政------365浸润式首课 “那么，请大家思考一下： 1. 钧窑的釉色千变万化，没有两件完全相同。但什么是它不变的？ 2. 为什么这个圆盘看起来如此和谐、稳定？ 就像一首乐曲，旋律可以自由奔放（如窑变），但它的节拍和节奏是稳定的（如圆形）。 极致的变化，需要极致的规律来衬托。” —是它圆润的造型、对称的结构。 除了色彩，也来自于它完美的圆形所带来的均衡感和秩序感. 在圆形碗沿上要设计各种纹饰，如何均匀地施釉或粘贴纹饰呢？ 激趣导入 等分圆周（如四等分，六等分等），如何等分？ 明标导行 1、理解圆周角的概念，能辨别圆周角。 2、探索圆周角定理及其推论，理解圆周角定理的证明过程。（难点） 3、会运用圆周角定理和推论解决实际问题，感受数学与文化的美妙结合。（重点） 大家观察这两个角，它们有什么共同特征？ 启智探究一 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. A B C O 圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 圆周角概念 1.如图,∠APB是圆周角的是( ) C A B P C A P B D A B 【概念辨别】 A B 那么，如果我们把A、B两点和圆心O相连（画出圆心角AOB），这个圆心角和圆周角之间，会不会像钧窑的窑变一样，看似变幻莫测，实则存在着一个永恒不变的、美丽的规律呢？ A B C O 碰智提疑 小组活动一： 1、在同一个圆中，画 所对圆周角与圆心角 ,你能画出几种情况？ 圆心在圆周角的一边上 圆心在圆周角的内部 圆心在圆周角的外部 B A O C C A B O A B O C 启智探究二 画圆周角和圆心角的三种位置情况 启智探究二 小组活动二： 度量和猜测圆周角和圆心角的关系并证明 2、度量你所画的三种情况下圆周角和圆心角的度数， 猜想圆周角和圆心角之间的大小关系。 猜想：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的度数的一半. 3、证明你猜想的圆周角和圆心角的关系 动态演示 启智探究二 证明:∵ OA=OC ∴ ∠A=∠C B A O C ∵∠1=∠A+∠C ∠1=2∠C （1）圆心O在∠ACB的一边上. 求证：∠C= ∠BOA 1 D C A B O 1 3 2 4 证明：作直径CD （2）圆心在∠ACB的内部 求证：∠ACB= ∠AOB （3）圆心在∠ACB的外部. 求证：∠ACB= ∠AOB D 1 2 4 A B O C 3 证明：作直径CD ∴ ∠C= ∠1 即∠C= ∠BOA 证明圆周角和圆心角的关系定理 启智探究二 综上所述,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系是: 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 即 ∠ACB = ∠AOB. B A O C C A B O A B O C 老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视. 圆周角定理 定理的应用 1. 如图,AB是⊙O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC=66°,则∠A=( ) A.66° B.33° C.24° D.30° B 2. 如图，在⊙O 中，∠A =40°，求∠OBC 的度数. 圆中同一段弧对着许多个圆周角，那这些圆周角的大小又有什么关系？ 推论2：同弧或等弧所对的圆周角相等。 碰智提疑 推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 前面我们学过圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 那想一想圆周角的度数与它所对弧的度数有什么关系呢？ 动态演示验证定理 推论的应用 1、 2、 如图，在⊙o中， ，点D在⊙o上，∠CDB=25°，则∠AOB的度数为（ ） A、45° B、50° C、55° D、60° A、50° B、60° C、80° D、100° (2018济宁)如图，点B，C，D在⊙o上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（ ） (2024徐州二模)如图，已知：在⊙o中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ） 3、 A、70° B、45° C、35° D、30° 问题解决 等分圆周（如四等分，六等分等），如何等分？ （匠人精神与极致追求） 文化感悟 “钧窑的烧成率极低，十窑九不成。工匠们面对无数次失败，却依然坚持对‘美’和‘规律’的极致追求。 他们追求的规律是什么？是对泥土特性的掌控，是对窑火温度的把握，更是对每一种器型、每一条弧线都必须符合完美几何规律的苛刻要求。 这种在不确定性中寻找确定性，在变化中恪守规律的精神，正是中华民族传承千年的匠人精神。 今天，希望同学们不仅欣赏它的美，更要学习这种精神。” 反思内化，总结提升 今天你学到了什么？ 达标检测 1、求图中角x 的度数 · A O B 70° x x =_____ C · O A B C D 120° x x =_____ 2. 在⊙O中，AB等于AC，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（   ） （ （ 1、如图，点A，B，C为 ☉O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 度。 课后拓展 2、 〖泰安中考〗 达标检测答案：1、35° 120° 2、20° 课后拓展答案： 1、20° 2、15° $