精品解析：四川省成都市玉林中学2025-2026学年高二上学期10月诊断性评价数学试题

成都玉林中学高2024级高二上期10月诊断性评价试题 数学 命题人、审题人：高2024级数学备课组 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标即可． 【详解】由，得, ∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限． 故选:B． 2. 2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数（满分30分）分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 极差为8 B. 平均数为26 C. 众数为26 D. 分位数为27 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合极差、平均数、众数以及百分位数的定义逐项分析判断即可. 【详解】因为数据为22，24，26，26，28，30， 可知极差为，众数为26，故A，C正确； 平均数为，故B正确； 又因为，所以分位数为第5位数，即为28，故D错误； 故选：D. 3. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值． 【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为， 点关于平面的对称点为点， 所以． 故选：B． 4. 某学校有教师300人，男学生1200人，女学生900人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知抽取的男生比女生多6人，则n的值为（ ） A. 56 B. 52 C. 48 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义即可得到答案. 【详解】根据分层抽样方法中所抽取的比例相等， 所以，解得. 故选：C. 5. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出，可得出关于的方程，解之即可. 【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为， 若，则，所以，解得. 故选：A. 6. “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一､二个“完全数"6和28，进一步研究发现后续三个完全数分别为496，8128，3550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，即可求出6和28不在同一组的概率. 【详解】根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个， 则基本事件总数为， 则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数， ∴6和28不在同一组的概率. 故选：A. 7. 如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，是棱上的一个动点，为侧面上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 点到平面的距离为定值 B. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 C. 若，且，则点到直线的距离为 D. 若，则的最小值为2 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，利用线面垂直的判定定理判断D，从而得解. 【详解】对于A，在正方体中，，分别为棱，的中点， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又点是棱上的一个动点，所以点到平面的距离为定值，故A正确； 对于B，以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 设（），则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角为（）， 则， 因为，所以，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故B正确； 对于C，连接，，，， 因为，且，所以，，，四点共面， 因为在正方体中，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，则，则， 因为为棱的中点，所以为棱的中点，即， 则，，，， 故点到直线距离，故C正确； 对于D，连接，因为平面， 所以是在平面上的射影， 要使，则， 所以点的轨迹是平面上以为圆心，1为半径的半圆， 所以的最小值为，故D错误. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 向量与是共线向量 B. C. 与方向相同的单位向量为 D. 平面ABC的一个法向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间向量共线的条件可判断A；由可判断B；由单位向量定义可判断C；由平面法向量求法计算可判断D. 【详解】对于A，，不存在实数，使， 所以与不共线，故A错误； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，与向量方向相同的单位向量是，故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，故D正确. 故选：BCD 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 11. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ） A. 剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变 B. C. 剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设20个样本数据从小到大排列分别为，再根据中位数、平均数、第22百分位数与方差的定义与公式推导即可. 【详解】设20个样本数据从小到大排列分别为，则剩下的18个样本数据为， 对于A：原样本数据的中位数为，剩下的18个样本数据的中位数为，A正确； 对于B，依题意，，，， 由，得，即， 于是，因此，即，B正确； 对于C，因为，则剩下18个数据的分位数为， 又，则原样本数据的分位数为，C错误； 对于D，因为，则，，， 于是，， 因此，即，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和虚部的定义进行解答即可. 【详解】复数， 所以该复数的虚部为2. 故答案为：2. 13. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得到必有第2个问题回答错误，第3、4个回答正确，第1个问题可对可错，计算概率得到答案； 【详解】根据题意，记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为A， 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第2个问题回答错误， 第3、4个回答正确，第1个问题可对可错，由此分两类，第1个答错与第1个答对； 由相互独立事件的概率公式得：. 故答案为： 14. 设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，，由此可以求出，再根据，即可求得答案. 【详解】因为两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，又，， ， ，， ，解得或， ，， 或， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）求的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以 【小问2详解】 ， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得． 所以的值是5． 16. 在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. （1）求比赛只需打三局的概率； （2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获胜”的和事件，可按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可； （2）“甲最终获胜”是互斥事件“第三局甲胜”、“第三局甲输第四局甲胜”与“第三局第四局甲均输第五局甲胜”的和事件，按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可； 【小问1详解】 设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”， 则， ， 比赛只需打三局的概率为： . 【小问2详解】 甲需要打三局的概率为：， 甲需要打四局的概率为：， 甲需要打五局的概率为：， 则甲最终获胜的概率为：. 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共5个.若从中抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到红球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）将这5个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5.现从盒中一次性任取两球，设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于7则甲胜，否则乙胜.试从获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平. 【答案】（1）2,1,2； （2）不公平 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的计算公式求盒中红球、黄球、蓝球的个数. （2）根据题意，列出样本空间即可；结合古典概型，分别求出甲乙获胜的概率，即可作出判断. 【小问1详解】 设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意：. 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,2. 【小问2详解】 红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5. 因为从盒中一次性任取两球，有共10个样本点， 根据规则，甲获胜的样本点有：，共6个样本点， 所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 18. 某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准x（千瓦时）；月用电量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用电情况进行了一次调研，并将参与调查的居民的用电情况绘制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并且计算居民用电的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）若该地区市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准x（千瓦时），估计x的值；（结果保留整数） （3）设居民用电的平均数为x，若按居民用电量是否在区间内进行比例分配的分层随机抽样，抽取100位居民进行深度调研，用电量在区间内的抽取50人，试求m的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1计算出，根据平均数的定义计算出. （2）根据百分位数的定义和计算公式进行求解即可. （3）先求出用电量在的频率，然后结合区间范围求出m. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知，， 解得. 那么居民用电的平均数为： 千瓦时. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，用电量在的累计频率为 ， 用电量在的累计频率为 ， 因为，所以在内，则有 ，解得千瓦时. 【小问3详解】 因为，抽取100位居民，其中用电量在内的抽取50人， 所以用电量在的频率为. 在中，频率为0.5，令，此时， 那么对应的为，此时频率小于0.5， 令，此时， 那么对应的为，此时频率大于0.5， 所以令，此时对应的为， 此时频率为， 所以的值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以,平面,平面， 所以平面； （2） （3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角； （3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都玉林中学高2024级高二上期10月诊断性评价试题 数学 命题人、审题人：高2024级数学备课组 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数（满分30分）分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 极差为8 B. 平均数为26 C. 众数为26 D. 分位数为27 3. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 4. 某学校有教师300人，男学生1200人，女学生900人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知抽取的男生比女生多6人，则n的值为（ ） A. 56 B. 52 C. 48 D. 44 5. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 6. “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一､二个“完全数"6和28，进一步研究发现后续三个完全数分别为496，8128，3550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，是棱上的一个动点，为侧面上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 点到平面的距离为定值 B. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 C. 若，且，则点到直线的距离为 D. 若，则的最小值为2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 向量与是共线向量 B. C. 与方向相同的单位向量为 D. 平面ABC的一个法向量为 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 11. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ） A. 剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变 B. C. 剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为________. 13. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 14. 设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）求的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 16. 在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. （1）求比赛只需打三局的概率； （2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率. 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共5个.若从中抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到红球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）将这5个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5.现从盒中一次性任取两球，设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于7则甲胜，否则乙胜.试从获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平. 18. 某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准x（千瓦时）；月用电量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用电情况进行了一次调研，并将参与调查的居民的用电情况绘制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并且计算居民用电的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）若该地区市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准x（千瓦时），估计x的值；（结果保留整数） （3）设居民用电的平均数为x，若按居民用电量是否在区间内进行比例分配的分层随机抽样，抽取100位居民进行深度调研，用电量在区间内的抽取50人，试求m的值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $