5.4二次函数与一元二次方程导学案（1） 2025—2026学年 苏科版（2012）九年级数学下册

该初中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心知识点包括二次函数图像与x轴交点横坐标和方程根的联系，以及用判别式判断交点个数。课堂导入从一次函数与一元一次方程的“数”“形”关系切入，搭建学习支架，引导学生迁移探究二次函数问题。 这份导学案通过情境创设、分层练习和检测反馈，帮助学生建立“数”与“形”的联系，培养几何直观和推理意识。习题涵盖基础巩固与能力提升，促进模型意识和应用能力发展，适合学生自主探究，也便于教师评估教学效果。

学案46 —— 二次函数与一元二次方程（1） 【学习目标】1、理解y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标与ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根之间关系； 2、 能通过一元二次方程根的判别式判断二次函数的图像与x轴的交点个数； 3、 能根据二次函数与x轴的交点情况解决问题. 【教学重点 难点】能根据二次函数图像与x轴的交点情况解决问题. 学生活动/教学内容 1、 创设情境，了解目标 情境：画一次函数y＝x＋1的图像，函数y＝x＋1的图像与x轴有几个交点？ 交流：一元一次方程x＋1＝0与一次函数y＝x＋1有什么联系？ 从“数”的方面看： 从“形”的方面看： 归纳：一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)有怎样的关系呢？ 从“数”的方面看： 从“形”的方面看： 思考：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3的图像． （1）二次函数图像与x轴的交点坐标是什么？ （2）当x取何值时y＝0？这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有何关系？ （3）你能从中得到什么启示？ 二、构建模型，展示成果 【探究一】二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的关系 思考1： 二次函数y＝ax2＋bx＋c何时能成为一元二次方程? 思考2 二次函数的图像与x轴有交点吗？如果有，交点的纵坐标是多少？横坐标呢？ 归纳：① ② 练习：1、方程x2+4x—5=0的根是____________，则y=x2+4x-5的图像与x轴的交点有____个，其坐标是_______________． 2、方程—x2+10x—25=0的根是_________，则y=—x2+10x—25的图像与x轴的交点有___个，其坐标是_________． 3函数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是___________，则 3x2+x－10=0的两个根是__________ 能力提升：1、若ax2+bx+c＝0的根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是_________ 2、（）与轴的一个交点横坐标为，则另一个交点横坐标为_________ 思考3、观察右侧三个二次函数、、的图像，分别说出一元二次方程、、的根的情况. 归纳：③y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的关系 例1、 不画图像，判断函数y＝-x2+5x-8的图像与x轴是否有公共点？ 练习：1、抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴的交点个数是 ． 2、抛物线y＝x2+4x+4与坐标轴的交点个数为是 ． 3、若函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ． 4、若函数y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m﹣2，n），则n＝ ． 5、函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数）的图像与x轴只有一个公共点，则m的值为　 　． 能力提升：1、已知函数y＝ax2+bx+c如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+3＝0的根的情况是　 　． 2、 若y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是　 　． 交流：在思考3中，说一说y＜0时的自变量x的取值范围吗？ 归纳：④：函数与不等式及(a≠0)之间的关系如下： 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 例2、请在图中的表格里画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，并结合图象回答下列内容： (1)与x轴的交点坐标是______，顶点坐标是______． (2)结合图象回答：当时，x的取值为__________． (3)结合图象回答：当时，函数值y的取值范围是__________． 练习1、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是__________． 3、 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点（3，0）， 顶点坐标为（1，3），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　． 能力提升：1、如图，已知点在抛物线上，当时，x的取值范围是 ． 2、 二次函数（a，b，c为常数，a≠0）图象如图所示，则关于的 不等式的解集为 ． 三、检测反馈，落实目标 1、二次函数y＝x2—4x—5的图象与x轴的交点坐标是 ． 2、已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ． 3、将向下平移个单位后得到的抛物线恰好与轴仅有一个交点，则= 4、关于x的方程3x2+ax+10＝0的两个实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值可以是（　　） A．﹣11 B．﹣12.5 C．﹣13 D．﹣14.5 5、如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是 ． 6、二次函数的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： （1）直接写出该二次函数的解析式为 ___________； （2）不等式 的解集是 ___________； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 ___________； （4）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根，则k的取值范围是 ___________． 7、已知二次函数（是常数）的图象是抛物线． (1)若抛物线与轴只有一个公共点．求的值： (2)求证：抛物线顶点在函数y＝—x2+x+2的图象上． 8、已知抛物线y＝x2—2mx+m2—9．证明：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点. 思考：二次函数y＝x2+bx+3的图象过点A（2，3），若关于x的一元二次方程x2+bx＝t﹣4（t为实数） 在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $