精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

高2023级高三上期第二学月考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则复数z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（ ） A. 2.03 B. 2.21 C. 2.12 D. 3.55 3 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（   ） A. B. C. D. 7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：）（ ） A. 10分钟 B. 9分钟 C. 8分钟 D. 7分钟 8. 已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数为负数 10. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 函数偶函数 B. 函数是奇函数 C. 函数在上为增函数 D. 函数的值域为 11. 已知函数，则（） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合，则集合__________． 13. 已知函数的图象过定点，则的值为________． 14. 在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，其中，，且图象相邻两条对称轴之间的距离为. （1）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. （2）若，，求的值. 16. 一网络公司为某贫困山区培养了名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这名“乡土直播员”中每天直播时间不少于小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面列联表： 网红乡土直播员 乡土直播达人 合计 男 10 40 50 女 20 30 50 合计 30 70 100 （1）根据列联表判断是否有的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？ （2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取人，在这人中选人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的名“乡土直播推广大使”中男性人数为，求的分布列和期望． 附：，其中． 17. 已知数列满足：，，（）． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式． 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （1）求B； （2）若D是边AC的中点，，，求△ABC的面积； （3）若△ABC为锐角三角形，且，求的取值范围. 19. 已知函数，与在函数的图象上，回答下列问题： （1）当时，证明； （2）上有三点（均不为且互不相等），满足成等差数列且． ①若不存在三点，使成等差数列，求的取值范围； ②若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高三上期第二学月考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则复数z在复平面内对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义确定对应点所在的象限. 【详解】因为， 所以该复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A 2. 巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（ ） A. 2.03 B. 2.21 C. 2.12 D. 3.55 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求解即可． 【详解】将数据从小到大排列，0.08，1.62，1.88，2.03，2.21，2.24，2.25，2.35，2.59，2.74，2.74，2.88，3.55，3.64，4.22，4.39，5.53， ，取第五位数据2.21， 故选：B． 3. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以. 故选：B. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式即可. 【详解】由得，即且， 解之得或. 故选：D 5. 角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式可得，利用三角函数的定义求出即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以， 故选：C 6. 甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出4人全排列的种类数，再除去甲在排首的种类数，即可计算出所求概率. 【详解】将4人全排列共有种排列， 若甲在排首，将其余3人全排列共有种，则甲不在排首的排列共有种， 因此甲不在排首的概率为. 故选：D 7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：）（ ） A. 10分钟 B. 9分钟 C. 8分钟 D. 7分钟 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的函数模型，代入数据可计算得出的值，利用参考数据即可计算得出结果. 【详解】将所给数据代入得，， 即，所以 当水温从75°C降至45°C时，满足， 可得，即分钟. 故选：A. 8. 已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定定义域，根据存在极大值，确定其导函数存在零点且零点处由正变负，对其二次求导通过的正负确定的单调性从而确定的取值范围进而可解不等式. 【详解】因为存在，所以要求，故函数的定义域为， 因为函数存在极大值，所以其导数需存在零点，且零点处由正变负， 求导得：， 令，即.二阶导数， 当时，在定义域上恒成立，所以在上单调递增， 此时函数可能存在极小值或无极值，不存在极大值，不符合题意； 当时，时，即，时，即； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增；故的极小值为， 若函数存在极大值，则，故，所以， 又因为，所以，故化简为，所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数为负数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据回归直线的斜率可判断A选项；将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可判断B选项；利用残差的概念可判断C选项；利用样本的相关系数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以，与正相关，A对； 对于B选项，由表格中的数据可得，， 所以，样本中心点为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程得，解得，B对； 对于C选项，当时，， 所以，当时，残差为，C对； 对于D选项，因为与正相关，所以，样本的相关系数为正数，D错. 故选：ABC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是奇函数 C. 函数在上为增函数 D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义及判定方法，可判定A正确，B错误；利用复合函数的单调性可判定C不正确，D正确. 【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称， 又由， 所以函数是偶函数，所以A正确，B错误； 由函数， 当时，，且单调递增， 所以在区间单调递减； 当时，，且单调递增，所以在区间单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为，所以C不正确，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则（） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，用和差化积公式及二倍角公式化简可以判断；对于B，利用导数研究的单调性，进而可求的最值；对于C，利用B的单调性比较自变量的大小即可比较函数值的大小；对于D，运用分析法，多次使用和差化积、积化和差公式即可推导. 【详解】对于A，， 由和差化积公式:得： , 其中，故所以即A正确； 对于B，对求导,， 在上，令得令得 所以在和单调递减,在单调递增, 故在区间上的最大值为,且,故B错误； 对于C，当时单调递增,故在上单调递增, 而当时,，且,故正确； 对于D， ， 由和差化积公式:得 因为，所以，所以， 所以 而, , 由积化和差得 ,其中, 上述不等式显然成立，故D正确, 故选：ACD 【点睛】结论点睛：和差化积与积化和差公式 和差化积公式： . 积化和差公式： ， ， ， . 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合，则集合__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合，再根据并集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数的图象过定点，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用对数函数图象恒过定点的性质，令，计算出函数所过的定点坐标，最后计算的值． 【详解】因为（）， 所以函数的图象恒过定点，令，解得， 当时，， 所以函数的图像过定点，即， 所以，． 故答案为：2． 14. 在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案. 【详解】， 依题意是角的角平分线， 由三角形的面积公式得， 化简得，， . 当且仅当，时等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，其中，，且的图象相邻两条对称轴之间的距离为. （1）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. （2）若，，求的值. 【答案】（1）单调递增区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数，再由对称轴间距离求周期及，由图象变换得到解析式，写出单调区间即可； （2）先求出的正余弦值，再利用角的变换求出其余弦即可. 【小问1详解】 相邻两条对称轴之间的距离为， ，， 经过变换可得， 令，，得，， 单调递增区间是. 【小问2详解】 ， . 16. 一网络公司为某贫困山区培养了名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这名“乡土直播员”中每天直播时间不少于小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面列联表： 网红乡土直播员 乡土直播达人 合计 男 10 40 50 女 20 30 50 合计 30 70 100 （1）根据列联表判断是否有的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？ （2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取人，在这人中选人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的名“乡土直播推广大使”中男性人数为，求的分布列和期望． 附：，其中． 【答案】（1）有的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系；（2）分布列见解析；期望为． 【解析】 【分析】 （1）利用公式求解的观测值，若，则有的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系，若，则没有的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系； （2）先利用分层抽样得出在这人中男性人数与女性人数，分析在这人中选人作为“乡土直播推广大使”时，男性人数的所有可能取值，然后根据超几何分布列出的分布列. 【详解】解：（1）由题中列联表， 可得． ∴有的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系． （2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人， 男性人数人；女性人数为人． 由题，随机变量所有可能的取值为，，． ，，， ∴的分布列为 0 1 2 ∴的数学期望． 【点睛】独立性检测的一般步骤为： （1）根据样本数据制成列联表； （2）根据公式（其中）计算的观测值； （3）查表比较与临界值的大小比较，作出判断. 求离散型随机变量分布列及期望的求法： （1）理解随机变量的意义，写出的所有可能值； （2）求出的每个值所对应的概率，列出分布列，并根据分布列的性质对结果进行检验； （3）格据分布列求出数学期望. 17. 已知数列满足：，，（）． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可； (2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，∴， ∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知，， 当时， 当n=1时，满足上式． 所以，． 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （1）求B； （2）若D是边AC的中点，，，求△ABC的面积； （3）若△ABC为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求； （2）由已知可得，两边平方化简可得，求得，进而可求面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，求得的范围，可求解. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 因为D是边AC的中点，所以， 所以，又因为，，， 所以，化简得，即， 所以，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为△ABC为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，所以的取值范围. 19. 已知函数，与在函数的图象上，回答下列问题： （1）当时，证明； （2）上有三点（均不为且互不相等），满足成等差数列且． ①若不存在三点，使成等差数列，求的取值范围； ②若，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过运算将所证不等式转化为，再令整体换元转化为证明，然后构造函数研究函数单调性证明不等式可得； （2）①先求解存在三点，使成等差数列的情况，取补集可得.由题意得由此代入消元运算变形转化为有解，构造函数求值域即可；②将不等式变形转化，构造函数，利用单调性证明不等式可得. 【小问1详解】 由， 则，又与在上. 则； 且 ； 要证， 因为，即证， 不妨设，令，则， 则， 故只需证. 令，， 则， 再令， 则，则上单调递增， 故，故当时，恒成立， 由，得， 则，所以在上单调递减， 故，得证. 【小问2详解】 ①由等差数列且，则， 解得， 下面先研究若存在三点，使成等差数列的充要条件. 故； 又， 成等差数列， 由， 存在三点，使成等差数列有解. 当时，，故， 当时，，故， 故当时，； 令，且，则， 所以，令，且， 则， 再令，且， 则， 令，因为在单调递减，且， 故当时，，即，则在单调递增； 当时，，即，则在上单调递减， 故，故， 故在上单调递减，且在上也单调递减； 又因为当，；当时，； 当，且. 综上可知且， 所以有，且，且，又， 所以若不存在三点，使成等差数列，则有或， 故的取值范围为； ②令，. 则所证不等式. 令，， 则， 故在单调递增，则有， 即，得证. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于多元问题的处理，如第（1）问中整体元的构造，令，从而将不等式转化为一元不等式构造新函数证明；再如第（2）问中将关系代入消元得，再变形处理令整体代换并分离参数转化为方程有解问题，进而构造函数令，且求解值域可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $