广东省深圳市科学高中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市科学高中高二（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题0分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．若集合，则　　 A． B． C． D． 2．已知椭圆的左右焦点分别为，，过且垂直于长轴的直线交椭圆于，两点，则的周长为　　 A．4 B．6 C．8 D．16 3．在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为　　 A． B． C． D． 4．已知直线与圆交于，两点，且，则　　 A．4 B． C．2 D． 5．已知、两点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围　　 A．， B．，， C．，， D．，， 6．体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为　　 A．0.38 B．0.24 C．0.14 D．0.5 7．命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件是　　 A． B． C． D． 8．函数满足，且当时，，则函数的零点个数为　　 A．10 B．11 C．12 D．13 二、选择题：本题共3小题，每小题0分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．已知，0，，，1，，，1，，则　　 A． B． C．若向量，则 D．若向量，则 （多选）10．点在圆上，点在圆上，则　　 A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 （多选）11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，是上的两个动点，则　　 A．存在点，使得 B．若，则△的面积为 C．记的上顶点为，若轴，则直线与的斜率之积为 D．若是的上顶点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题0分，共15分． 12．若实数，满足，则的值是 　　 ． 13．已知点，3，关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则 　　． 14．已知实数，满足，则的取值范围是 　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 16．已知两直线，． （1）求直线和的交点的坐标； （2）若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； （3）若直线与，不能构成三角形，求实数的值． 17．记△的内角，，所对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）求的最小值． 18．在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点，为线段上一点，平面底面． （1）若，求二面角的余弦值； （2）求． 19．（1）已知、，若动点满足，求动点的轨迹的方程； （2）已知椭圆方程为，设点，点是椭圆上的一个动点，为右焦点，求的最小值及此时点的坐标． 2024-2025学年广东省深圳市科学高中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D D D A A B 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ACD ABC ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题0分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．若集合，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：因为集合，，故． 故选：． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 2．已知椭圆的左右焦点分别为，，过且垂直于长轴的直线交椭圆于，两点，则的周长为　　 A．4 B．6 C．8 D．16 【分析】根据题意，由椭圆的方程求出的值，结合椭圆的定义可得，，而的周长，即可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆，其中， 则有，， 的周长 ， 故选：． 【点评】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的定义，关键是掌握椭圆的定义． 3．在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用向量的线性运算和三角形法则的应用求出结果． 【解答】解：正方体中，点是的中点， 所以， 所以， 故． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 4．已知直线与圆交于，两点，且，则　　 A．4 B． C．2 D． 【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可． 【解答】解：，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离．因为， 所以，即，解得． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 5．已知、两点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围　　 A．， B．，， C．，， D．，， 【分析】由直线系方程求出直线所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段上点的斜率，结合题意可求． 【解答】解：直线过点， 连接与线段上的点时直线的斜率， 连接与线段上的点时直线的斜率． 的取值范围是或． 故选：． 【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题． 6．体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为　　 A．0.38 B．0.24 C．0.14 D．0.5 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解． 【解答】解：根据题意可知，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8， 则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为． 故选：． 【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 7．命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，转化为在，上有解问题，求出的取值范围，再结合充分条件，必要条件的定义，即可求解． 【解答】解：根据题意，若“，，”为真命题， 即不等式在，上有解， 故，，， 又，，，当时，， 所以， 要求命题为真命题的一个充分不必要条件，即求的一个真子集， 分析选项，符合． 故选：． 【点评】本题考查充分必要条件的判断，注意充分必要条件与集合的关系，属于基础题． 8．函数满足，且当时，，则函数的零点个数为　　 A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】求出函数的周期，根据函数的解析式画出图象，结合函数的最大值和的最大值为1，求出交点个数即可． 【解答】解：，函数为周期为， 根据图象当时，， 当，最大值为1， 从0到10，有前6个周期有11个交点，第七个周期，没有交点， 所以共有11个， 故选：． 【点评】考查了函数的周期性和函数的交点与方程的根的关系，中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题0分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．已知，0，，，1，，，1，，则　　 A． B． C．若向量，则 D．若向量，则 【分析】对于，结合向量的坐标运算，即可求解， 对于，结合向量模公式，即可求解， 对于，结合向量共线的性质，即可求解， 对于，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：，0，，，1，，，1，， 则，， 故，故正确， ， 则，故错误， 向量， 则， 故，故正确， 向量，， 则，故，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，属于基础题． （多选）10．点在圆上，点在圆上，则　　 A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【分析】根据题意，通过圆的方程分析两个圆的圆心和半径，对于、，由圆与圆的位置关系分析的最小值、最大值，可得错误，正确；对于，由两个圆的圆心坐标，即可得两个圆心所在的直线斜率，可得正确，对于，分析两个圆的位置关系可得两圆外切，不存在公共弦，可得错误，即可得答案． 【解答】解：根据题意，圆，其圆心，半径， 圆，即，其圆心，半径， 圆心距， 则的最小值为，最大值为，故正确，正确； 对于，圆心，圆心，则两个圆心所在的直线斜率，正确， 对于，两圆圆心距，有，两圆外离，不存在公共弦，错误． 故选：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于中档题． （多选）11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，是上的两个动点，则　　 A．存在点，使得 B．若，则△的面积为 C．记的上顶点为，若轴，则直线与的斜率之积为 D．若是的上顶点，则的最大值为 【分析】设，，当时，与联立方程有解，即可判断； 设，，由余弦定理可求出，再由三角形的面积公式可判断； 设，，，则，，表示出结合椭圆方程可判断； 设，，求出，由二次函数的性质可判断． 【解答】解：由椭圆方程，得，，所以， 对于，假设存在点，使得，设，， 则①， 又②，由①②联立可得，故正确； 对于，设，，则，因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以，故错误； 对于，由题得，设，，，则，， 所以，又， 所以，所以，故正确； 对于，．设，．则， 所以 ， 因为，所以当时，取得最大值18， 所以的最大值为，故正确． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的性质，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题0分，共15分． 12．若实数，满足，则的值是 　1　 ． 【分析】利用复数相等的条件即可求解． 【解答】解：由，得，解得， 则的值是1． 故答案为：1． 【点评】本题考查复数相等的条件，是基础题． 13．已知点，3，关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则 　　． 【分析】依次写出，3，，，3，，，，，利用空间两点间距离公式求出答案． 【解答】解：点，3，关于坐标平面的对称点为， 点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为， 由题意得，3，，，3，，，，， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查空间直角坐标系中对称的性质、空间两点间距离公式等基础知识，是基础题． 14．已知实数，满足，则的取值范围是 　　． 【分析】设为圆上一点，直线为，过点作，连接，再分别求出和，则，再根据条件求出范围即可． 【解答】解：设为圆上一点，直线为，过点作，连接，作出如下示意图： 则到直线的距离，由图可知圆在直线的上方， 所以，即，所以，， 所以，所以只需求出取值范围即可， 设直线与圆相切，所以，解得， 所以两条切线方程为：和，设两切点分别为，，分别过作， 垂足为，过作，垂足为，所以，， 因为直线的斜率为：，所以， 所以，，又因为， 所以，所以，， 所以， 所以，所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，属于中等题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 【分析】（1）建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离； （2）先证明，把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解． 【解答】解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系： 则，0，，，1，，，，，1，，，0，． 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． （2）因为，， 所以， 所以， 所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面 的距离， 设平面的一个法向量为，，， 又，，， 由， 令，则，，即，，， 又，0，， 所以到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为． 【点评】本题主要考查空间点、线、面间的距离计算，考查运算求解能力，属于中档题． 16．已知两直线，． （1）求直线和的交点的坐标； （2）若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； （3）若直线与，不能构成三角形，求实数的值． 【分析】（1）联立直线方程，解方程组，即得答案； （2）根据点在圆外可得不等式，即求得答案； （3）讨论直线与，不能构成三角形的情况即为或或过点，由此可求得的值． 【解答】解：（1）联立方程组，， 即直线和的交点的坐标； （2）由题意知点在圆外，， 的取值范围为； （3）若直线与，不能构成三角形，则或或过点， 当时，则，，满足题意； 当时，，，满足题意； 当过点时，，， 故实数的值为． 【点评】本题考查了直线的交点问题，涉及到直线间的平行关系，属于基础题． 17．记△的内角，，所对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）求的最小值． 【分析】（1）将已知条件利用两角和差公式与正弦定理即可计算出结果， （2）利用第一问的结果再入的余弦定理表达式，再利用基本不等式即可得到结果． 【解答】解：（1）已知， 由正弦定理得：， 整理得：， ① 因为② ②代入①有：， 再由正弦定理得； （2）由余弦定理得： ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 【点评】本题考查了解三角形，属于中档题． 18．在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点，为线段上一点，平面底面． （1）若，求二面角的余弦值； （2）求． 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，由面面垂直性质定理可得平面，建立空间直角坐标系．求平面的一个法向量，求平面的一个法向量，则可得二面角的余弦值； （2）由（1）平面，得，又得，则得，又，故． 【解答】解：（1）如图所示， 连接交于点，连接， 由于分别为，的中点， 因此，，， 因此， 所以， 因此， 又因为底面平面，底面平面，平面， 因此面． 以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴， 过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， ，， 所以平面的一个法向量为， 令平面的一个法向量为， 所以，解得， 令，所以， 令二面角为，由图可知为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为． （2）根据第一问可知，面， 又因为平面，因此， 由于底面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以，又因为， 因此． 【点评】本题考查二面角的夹角问题，属于中档题． 19．（1）已知、，若动点满足，求动点的轨迹的方程； （2）已知椭圆方程为，设点，点是椭圆上的一个动点，为右焦点，求的最小值及此时点的坐标． 【分析】（1）设点，利用向量坐标运算、数量积与模长公式列等式，经化简推导，即可得出动点的轨迹方程为； （2）设，，根据椭圆方程可得，点到直线的距离为，可得，结合图形分析求解． 【解答】解：设，已知、， ，，， ．， ， ， 由条件，得， 两边同除以3得， 两边平方得， ， ， ， 轨迹的方程：； （2）由（1）可知：， 设，，则，即， 则，且， 则， 且点到直线的距离为，可得， 则，对于， 令，可得，解得或（舍去）， 所以的最小值为3，此时点的坐标为． 【点评】本题考查直线与椭圆的综合，属于中档题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/24 14:47:46；用户：博强高中数学；邮箱：bqjy2@xyh.com；学号：20633598 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $