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微专题1 三角形中有关线段、角的综合
第十三章 三角形
类型一:分类讨论求角度
1. 已知AD是△ABC的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求
∠BAC的度数.
解:①如答图1,当高AD在△ABC的内部时,
∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°;
②如答图2,当高AD在△ABC的外部时,
∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°,
综上所述,∠BAC的度数为90°或50°.
点拨:本题考查三角形的高和三角形的内角和定理,
需要对高的不同位置进行分类讨论.
2. 在△ABC中,AD是高,∠BAD=60°,∠CAD=20°,
AE平分∠BAC,则∠EAD的度数为( D )
A. 20° B. 30°
C. 20°或30° D. 20°或40°
点拨:本题考查三角形的高、角的平分线和三角形的内角和定
理,需要对高的不同位置进行分类讨论.
D
类型二:三角形的三边关系
3. 已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断
△ABC的形状;
解:(1)因为(a-b)2+(b-c)2=0,(a-b)2≥0,
(b-c)2≥0,
所以a-b=0,b-c=0,
所以a=b=c,
所以△ABC是等边三角形.
(2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值
及最小值.
解:(2)因为a=5,b=2,
所以5-2<c<5+2,即3<c<7,
又因为c为整数,
所以c=4,5,6,
所以当c=4时,△ABC的周长最小,最小值为5+2+4=11;
当c=6时,△ABC的周长最大,最大值为5+2+6=13.
点拨:本题考查三角形的分类、非负数的性质、三角形
三边关系.
类型三:三角形的高
4. (2025·广东省·同步练习)如图,AM是等边三角形ABC的
高,P为△ABC内的一点,由点P向三边作垂线,垂足分别为
E,F,D. 求证AM=PE+PF+PD.
证明:如答图,连接PA,PB,PC.
因为△ABC是等边三角形,
所以AB=BC=AC.
因为S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB,
即 BC·AM= AC·PE+ BC·PF+ AB·PD,
所以AM=PE+PF+PD.
点拨:利用等面积法列出关于△ABC面积的等式是解题
的关键.
类型四:方程思想
5. 如图,在△ABC中,D为BC上一点,BE⊥AC于点E,交
AD于点F,∠ABD=∠ADB,∠DAC=∠C=2∠BAD. 求
∠BFD的度数.
解:设∠BAD=x,则∠DAC=∠C=2∠BAD=2x,
∠ABD=∠ADB=4x.
因为∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°,
所以4x+4x+x=180°,
解得x=20°,
所以∠DAC=2x=40°,
因为BE⊥AC,所以∠AEF=90°,
所以∠AFE=90°-∠DAC=90°-40°=50°,
所以∠BFD=∠AFE=50°.
点拨:本题考查三角形内角和定理的运用,应用方程思想设出
未知角的度数列方程即可解决.
类型五:利用三角形的中线求面积
6. 如图,在△ABC中,E是BC上一点,且EC=2BE,D是
AC的中点,△ABC的面积为12,求△ADF与△BEF面积的差.
解:因为EC=2BE,所以S△ACE∶S△ABE=2∶1,
因为S△ACE+S△ABE=S△ABC=12,
所以S△ABE=4,
因为点D是AC的中点,
所以S△ABD= S△ABC=6,
因为S△ABD=S△ADF+S△ABF,S△ABE=S△BEF+S△ABF,
所以S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2.
点拨:本题考查三角形的中线.根据已知条件求得与问题中
三角形相关的三角形的面积,进而求得二者的面积差.
类型六:从特殊到一般
7. (1)如图①,有一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上,恰
好直角三角尺XYZ的两条直角边XY,XZ分别经过点B,C. 在
△ABC中,若∠A=30°,则∠ABC+∠ACB= ,
∠XBC+∠XCB= ;
150°
90°
(2)如图②,若△ABC的位置不变,改变直角三角尺XYZ的
位置,使直角三角尺XYZ的两条直角边XY,XZ仍然分别经过
点B,C,则在(1)的条件下,∠ABX+∠ACX的度数是否
变化?若变化,请举例说明;若不变化,请求出∠ABX+
∠ACX的度数.
解:(2)不变化.
因为∠A=30°,
所以∠ABC+∠ACB=150°,
因为∠X=90°,
所以∠XBC+∠XCB=90°,
所以∠ABX+∠ACX=(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-
∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=
150°-90°=60°.
点拨:本题考查三角形内角和定理的应用.
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