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04
第4课时 三角形的内角
第十三章 三角形
目录
CONTENTS
1
新课学习
2
精讲精练
三角形的内角和定理
问题:如图,已知△ABC,求证∠A+∠B+∠C=180°.
证明:如图,过点A作直线DE∥BC,
所以∠B=∠2,∠C= .
因为∠1+∠2+∠3= °,
所以∠BAC+∠B+∠C= °.
三角形三个内角的和等于 .
点拨:利用平行线的性质即可证明三角形的内角和定理.
∠1
180
180
180°
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直角三角形的性质和判定
性质 图例 判定
文
字 直角三角形的两个锐
角 . 有两个角 的三角
形是直角三角形.
几
何
语
言 因为∠C=90°,
所以
. 因为 ,
所以∠C=90°
互余
互余
∠A+∠B=
90°
∠A+∠B= 90°
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精讲精练
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【人教版八上P12例1】如图,在△ABC中,∠BAC=
40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的
度数.
解:因为AD平分∠CAB,∠BAC=40°,
所以∠DAB= ∠BAC=20°,因为∠B=75°,
所以∠ADB=180°-∠DAB-∠B=
180°-20°-75°=85°.
点拨:本题考查三角形的内角和定理与角平分线的运用.
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【人教版八上P14例3】如图,∠C=∠D=90°,AD,
BC相交于点E. 比较∠CAE与∠DBE的大小.
解:∠CAE与∠DBE相等.理由如下:
因为在△CAE和△DBE中,∠C=∠D=90°,
∠CEA=∠DEB,所以∠CAE=90°-∠CEA,
∠DBE=90°-∠DEB,即∠CAE=∠DBE.
点拨:本题考查了直角三角形的性质,主要利用了直角
三角形两锐角互余和对顶角相等的性质,熟记性质是解
题的关键.
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精讲精练
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&知识拓展
(1)“三角形三个内角的和等于180°”是一个共性的结论,与三角形的具体形状没有关系,任意三角形的三个内角之和均等于180°.
(2)运用三角形内角和定理可以解决的问题:已知任意两个内角的度数可以求出第三个内角的度数;已知三角形三个内角的比值.可以求出各个内角的度数.
(3)在利用已知角的度数求未知角的度数时,我们常常利用平行线的性质、对顶角的性质等将已知角与所求角联系起来,并利用三角形内角和定理求解.
新课学习
精讲精练
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1. (人教版八上P16习题1改编)求出下列图形中x的值.
x= x= x=
30
45
60
点拨:本题考查了三角形内角和定理,根据三角形三个
内角的和等于180度列出方程求解即可.
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2. 若△ABC是直角三角形,且∠C=90°,则必有( D )
A. ∠A=2∠B=3∠C B. ∠A=∠B=∠C
C. ∠A=∠B+∠C D. ∠A+∠B=∠C
点拨:本题考查了直角三角形的性质.
D
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精讲精练
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3. 已知如图,DC∥EG,∠C=40°,∠A=70°,则
∠AFG的度数为 .
点拨:本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题,熟练
掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键.
70°
新课学习
精讲精练
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4. 如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,若
∠A=40°,则∠BPC= .
点拨:本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义,掌握
三角形内角和等于180°是解题关键.
110°
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5. 如图所示,AD,AE分别是△ABC的角平分线和高.
(1)若∠B=50°,∠C=70°,求∠DAE的度数;
解:(1)因为在△ABC中,∠B=50°,∠C=70°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60°,
因为AD,AE分别是△ABC的角平分线和高,
所以∠CAD=∠BAD= ∠BAC=30°,
∠AEC=90°,因为在△AEC中,
∠CAE=180°-∠AEC-∠C=20°,
所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=30°-20°=10°;
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(2)试探究∠DAE,∠B,∠C之间的数量关系,并说明
理由.
解:(2)∠DAE= (∠C-∠B),
理由如下:
因为AD,AE分别是△ABC的角平分线和高,
所以∠CAD=∠BAD= ∠BAC= (180°-
∠B-∠C),∠AEC=90°,
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所以∠CAE=180°-∠AEC-∠C=90°-∠C,
所以∠DAE=∠CAD-∠CAE= (180°-
∠B-∠C)-(90°-∠C)=90°- ∠B-
∠C-90°+∠C= (∠C-∠B).
点拨:本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线
和高的定义,熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的
定义是解答的关键.
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