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第3课时 三角形的中线、角平分线、高
第十三章 三角形
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CONTENTS
1
新课学习
2
精讲精练
三角形的中线和重心
(1)任意三角形都有 条中线,且它们交于一点,交点在
三角形的 部,如图1.这个交点叫作三角形的 .
3
内
重心
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(2)三角形中线:如图2,AD是△ABC的中线,则①
= = ;②S△ABD S△ACD.
BD
CD
BC
=
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三角形的角平分线
(1)任意三角形都有 条角平分线,它们相交于一点,交
点在三角形的 部,如图1.
3
内
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(2)三角形角平分线:如图2,AE是△ABC的角平分线,则
∠ =∠ = ∠ .
BAE
CAE
BAC
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三角形的高和面积
三角形的高:三角形的顶点到对边的垂线段.
如图,AD是△ABC的过顶点A的高.
注:任意三角形都有 条高,它们所在直线相交于同一点.
三角形的面积= .
3
×底×高
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如图,AD,AE分别是△ABC的高和中线.若△ABC的面积
为18,AD=4,则BE的长为( C )
A. 2 B. 3 C. 4.5 D. 9
点拨:本题主要考查了三角形中线的性质,掌握三角形
中线的性质是解题关键.
C
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【人教版八上P10习题7改编】如图,在△ABC中,AC=
2,BC=4,△ABC的高AD和BE的比是多少?
解:S△ABC= AC·BE= BC·AD,
将AC=2,BC=4代入,得BE=2AD.
故AD∶BE=1∶2.
点拨:利用三角形的面积公式和等面积法计算.
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&素养拓展
(1)几何直观与空间观念
通过绘制三角形的高、中线与角平分线,让学生了解不同线段
的几何特征及位置关系.例如,钝角三角形的高可能在三角形
外部,需借助空间想象正确作图,强化对图形动态变化的感知
能力.
(2)分类思想与数学抽象
通过分类讨论不同类三角形的高、中线与角平分线的特
征(如锐角、直角、钝角三角形的差异),培养学生分
类整合能力。
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&知识拓展
(1)三角形的高的确定方法,一看顶点:三角形的高一定过
顶点;二看垂足:三角形的高的垂足在顶点的对边或对边的延
长线上.
(2)在一个三角形中,由中线分割成的两个三角形的周长之
差,等于原三角形中除与这条中线相对应的边外的两边之差.
(3)在实际生活中,常将不具有稳定性的图形分割成几个
三角形,将其变为具有稳定性的图形,这是利用了三角
形的稳定性.
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1. 如图,在△ABC中,AD,AE,AF分别是BC边上的高、角
平分线、中线,下列结论错误的是( B )
A. ∠ADB=90°
B. ∠BAF= ∠BAC
C. BF=CF
D. S△ABF=S△ACF
B
点拨:掌握三角形的高、角平分线、中线的定义及三角
形面积公式是解题的关键.
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2. 如图,AD为△ABC的中线,若△ABD的面积为4 cm2,则
△ACD的面积为( B )
A. 2 cm2 B. 4 cm2
C. 8 cm2 D. 10 cm2
点拨:本题考查了三角形中线的性质,熟练掌握三角形的中线
将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键.
B
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3. 如图,△ABC中,AB=10,AC=8,AD为BC边上的中
线,若△ACD的周长为22,则△ABD的周长为 .
点拨:本题考查的是三角形的中线,根据三角形的中线的
概念得到BD=DC,再根据三角形周长公式计算即可.
24
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4. 如图,在△ABC中,点D,E分别是BC,AD的中点,且
S△ABE=2,则图中阴影部分的面积为( C )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
点拨:本题考查了三角形中线的性质,掌握三角形的中线
将三角形分成面积相等的两份为解题的关键.
C
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5. 如图,已知BE,CF分别是△ABC的中线,且BE=CF,
AM⊥CF于M,AN⊥BE于N,求证AM=AN.
证明:因为BE,CF分别是△ABC的中线,
所以S△ACF=S△ABE= S△ABC,
所以 BE·AN= CF·AM,又因为BE=CF,
所以AM=AN.
点拨:本题主要考查了三角形中线的性质,熟知三角形
中线平分三角形面积是解题的关键.
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