2.4 等腰三角形的判定定理课件 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

2.4等腰三角形的判定定理 第2章 特殊三角形 数学浙教版八年级上册 1．理解并掌握等腰三角形的判定定理. 2．在证明题中，通过角相等推导边相等，或通过边相等构造等腰三角形．结合全等三角形、平行线等知识，综合解决几何图形中的边角关系问题． 3．学会规范书写几何证明过程，明确“已知—求证—证明”的逻辑链．提升对复杂图形的分析能力． 4.在探究等腰三角形性质的过程中，鼓励学生自主思考，同时与小组成员交流讨论，共同解决问题，提高学习数学的兴趣 ． 重点 难点 难点 学习目标 2.等腰三角形具有哪些性质？ ①等腰三角形的两个底角相等 (简写成 “等边对等角”) ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一． 1.等腰三角形的定义是什么？ 有两条边相等的三角形是等腰三角形 情境导入 3.如图所示，量出AC的长，就可算出河的宽度AB. 你知道为什么吗？ ∵∠B=60°-30°=30°=∠C， ∴AB=AC. ∴量出量出AC的长，就可算出 河的宽度AB. 根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这个三角形是等腰三角形．除此之外，还有其他判定方法吗? 情境导入 在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC 的同侧画两个相等的锐角，两角的另一边相交于点A．量一量，线段AB与AC相等吗?其他同学的结果与你的相同吗? 活动一：探究等腰三角形判定定理 A C B AB=AC 你发现了什么规律? 发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 你能写出证明过程吗? 探究新知 活动一：探究等腰三角形判定定理 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C． 证明：如图，作△ABC的角平分线AD． 求证：△ABC是等腰三角形． A C B 2 1 D (角平分线的定义) (已知) (公共边) 探究新知 活动一：探究等腰三角形判定定理 等腰三角形的判定定理： 符号语言： 在△ABC中， 因为∠B＝∠C ，所以AB=AC．(等角对等边) 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“在同一个三角形中，等角对等边”). 即△ABC为等腰三角形 注意 在同一个三角形中使用． A C B 探究新知 活动二：探究等边三角形判定定理 我们知道三条边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的各个内角都等于 ． 那么我们是否可以利用这一知识作为判定等边三角形的方法呢？ 60° 你能写出证明过程吗? 探究新知 活动二：探究等边三角形判定定理 已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C， 求证：△ABC是等边三角形(即AB=BC=CA)． 证明： 因为∠A=∠B，根据等角对等边，所以BC=AC． 因为∠B=∠C，根据等角对等边，所以AC=AB． 因为∠A=∠C，根据等角对等边，所以AB=BC． 综上，AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形． 探究新知 等边三角形的判定定理1： 符号语言： 在△ABC中， 因为∠A=∠B=∠C， 所以AB=BC=CA． 三个角都相等的三角形是等边三角形. 即△ABC是等边三角形． 活动二：探究等边三角形判定定理 探究新知 活动二：探究等边三角形判定定理 有一个角是60°的等腰三角形是否是等边三角形呢？ 因为已知60°的角可能是等腰三角形的底角，也可能是顶角，所以分两种情形： 第一种情况： 若60°的角是等腰三角形的底角，则另一个底角也等于60°，所以顶角为180°-2×60°=60°，可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形． 探究新知 活动二：探究等边三角形判定定理 证明： 因为AB=AC，∠B=60°(已知)， 所以∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等边对等角)． 所以∠A=180°-2×60°=60°(三角形内角和定理)． 所以∠A=∠B =∠C=60°． 所以△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)． 探究新知 活动二：探究等边三角形判定定理 第二种情况： 探究新知 活动一：探究等腰三角形性质定理 等边三角形的判定定理2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 符号语言： 在等腰三角形ABC中， 因为∠B＝60°． 所以∠A=∠B=∠C =60°， 所以△ABC是等边三角形． 探究新知 教材 例题 一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量点A，B之间的距离．同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A出发，沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得∠C=30°．量出AC的长，它就是河的宽度(即点A，B之间的距离)．这个方法法正确吗?请说明理由． 解：这个方法正确．理由如下： 因为 ∠CAD=∠B+∠C (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)， 而∠B=∠CAD-∠C=60°-30°=30°， 则 ∠B=∠C， 所以AB=AC(在同一个三角形中，等角对等边)． 应用新知 经典例题 　 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． ①先找出△ABC和△ACD中的等角关系，推出∠B=∠ACD； ②根据角平分线定义得出∠BAE=∠EAC； ③再根据“三角形外角等于不相邻两内角和”， 可推出∠CEF=∠CFE. ④最后“等角对等边”得出结论△CEF是等腰三角形． 应用新知 经典例题 “等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．． 证明：在△ABC中，∠ACB=90°， 所以∠B+∠BAC=90°． CD是AB边上高，所以∠ACD+∠BAC=90°， 所以∠B=∠ACD． 因为AE是∠BAC的平分线， 所以∠BAE=∠EAC， 所以∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC， 即∠CEF=∠CFE． 所以CE=CF，则△CEF是等腰角形． 应用新知 1．已知一个三角形的两个角的度数分别为43°，94°，这个三角形是不是等腰三角形?请说明理由， 教材 练习 解：这个三角形是等腰三角形，理由如下： 根据三角形内角和为180°，已知两个角分别为43°和94°，设第三个角为∠C， 则∠C=180°-43°-94°=43°． 因为其中有两个角都是43°，根据等角对等边可知， 这个三角形是等腰三角形． 课堂练习 证明：因为 DE∥BC(已知)，所以 ∠1=∠B，∠2=∠C． 又因为∠1=∠2(已知)，所以∠B=∠C， 所以AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）． 所以 △ABC是等腰三角形. 2．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE//BC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形． 教材 练习 根据等腰三角形的判定定理解题即可. A C B D E 1 2 课堂练习 3.辩一辩：如图，下列推理正确吗? 因为∠1=∠2， 所以BD=DC． (等角对等边) 因为∠1=∠2， 所以BC=DC． (等角对等边) 错，因为都不是在同一个三角形中． 课堂练习 4.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，则这个三角形是( ) A.钝角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 根据题意由右图可知：∠B=130°÷2=65°. 因为∠ACB=180°-130°=50°，所以∠A=180°-65°-50°=65°. 因为∠A= ∠B ，AC=BC，即这个三角形是等腰三角形. B A C B 课堂练习 5.已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D．求证：BC=CD． 借助辅助线，找到角的等量关系，在根据等腰三角形的判定定理解题即可. B C D A 因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB． 因为∠ABC=∠ADC， 所以∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB． 即∠DBC=∠BDC，所以BC=CD． 证明：连接BD， 课堂练习 6. 如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°．求从B处到灯塔C的距离． 根据三角形的外角性质，推出∠C的度数，再根据等腰三角形的判定定理得出BA=BC，最后按照路程=速度×时间，可求出B处到灯塔C的距离. 课堂练习 6. 如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°．求从B处到灯塔C的距离． 解：因为∠NBC=∠A+∠C， 所以∠C=80°-40°=40°，所以∠C=∠A， 所以BA=BC(等角对等边)． 因为AB=20×(12-10)=40(海里)． 所以BC=40海里． 答：B处距离灯塔C 40海里． 课堂练习 判定定理 等边三角形的判定定理 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”). 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是 等边三角形． 总结归纳 实践作业：生活中的等腰三角形 任务：请你观察身边的物体(如屋顶、红领巾、三角尺等)． 要求：找出1-2个等腰三角形，并用“等角对等边”的判定方法验证它是否为等腰三角形(可拍照或画图记录，简要写出验证过程)． $