15.3等腰三角形习题课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3.2 等边三角形（1） 1 课前预习 2 课堂学练 3 分层检测 1 1. 等边三角形的定义：三边都______的三角形叫作等边三角形. 相等 2. 等边三角形的性质： （1）三条边______；（2）三个内角______，并且都等于____；（3）三线合一. 相等 相等 15.3.2 等边三角形（1） 课前预习 2 &1& 等边三角形的性质 1. 【例】如图，<m></m>是等边三角形<m></m>的中线，则<m></m>等于( ) B A.<m></m> B.<m></m> C.<m></m> D.<m></m> 课堂学练 15.3.2 等边三角形（1） 3 2. 如图，在等边三角形<m></m>中，<m></m>，垂足为<m></m>，点<m></m>在线段<m></m>上，<m></m> ，则<m></m>等于( ) D A.<m></m> B.<m></m> C.<m></m> D.<m></m> 课堂学练 15.3.2 等边三角形（1） 4 3. 【例】如图，在等边三角形<m></m>中，<m></m>是<m></m>边上的高，<m></m>是<m></m>延长线上一点，且<m></m>求<m></m>的度数. 解：<m></m>是等边三角形， <m></m>，<m></m>，<m> </m> . 课堂学练 15.3.2 等边三角形（1） 5 4. 如图，<m></m>是等边三角形<m></m>的中线，<m></m>是<m></m>上的一点，且<m></m>，连接<m></m>求<m></m>的度数. 解：<m></m>是等边三角形， <m></m> AD是等边三角形ABC的中线， <m> </m>， <m></m> . 课堂学练 15.3.2 等边三角形（1） 6 5. 【例】如图，在等边三角形<m></m>中，<m></m>是<m></m>边上的一点，以<m></m>为一边，向上作等边三角形<m></m>，连接<m></m>求证： （1）<m></m>； 证明：<m></m>，<m></m>是等边三角形，<m></m> <m></m>，<m></m>， <m></m> <m></m>， 即<m></m>在<m></m>和<m></m>中，<m> </m> 课堂学练 15.3.2 等边三角形（1） 7 （2）<m></m> <m></m>是等边三角形， <m></m> . 由（1）得<m></m>， <m> </m> 课堂学练 15.3.2 等边三角形（1） 8 6. 如图，<m></m>，<m></m>是等边三角形，点<m></m>，<m></m>，<m></m>在同一直线上.求证： （1）<m></m>； 证明：<m></m>，<m></m>是等边三角形， <m></m>，<m></m>，<m> </m> <m></m>，即<m></m> 在<m></m>和<m></m>中， <m></m> 课堂学练 15.3.2 等边三角形（1） 9 （2）<m></m> 证明：< <m></m>是等边三角形， <m></m> . 由（1）得<m></m>， <m> </m> 课堂学练 15.3.2 等边三角形（1） 10 7. 如图，<m></m>和<m></m>是等边三角形，连接<m></m>求证：<m></m> 证明：<m></m>和<m></m>是等边三角形， <m></m> <m></m>，<m></m>，</m> . <m></m> <m></m>，即<m></m> 在<m></m>与<m></m>中，<m></m> <m></m> 分层检测 15.3.2 等边三角形（1） 11 8. 如图，<m></m>是等边三角形，<m></m>是<m></m>边上的高，延长<m></m>到点<m></m>，使得<m></m>求证：<m></m> 证明：<m></m>是等边三角形， <m></m>，</m> . 又BD是AC边上的高，</m> . <m></m>，<m> </m>， </m> 分层检测 15.3.2 等边三角形（1） 12 9. 如图，在等边三角形<m></m>中，<m></m>是<m></m>边上一点，以<m></m>为边作等腰三角形<m></m>，使<m></m>，<m></m> ，<m></m>交<m></m>于点<m></m>，<m></m> .求： （1）<m></m>的度数； 解：<m></m>为等边三角形， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 分层检测 15.3.2 等边三角形（1） 13 （2）<m></m>的度数. 解：<m></m> ，<m></m>， <m> </m> . 分层检测 15.3.2 等边三角形（1） 14 10. 如图，<m></m>是等边三角形，<m></m>是中线，过点<m></m>作<m></m>，交<m></m>的延长线于点<m></m> （1）求<m></m>的度数； 解：<m></m>是等边三角形，CD是中线，<m></m> ， CD平分<m></m> <m></m> <m> </m> . 分层检测 15.3.2 等边三角形（1） 15 （2）求证：<m></m>是<m></m>的中线. 证明：由（1）可知，<m></m> ，<m></m> ， <m></m>，<m> </m>是等边三角形， <m></m>，<m> </m>是<m></m>的中线. 分层检测 15.3.2 等边三角形（1） 16 11. 如图，<m></m>和<m></m>都是等边三角形，且点<m></m>，<m></m>，<m></m>在同一直线上，连接<m></m>交<m></m>于点<m></m>，连接<m></m>交<m></m>于点<m></m>，连接<m></m>求证： 分层检测 15.3.2 等边三角形（1） 17 （1）<m></m>； 证明：<m></m>和<m></m>都是等边三角形， <m></m>，<m></m>，<m></m> . <m></m>，即<m></m> 在<m></m>和<m></m>中，<m></m> <m></m> 分层检测 15.3.2 等边三角形（1） 18 （2）<m></m>； 证明：< 由（1） 得，<m></m>，<m> 又<m></m>，<m></m> ，<m> </m> . 在<m></m>和<m></m>中，<m></m> <m></m> 分层检测 15.3.2 等边三角形（1） 19 （3）<m></m> 证明：< 由（2）得<m></m>， <m></m> <m></m> ， <m> </m> 分层检测 15.3.2 等边三角形（1） 20 21 $15.3.1等腰三角形(3) 课前预习 2 课堂学练 3 分层检测 课前预习 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（黻 :等角对等边)·， 几每语盲：：∠B=LC,·AB=AC 课堂学练 知识点1个 等腰三角形的判定（等角对等边) 1:例妙图，AD平分LCAE,AD/BC.求证： E AB=AC. 平分 证明：'AD/BC, .∠1=∠B,∠2=∠C. 求P平分∠CAE,·∠1=∠2. 3.∠B=∠C..AB=AC B 平分 课堂学练 2:图，在△ABC中，∠1=72°，∠2=36°， BD BC. 中， h)莱DBC的度数； D 概：BD=BC, 的度数；21=72 2 ∠DBC=180°-∠C-∠1=36°. B C 课堂学练 《2)另玛C相等的线段，并说明理由. 解：AD三BC,,理申如下： 相等的线段，并说萌理由 ;维西站：2-36， ∠A=∠1-∠2=36°.∠A=∠2..AD=BD 2 BD BC,AD BC. B C 课堂学练 3:例妙图，B,F,C,E在同一直线上， AB⊥BE于点B,DE⊥BE于点E,AC,DF相交于点 G,且AC=DF,BF=CE.求证： ')△ABC≌△DEF; 证明：“AB⊥BE,DE⊥BE,∠B=∠E=90,:BF=CE, BF+CF=CE+CF,EBC EF. 在同一直线上， 在RE△ABC和Rt△DEF中，{BC=EF, (AC=DF, 于愿△ABC≌Rt△DEF(HL). 工期 课堂学练 {2)△CFG是等腰三角形 蟹：电}得Bt△ABC≌Rt△DEF, ■■ G 是等腰基角形F痘.·cG=FG △CFG是等腰三角形 B C 是等腰三角形. 课堂学练 4.盈，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB, 是烂1AC,垂足分别为E,PF,且DE=DF求证： )△BDE≌△CDF; 明：DE⊥AB,DF⊥AC, 边的嘘点∠DFC=90°.D是BC的中点， B D 左BD=CD. 差Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=DF, (BD CD 睡吴含为Rt△CDF(HL). 弱中点， ,且 课堂学练 《2)△ABC是等腰三角形. 正明：由(1)得Rt△BDE≌Rt△CDF, 是聘腰三角形 由贮(Ap得等腰三角形. E B D C 是等腰三角形. 课堂学练 知识点2 等腰三角形的性质和判定 §：【例凰，在△ABC中，AB=AC,D是BC边 E 的中点，连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E. 中， p)锴C=40°，求∠BAD的度数； B D AB=AC,∠C=40°， 群c=2c=0 是AB=AC,D为BC的中点， 的度数：BC.∠BDA=90°. 边的中点，淫接∠ABC=90°-40°=50°· 亚分15.3.1等腰三角形(2) 课前预习 2 课堂学练 3 分层检测 课前预习 等腰三角形的性质2：等腰三角形底边上的中线 高 顶角平分线及 合简写 12 成何语言： ”) (1):AB=AC,∠1=∠2，·BD=CD,AD⊥BC; B (2)AB=AC,BD=CD,·∠1=L2,AD⊥BC; D 3)·AB=AC,AD⊥BC,·∠1=∠2，BD=CD 课堂学练 知识点 等腰三角形的性质2（三线合一） 1:例奶图，在△ABC中，AC=BC,用尺规作CF⊥ AB,交AB于点G.若∠BCG=50°， 则LA的度数为(A)A 中， 朵.40° B.45° C.50° D.60° ,用尺规作 2:图，有△ABC中，AB=AC,D是BC的中点， 在℃的延长线上取点E,连接AE.若∠BAD=32°， B熟E=84°，则∠CEA的度数为( c) B 0 B.32° C.38° D.42° 是 课堂学练 3:例奶图，蕉△ABC中，AB=AC,AD为△ABC的中线，点E在 ,上，AD=AE,连接DE若∠BAC=76°，求∠BDE的度数 解1BAC,AD为合ABC的中线， S.AD平分∠BAC,AD⊥BC. 为BAD=2∠BAC=38°，∠ADB=90 SLAD AF, 的中线知点∠ADE=71°. E 超中线 =∠ADB-∠ADE=19° D 垩分 ；连接 +十 课堂学练 4.,捧⊥ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,E为AD上一点， 接CE.若CE=AE,∠B=65°，求LECD的度数 解：蓕△ABC中，AB=AC,∠B=65°， ACB=∠B=65. 于点3AC=180°-65°-65°=50°. 雍△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, E CAD=2∠BAC=25· 3E=AE,·∠CAD=∠ACE=25. 正E黑，连接CB-∠ACE=65-25°=40 B 若 课堂学练 §：【例图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,AD的延长线与BC 帝于点E求证： 证明△在BD≌△ACD; 籍明：在△ABD和△ACD中， AD = BD CD, 'ABD≌△ACD(SSS). 的延长线与 D 字点E1BC 明：曲I)得得ABD≌△ACD, B E :求止 BAD=∠CAD.又AB=AC,·.AE⊥BC. 课堂学练 自：图，C在线段AB上，AD/EB,AC=BE,AD=BC,CF⊥DE. 段 h)△ACD≌△BEC; 证朋：AD/EB,·.∠A=∠B AD =BC, 在△ACD和△BEC中， ∠A=∠B, AC=BE, AACD≌△BEC(SAS). 和 )DF EF. 期：由(1)得△ACD≌△BEC,CD=CE.又CF⊥DE,·DF=EF. 由(1)得 分层检测 A基础 7.盈，捧△ABC中，AB=AC,点D在BC上，DE⊥AB,DF⊥AC, 番足分别为E,F,且DE=DF求证：D是BC的中点 证明： :E⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF, 在AD是∠BAC的平分线 在县ABC中，AB=AC, E FD是BC的中点 B D 是垂足分别为 分层检测 8.腰角形ABC中，AB=AC,BC=8,∠BAC=90°，AD是∠BAC 的平分线，交BC于点D,AD=4,E是AB的中点，连接DE.求： )∠B的度数； 的觼数；AB=AC,∠BAC=90°， E ∠B=∠C=3×(180°-∠BAC)=45°. B D 是 的平分线，交 分层检测 8.腰角角彩BC中，AB=AC,BC=8,∠BAC=90°，AD是∠BAC 单平分线，交BC于点D,AD=4,E是AB的中点，连接DE.求： K2)△BDE的面积. 的积.AB=AC,AD是∠LBAC的平分线， E AD⊥BC,BD=BC=4. E是AB的中点， B 是 蟹较装BD=×AD·BD=××4×4=4 的平务线，交 2215.3.2等边三角形（3) 课前预习 2 课堂学练 3 分层检测 课前预习 利用等边三角形的性质和判定，可以发现并证明直角三角形的一个性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜 边的一半 几何语言：：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，：BC=AB 309 B 课堂学练 知识点 含30°角的直角三角形的性质 B 1.【例】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∠A=30°，BC=2,则AC的长为( D) C A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高， ∠A=30°，BD=2,则AB的长为6 A.4 B.6 C.8 D.10 D 课堂学练 3.【例】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB, 交BC于点D.若BD=6,求CD的长， 解：∠C=90°，∠B=30°， ·.∠CAB=90°-∠B=60°. B :AD平分∠CAB, .∠BAD=∠CAD=30°. .∠B=∠BAD..AD=BD=6. 在Rt△ACD中，∠CAD=30°，CD=AD=3. 课堂学练 4.如图，在Rt△DBC中，∠B=90°，∠D=30°，∠CAB=60°.若 AD=6,求AB的长 解：∠D=30°， ∠CAB=60°， ∴.∠ACD=∠CAB-∠D=30°. D130° A B ∴.∠D=∠ACD.∴.AC=AD=6. 在Rt△ABC中，∠CAB=60°， ∠ACB=30°.·AB=2AC=3. 课堂学练 5.【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平 分线交BC于点D,连接AD.若BD=8,求AC边的长 解：·点D在AB的垂直平分线上， .AD BD 8. .∠BAD=∠B=15°. .∠ADC=∠BAD+∠B=15°+15°=30°. :∠C=90,∴AC=3AD=2×8=4. 课堂学练 6.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E,垂足 为D,CE平分∠ACB. (1)求∠A的度数； 解：：ED垂直平分BC, B ∴.EC=EB.∴.∠ECB=∠B=30°. :CE平分∠ACB,.∠ACE=∠ECB=30°. ∴∠A=180°-（∠B+∠ACE+∠ECB)=90°. 课堂学练 (2)若BE=8,求AE的长. 解：ED垂直平分BC, E .EC-BE-8. 由(1)得，∠A=90°，∠ACE=30°， B ·AE=2EC=4 分层检测 A基础 7.如图，在等边三角形ABC中，AB=10cm,D是AB的 中点，过点D作DE L AC于点E,则EC的长是(D) A.2.5 cm B.5 cm C.7 cm D.7.5 cm 8.如图，这是屋架设计图的一部分，D是斜梁AB的中 点，立柱BC,DE垂直于横梁AC,AD=4m,∠A= 30°，J 则DE等于(C) A.4 m B.3 m C.2 m D.1m 分层检测 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1. 求：(1)∠ABD的度数； B 解：∠C=90°，∠DBC=60°， ∴.∠BDC=90°-∠DBC=30°. A D ×∠A=15°， ·.∠ABD=∠BDC-∠A=15°.15.3.1等腰三角形(1) 课前预习 2 课堂学练 3 分层检测 课前预习 1:壑，在△ABC中，AB=AC,那么∠B与∠C相等吗？为什么？ 解；∠B=∠C, 理由如下： 在△ABC中，AB=AC, 作窃》的中线AD, 则BD=CD. 夸 (AB = AC, △ABD和△ACD中， = CD, 霜等吗？为什么？ AD =AD, ∴.△ABD≌△ACD(SSS). B C B ∠B=∠C 作底边 的中线 课前预习 2.等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底相等 (简写 成“等边对等角”) 几何语言： AB AC, ,∠B=∠C B 课堂学练 知识点 等腰三角形的性质1（等边对等角） 1:【例奶等鞭三角彩绅，二介底角0°，则这个等腰三角形的顶角的 度数这等腰三角形的项角的度数为( ， Λ.40° B.70° C.100° D.70°或100 2:等腰三角彩啪二介角50°，则这个等腰三角形的顶角等于 B,则这个等腰三角形的顶角等于 A.50° B.80° C.65°或80° D.50°或809 C 课堂学练 3:例的圈，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD=DC, =25°求LB的度数. 晖1ADDG, 蟹0%二二6Ac22c-5o A EAB一AD, .∠B= ∠ADB=5O° 上一点， B D C .求 的度数. 课堂学练 4,图，捧⊥ABC中，D是AC上一点，且AB=BD=DC,∠C=36°. ∠ABC的度数 BD DC, 解 DBC=∠C=36°. A 足 ∠ADB=∠DBC+∠C=72°. 上A点，B且： D .∠A=∠ADB=72°. ∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=72°. B .求 的度数. 课堂学练 5.【图，插△ABC中，AB=CB,D是BC上的一点，DE⊥AB于 串E,DF⊥BC交AC于点F,ED与FC的延长线交于点G.求证：DF=DG. 证明：AB=CB, ∴.∠A=∠ACB. 是DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F, 上的±点G=90°，∠ACB+∠CFD=90. .∠G=∠CFD B 于点=DG 于点 交 课堂学练 :,在△ABC中，BA=BC,BF⊥AC于点F,点D在边AB上， PE/BC交BF的延长线于点E.求证：DB=DE. 电明 BA一BC,BP⊥AC于点下， 证明a乙.∠a C ∠E∠FBG 一∠ABF DE. E 手点 于点 , B 在边 , 、 分层检测 A基础 7:圈，有△ABC中，AB=AC,M是BC的中点，ME⊥AB于点E, LAC于点F. 求证：BE=CF. 证明：：AB=AC,·∠B=∠C 是f的中点A8MN=2M=90. (LBEM=∠CFM, 2史停EM和△CFM中， LB=∠C, BM=CM, 的年，M≌△CFM(AAS).BE=CF. B M C 分层检测 ⑧：图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,D,E分别是AC,AB上两点， 且AD=AE.CE,BD交于点O.求证：OB=OC. A 明：∠ABC=LACB,·AB=AC. (AB=AC, 在△ABD和△ACE中， LA=LA, AD =AE, 程别是D≌△ACE(SAS).·LABD=∠ACE. E 和KABC-LABD=∠ACB-∠ACE, B 里锅gG直GB.OB=OC15.3.2等边三角形（2) 课前预习 2 课堂学练 3 分层检测 课前预习 等边三角形的判定： (1)三边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 课堂学练 知识点 等边三角形的判定 1.【例】如图，∠A=∠B,CE//DA,∠ECB=60°.求证： △BCE是等边三角形. 证明：'CE//DA,.∠A=∠BEC又∠A=∠B, .∠B=∠BEC..CB=CE B :∠ECB=60°， ∴△BCE是等边三角形. 课堂学练 2.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,∠B=∠D,点E E 在BA的延长线上，连接CE.若∠E=60°，CE平分 ∠BCD,求证：△BCE是等边三角形 B 证明：AD/BC,∠EAD=∠B. :∠B=∠D,.∠D=∠EAD..BE//CD :∠E=60°，∴.∠ECD=∠E=60°. CE平分LBCD, .∠BCE=∠ECD=60°. .∠B=60°.∠E=∠B=∠BCE..△BCE是等边三角形 课堂学练 B 3.【例】如图，在△ABC中，∠A=40°，点E在 边AC上，连接BE,∠C=∠CBE.若∠ABE=20°， 求证：△BCE是等边三角形， A C 正明：∠C=∠CBE, E .△BCE为等要三角形. ∠A=40°，∠ABE=20°， 、.∠BEC=∠A+∠ABE=40°+20°=60°. ·△BCE是等边三角形 课堂学练 4.如图，在△ABC中，AB=BC,BD⊥AC于点D, ∠ABD=30°.求证：△ABC是等边三角形 证明：AB=BC,△ABC是等腰三角形. BD⊥AC于点D,∠ABD=30°， C ∴.∠ABC=2∠ABD=60°. 又AB=BC, ·△ABC是等边三角形 课堂学练 5.【例】如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D,E在BC 上，且AE=BE. (1)求∠CAE的度数； 解：AB=AC,∠BAC=120°， B E D ∴.∠B=∠C=30°. AE=BE, .∠EAB=∠B=30°. :∠BAC=120°， ·.∠CAE=∠BAC-∠BAE=90°. 课堂学练 (2)若D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形. 证明：延长EA到点F,使AE=AF,连接CF. 由(1)得LCAE=90°，·.CA⊥EF. AE=AF,CE =CF. :∠AED=∠B+∠EAB=30°+30°=60°， B E D .△CEF是等边三角形..EF=CE. :D为EC的中点，·ED=CE. 又AE=AF=EF,AE=ED, ·.△ADE是等边三角形 课堂学练 A 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，AB 平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E,且BE/AC.求证：△Ed ABC是等边三角形 B C 证明：~AB=AC,D是BC的中点，AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD.AB平分∠DAE,∴∠BAE=∠BAD. ∴.∠BAD=∠CAD=∠BAE.:BE//AC,AE⊥BE, ∴.∠EAC=∠E=90°.∴.∠BAD=∠CAD=∠BAE=30°. ∴∠BAC=60°.又AB=AC,∴.△ABC是等边三角形 分层检测 A基础 7.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F,延长FD,CA 交于点E.若∠E=30°，AD=AE.求证：△ABC是等边三角形 证明：：AD=AE,.∠E=∠ADE=30° ·∠CAB=∠E+∠ADE=30°+30°=60°， :DF⊥BC,.∠EFC=90°，.∠C=90°-∠E=60°. .∠B=180°-∠C-∠CAB=180°-60°-60°=60°. A .∠C=∠B=∠CAB. E ·△ABC是等边三角形