2.2 等腰三角形 课件 2025-2026学年 浙教版八年级数学上册

2.2等腰三角形 第2章 特殊三角形 数学浙教版八年级上册 1．学生能够准确阐述等腰三角形的定义，清晰指出等腰三角形的腰、底边、顶角和底角，探究并归纳出等腰三角形的性质，了解等边三角形是特殊的等腰三角形． 2．通过小组合作交流，探讨等腰三角形性质的证明方法，归纳出性质并应用到具体题目中． 3．体会数学中的转化思想，将等腰三角形的问题转化为全等三角形等已学知识来解决，提高知识迁移能力． 重点 难点 学习目标 情境导入 等腰三角形的应用在人们的生活中随处可见．如下图： 如图，埃及金字塔的四个侧面都呈等腰三角形的形状. 如图，房梁呈等腰三角形的形状. 在小学我们已经学过，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 如图所示，AB＝AC，△ABC就是等腰三角形. 等腰三角形中， 相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角叫做底角. A C B 顶角 底角 底角 底边 腰 腰 活动一：探究等腰三角形的有关概念 探究新知 1.如图，点D在AC上，AB=AC，AD=BD．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角． 等腰三角形 腰 底边 顶点 △ABC △ABD AB和AC BC ∠A AD和BD AB ∠ADB 活动一：探究等腰三角形的有关概念 A C B D 探究新知 活动一：探究等腰三角形的有关概念 2.已知线段a，b(如图)．用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a． (1)先作底边BC； (2)再以底边两端点为圆心、腰长为半径画弧找顶点A； (3)最后连接顶点与底边端点. 探究新知 教材 例题 作法：如图 (1)画一条射线BM，在BM上取一点C，使BC=a； A B (2)以B，C为圆心，b长为半径画弧，相交于一点A； M C (3)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 探究新知 活动二：探究等腰三角形的有关性质 等腰三角形两腰上的中线相等． 求证： 已知： 求证： 如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，AC边上的中线． BE=CD． 要想求证BE=CD，首先要证明 △ABE≌△ACD，可以利用SAS证明解题即可． A C B E D 探究新知 活动二：探究等腰三角形的有关性质 因为AB=AC(已知)，则有AD=AE． 又因为∠A=∠A(公共角)， 可知△ABE≌△ACD(SAS)． 所以BE=CD(全等三角形的对应边相等)． 已知： 求证： 如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，AC边上的中线． BE=CD． A C B E D 探究新知 活动二：探究等腰三角形的有关性质 由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰上的中线相等． 几何语言： 在△ABC中， 因为AB=AC，CD，BE是AB，AC边上的中线， 所以BE=CD． A C B E D 探究新知 活动二：探究等腰三角形的有关性质 合作学习 在透明纸上任意画一个等腰三角形ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC对折，你发现了什么？由此你得出什么结论？ A B C D A (B) C D 探究新知 活动二：探究等腰三角形的有关性质 ∠BAD=∠CAD，所以射线AB与AC重合．又因为AB=AC，所以点B与点C重合． 发现： 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴． A B C D A (B) C D 直线AD两侧的图形能够完全重合． 探究新知 活动二：探究等腰三角形的有关性质 三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 等边三角形是一类特殊的等腰三角形． A B C 如图，AB=BC=AC，△ABC是一个等边三角形． 想一想，等边三角形有几条对称轴? 有3条对称轴 探究新知 　　　如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=AE．AP是△ABC的角平分线．点D，E关于AP对称吗?DE与BC有怎样的位置关系?请说明你的判断． 已知AP是△ABC的角平分线．可求出点D，E关于AP对称，根据轴对称图形的性质可以知道DE与BC的位置关系． 教材 例题 A C B E D P 应用新知 解：点D和点E关于AP对称，且DE//BC．理由如下： 因为AP是∠BAC的平分线，AB=AC，AD=AE， 根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”，知AP⊥DE，AP⊥BC，所以DE//BC． 点B和点C，点D和点E都关于AP对称． 所以等腰三角形ABC和等腰三角形ADE都是以直线AP为对称轴的轴对称图形， 教材 例题 A C B E D P 应用新知 经典例题 　　　如图，△ABC中，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，与边AB，BC相交于E，F，并构成以BF为底边的等腰△EBF，则△EBF的周长为________． 因为线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF， 又因为DC=4cm，所以DC=EF=4，且CF=7cm． 又因为BC=12cm．所以BF=12-7=5cm． 因为△EBF是以BF为底边的等腰三角形， 所以BE=EF=4cm， 则△EBF的周长为BE+EF+BF=4+4+5=13cm． 13 cm 应用新知 1．已知等腰三角形的两条边长分别为1 cm，3 cm．求第三条边长．． 教材 练习 解：如果腰长为1 cm，则1+1=2(cm)，不符合三角形三边关系， 所以腰长只能为3 cm，底边长为1 cm． 所以第三条边长为3 cm． 根据三角形三边关系，两边之和大于第三条边解题即可． 课堂练习 B 2．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC． (1)作出△ABC的对称轴AD． (2)分别作出点E，F关于AD的对称点． 教材 练习 D (1)在等腰三角形ABC中，AB=AC． 因为等腰三角形是轴对称图形， 所以顶角平分线所在的直线是它的对称轴． 如图所示． 课堂练习 B 2．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC． (1)作出△ABC的对称轴AD． (2)分别作出点E，F关于AD的对称点． 教材 练习 D (2)过点E作直线AD的垂线，垂线交腰AC于点E'，点E'即为点E关于AD的对称点；因为等腰三角形ABC是以直线AD为对称轴的轴对称图形，所以延长DF，使DF'=DF，点F'即为点F关于AD的对称点．如图所示． E' F' 课堂练习 3.若一个等腰三角形的两边长分别为4和6，则该等腰三角形的周长 为(　　)． A．14 B．15 C．16 D．14或16 D ①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，周长为16； ②当4为腰时，其它两边为4和6，因为4、4、6可以构成三角形，周长为14． 课堂练习 4.一个等腰三角形，周长为9，其余各边均为整数，则腰长为(　　) A．4或3或2 B．4或3 C．4 D．3 设腰长为x，那么底边长为9-2x， 所以2x＞9-2x；9-2x＞0； 解得：2.25＜x＜4.5， 因为x为整数，所以x为3，4． 所以腰长为4或3． B 课堂练习 5. 等腰三角形一边长为3，另一边长为6，则其周长是(　　) A．12 B．15 C．12或15 D．以上答案都不对 如果腰长为3，则3+3=6，不符合三角形三边关系，所以腰长只能为6． 所以其周长6+6+3=15． 故选B． B 课堂练习 6. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB=CE，连接AD，求证：△ACD为等腰三角形． 由平行线的性质推出∠BAC=∠DCE，由垂直的定义得到∠B=∠DEC=90°，判定△ABC≌△CED（ASA），推出AC=CD即可求证. 课堂练习 6. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB=CE，连接AD，求证：△ACD为等腰三角形． 证明：因为CD∥AB，所以∠BAC=∠DCE，因为DE⊥AC，所以∠B=∠DEC=90°． 因为AB=CE， 所以△ABC≌△CED（ASA）． 所以AC=CD． 所以△ACD是等腰三角形． 课堂练习 定义 等边三角形 等腰三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 性质 等腰三角形两腰上的中线相等． 总结归纳 $