精品解析：广东省江门市第一中学景贤学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

景贤学校2025～2026学年度第一学期 九年级数学第一次随堂练习 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. 2x+1=0 B. y2+x=1 C. x2+1=0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程判断即可． 【详解】解：A. 2x+1=0，是一元一次方程，不符合题意； B. y2+x=1，含两个未知数，不符合题意； C. x2+1=0，是一元二次方程，符合题意； D. ，不是整式方程，不符合题意； 故选C 3. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键． 4. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵的半径为4，，且， ∴点P在内． 故选A． 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 6. 如图，A、B、C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键；根据圆周角定理求解即可． 【详解】解： ， 故选：． 7. 设一元二次方程的两个实根为和，则（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解题的关键． 8. 如图是一个隧道的截面图，为的一部分，路面米，净高米，则此圆半径长为（ ） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，设圆的半径为，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设圆的半径为，则：，， 由图可知：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得； 故圆的半径为5米； 故选B． 9. 若二次函数与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据二次函数与轴有交点则，进而求出得取值范围即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数与轴有交点， ∴， ∴， 又∵， ∴且， 故选：． 10. 已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案. 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为， 故选：D 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先把解析式设为顶点式，再根据抛物线形状相同，则二次项系数相同，据此可得答案． 【详解】解：设该抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与的形状相同， ∴， ∴该抛物线解析式为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知抛物线形状相同，则二次项系数相同． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则p的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求解即可，掌握一元二次方程根的含义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：． 13. 已知点与点关于原点对称，则m的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】点与点关于原点对称， ． 故答案为1． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数是解题的关键． 14. 二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键．由图象可知，求x轴上方图象所对的x的范围即可． 【详解】解：令得， 解得， 二次函数的图象与x轴的交点为， 由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或， 故答案为：或． 15. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD＝150°，则∠A＝_____°． 【答案】105 【解析】 【分析】根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题． 【详解】∵∠BOD＝150°，∠BOD＝2∠C ∴∠C＝75° ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C＝180° ∴∠A＝105° 故答案为105 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 三、解答题（本题共4小题，共40分） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ∴， 17. 如图，为的直径，点D、E在上，C是的延长线上一点，且． （1）若，则___； （2）判断直线与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） 证明：与相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理，根据圆周角定理证明是解决问题的关键． （1）由为的直径，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）连接，由圆周角定理证得，由已知和等腰三角形的性质证得，，进而证得，根据切线的判定定理即可证得与相切； 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点A（－3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值. 【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）当m=时，△ADE的面积取得最大值为． 【解析】 【分析】（1）由题意利用待定系数法将点A（-3，0）、B（1，0）代入，并求出关于b、c的方程组即可得出二次函数的表达式； （2）根据题意设直线AE的解析式为y=kx+b，进而代入点A，E求出直线AE的解析式，并过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，设D（m，m2+2m-3），则F（m，m+1），进而表示S△ADE=S△ADF+S△DEF，利用配方法即可得出△ADE面积的最大值. 【详解】（1）∵二次函数y＝x2+bx+c经过点A（-3，0）、B（1，0）， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为y=x2+2x-3； （2）设直线AE的解析式为y=kx+b， ∵过点A（-3，0），E（0，1）， ∴， 解得：， ∴直线AE解析式为y=x+1， 如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F， 设D（m，m2+2m-3），则F（m，m+1）， ∴DF=-m2-2m+3+m+1=-m2-m+4， ∴S△ADE=S△ADF+S△DEF =×DF×AG+DF×OG =×DF×（AG+OG） =×3×DF =（-m2-m+4） =-m2-m+6 =， ∴当m=-时，△ADE的面积取得最大值为． 【点睛】本题属于二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，割补法求三角形的面积，二次函数的性质及配方法的运用等知识点，注意运用字母化转化几何问题． 19. 将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形． （1）如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； （2）探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 【答案】（1）①； ②由旋转可得： ， ， ， ， 又， ， ， 在和中 ， （）， ， 又， ． （2）或， 如图，当时， 则点G在的垂直平分线上， ①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M， ， ， 四边形是矩形， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， 旋转角； ②如图，当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形， ， 旋转角． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等边三角形的判定及性质． （1）①由矩形的性质可证；②由矩形的性质及旋转的性质可证（），从而可得，即可求证； （2）由线段垂直平分线的判定定理可得点G在的垂直平分线上，①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，可证是等边三角形，即可求解；②当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形，即可求解； 掌握性质，并能根据G点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：①四边形是矩形， ， 由旋转得：， ， ， ， 故答案：； ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景贤学校2025～2026学年度第一学期 九年级数学第一次随堂练习 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. 2x+1=0 B. y2+x=1 C. x2+1=0 D. 3. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 4. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 6. 如图，A、B、C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 设一元二次方程的两个实根为和，则（　　） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图是一个隧道的截面图，为的一部分，路面米，净高米，则此圆半径长为（ ） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 9. 若二次函数与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为________． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则p的值为____． 13. 已知点与点关于原点对称，则m的值是______． 14. 二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是____． 15. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD＝150°，则∠A＝_____°． 三、解答题（本题共4小题，共40分） 16. 解方程： 17. 如图，为的直径，点D、E在上，C是的延长线上一点，且． （1）若，则___； （2）判断直线与的位置关系，并证明你的结论． 18. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点A（－3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值. 19. 将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形． （1）如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； （2）探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $