精品解析： 山东省淄博市周村区第二中学2025--2026学年八年级上学期数学月考试卷

2025-2026学年八年级上学期数学 第一次阶段测试 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错． 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意 B. ，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； C. ，是因式分解，故此选项符合题意； D. ，右边的因式不是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义．一般地，如果表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【详解】解：，，分母都不含有字母，都是整式， 分母含有字母，是分式， 故选：B． 3. 分解因式：，则的值为 （ ） A. 7 B. C. 25 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据平方差公式将等式右边展开，进而求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选D． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，熟练掌握分式的加法运算法则是解题的关键； 根据分式的加法运算法则计算即可求解； 【详解】解：； 故选：C 5. 将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， ∴应提取的公因式是， 故选：D． 6. 在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 96分，98分 B. 97分，98分 C. 98分，96分 D. 97分，96分 【答案】A 【解析】 【分析】利用众数和中位数的定义求解． 【详解】98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分； 共有25个数，最中间的数为第13个数，是96，所以数据的中位数为96分． 故选A． 【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数． 7. 解分式方程时，利用换元法设，把原方程变形成整式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过设元，然后把用倒数法转换为，把方程变为y的方程，再整理去分母即可． 【详解】设，，原方程变为y-+3=0， 方程两边都乘以y得，， 把原方程变形成整式方程为：． 故选：D． 【点睛】本题考查高次方程的解法，掌握换元的方法，有倒数换元法，平方换元法，根据方程的特点选取适当的换元方法，会用换元法进行判断，选择，或解方程是解题关键． 8. 某车间加工1300个零件后，采用了新工艺，工效提升了30%，这样加工同样多的零件就少用10小时．若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得工效提升了30%后，每小时加工（1+30%）x个零件，再根据题意可得等量关系：采用新工艺前加工1300个零件所用时间-采用新工艺后加工1300个零件所用时间=10，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设采用新工艺前每小时加工x个零件， 由题意得：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 9. 已知：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（　　） A. 2， B. 2，1 C. 4， D. 4，3 【答案】D 【解析】 【分析】本题可将平均数和方差公式中的x换成3x-2，再化简进行计算． 【详解】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5=2×5=10． ∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是： [（3x1-2）+（3x2-2）+（3x3-2）+（3x4-2）+（3x5-2）] = [3×（x1+x2+…+x5）-10] =4， S′2=×[（3x1-2-4）2+（3x2-2-4）2+…+（3x5-2-4）2]， =×[（3x1-6）2+…+（3x5-6）2] =9× [（x1-2）2+（x2-2）2+…+（x5-2）2] =3． 故选：D． 【点睛】本题考查的是方差和平均数的性质，熟练掌握方差的概念是解题的关键． 10. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考据分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解的问题是解题的关键． 根据分式方程无解的问题可进行求解． 【详解】解：由方程可得：，整理得：， ∵该方程无解， ∴当时，则有，即； 当时，则； 故选：B． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘方与乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘方和乘法运算法则． 先根据分式乘方法则计算，得到；再按分式乘法法则，将与相乘，约分后得出结果． 【详解】解： 故答案为：． 12. 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是_________． 【答案】7.6 【解析】 【分析】根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案．本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握方差及平均数的计算公式． 【详解】解：平均数为， 则方差 ． 故答案为：7.6． 13. 学校食堂为了让同学们品尝不同品类的午餐，提供了每份8元、10元、12元的三种盒饭，经食堂统计，有的同学选择了8元/份的盒饭，有的同学选择了10元的盒饭，有的同学选择了12元的盒饭，请你计算该学校学生午餐平均每人花费________元． 【答案】9.6 【解析】 【分析】题目主要考查加权平均数，分别用单价乘以相应的百分比，然后相加，计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则． 先由已知方程两边除以，得；再将其代入代数式，计算即可． 【详解】解：∵，且， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴． 故答案为：1． 15. 已知：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通过倒数法将分式变形； 先对已知条件取倒数，求出的值；再对所求分式取倒数，将其变形为含的形式，代入求值后再取倒数得到最终结果． 【详解】解：∵，且 整理得： 分式取倒数： 变形得： 将代入上式： ∴， ∴． 故答案为． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，选择合适的因式分解方法是解题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． （2）利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除、加减运算法则以及因式分解． （1）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再进行乘法运算化简． （2）先对分母因式分解，通分后将分子相减，再化简分子得出结果． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 18. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，化为整式方程，再解出，最后验根，即可作答． （2）先去分母，化为整式方程，再解出，最后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 经检验：是原分式方程的解， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验：当时，，故原分式方程无解． 19. 先化简，然后从﹣2，﹣1，1，2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，3． 【解析】 【分析】先进行分式的混合运算，根据分式有意义的条件，把a=2代入计算即可． 【详解】原式===， 当a=2时，原式==3． 考点：分式的化简求值． 20. 甘蔗富含大量的铁、钙、锌等人体必需的微量元素，是冬季热销的水果之一．某水果商家月份第一次用元进购云南甘蔗若干千克，销售完后，第二次又用元进购该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了，所进购甘蔗的数量比第一次少了千克．求该商家第一次进购云南甘蔗的进价是每千克多少元？ 【答案】每千克元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，熟练根据题意找到等量关系并列式是解题的关键．该商家第一次进购云南甘蔗的进价是每千克元，则第二次进购云南甘蔗的进价是每千克元，利用所进购甘蔗的数量比第一次少了千克进行列式并求解即可． 【详解】解：设该商家第一次进购云南甘蔗的进价是每千克元，则第二次进购云南甘蔗的进价是每千克元， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该商家第一次进购云南甘蔗的进价是每千克元． 21. 某校为了解学生做家务劳动的情况，随机调查了名学生一周做家务劳动的天数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生一周做#家务劳动的天数数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组学生一周做家务劳动的天数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生人，估计该校学生一周做家务劳动的天数是的人数约为多少？ 【答案】（1），，， （2） （3）人 【解析】 【分析】（）用劳动的天数为的人数除以其百分比可求出的值，进而求出的值，再根据众数和中位数的定义可求出数据的众数和中位数； （）利用加权平均数计算即可； （）用乘以家务劳动天数是的人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，众数、中位数和平均数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由条形统计图知，一周做家务劳动天的人数最多， ∴数据的众数为， ∵调查了名学生, ∴中位数为， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：数据的平均数； 【小问3详解】 解：， 答：估计该校学生一周做家务劳动的天数是的人数约为人． 22. 近几年，全国旅游呈现出快速复苏的良好势头，据某监测数据显示，今年五一期间泉州旅游同比增长接近30%，世界文化遗产开元寺是热门的旅游景点之一，吸引了大量游客．西街某商店为迎接即将到来的暑假旅游积极备货，已知该商店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多2元，用400元购进甲种纪念品和用320元购进乙种纪念品的数量相同． （1）每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少元？ （2）专卖店将每个甲种纪念品的售价定为15元，每个乙种纪念品的售价定为12元，根据市场调查，商店计划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种纪念品共500个，假设这500个纪念品能够全部卖出，求该商店获得销售利润最大的进货方案并求出最大利润． 【答案】（1）每个甲种纪念品的进价是10元，每个乙种纪念品的进价是8元 （2）购进100个甲种纪念品，400个乙种纪念品，最大利润为2100元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，熟练掌握一元一次不等式和一次函数的性质． （1）设每个甲种纪念品的进价是x元，则每个乙种纪念品的进价是元，根据用400元购进甲种纪念品和用320元购进乙种纪念品的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购进m个甲种纪念品，则购进个乙种纪念品，根据商店计划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种纪念品，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，求出m的取值范围，再设这500个纪念品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每个甲种纪念品的销售利润购进甲种纪念品的数量+每个乙种纪念品的销售利润购进乙种纪念品的数量，列出一次函数式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每个甲种纪念品的进价是x元，则每个乙种纪念品的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲种纪念品的进价是10元，每个乙种纪念品的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个甲种纪念品，则购进个乙种纪念品， 由题意得：， 解得：， 设这500个纪念品全部售出后获得的总利润为w元，则， 即， ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值为：，此时， 答：该商店获得销售利润最大的进货方案是：购进100个甲种纪念品，400个乙种纪念品，最大利润为2100元． 23. 教科书中这样写道：“形如 的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式： ． 解：原式 再如：求代数式 的最小值． 解： ，可知当 时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式： ________．（直接写出结果） （2）当x为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值． （3）利用配方法，尝试求出等式 中a，b的值． 【答案】（1） （2）当 时，多项式 有最大值，最大值是7； （3） ， ． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为： 【小问2详解】 解： ， ∴当 时，多项式 有最大值，最大值是7； 【小问3详解】 解： ， ， ， ， ， ， 解得 ， ． 24. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ （2）将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． （3）和谐分式的最大值为． （4）如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】（1）①③ （2）； （3）3 （4）2或8 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【小问1详解】 解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． 【小问2详解】 解：． ． 【小问3详解】 解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． 【小问4详解】 解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期数学 第一次阶段测试 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 分解因式：，则的值为 （ ） A. 7 B. C. 25 D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 6. 在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 96分，98分 B. 97分，98分 C. 98分，96分 D. 97分，96分 7. 解分式方程时，利用换元法设，把原方程变形成整式方程为（ ） A. B. C. D. 8. 某车间加工1300个零件后，采用了新工艺，工效提升了30%，这样加工同样多的零件就少用10小时．若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（　　） A. 2， B. 2，1 C. 4， D. 4，3 10. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 化简：_____． 12. 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是_________． 13. 学校食堂为了让同学们品尝不同品类的午餐，提供了每份8元、10元、12元的三种盒饭，经食堂统计，有的同学选择了8元/份的盒饭，有的同学选择了10元的盒饭，有的同学选择了12元的盒饭，请你计算该学校学生午餐平均每人花费________元． 14. 若，则_____． 15. 已知：，则______． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解分式方程： （1） （2） 19. 先化简，然后从﹣2，﹣1，1，2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 20. 甘蔗富含大量的铁、钙、锌等人体必需的微量元素，是冬季热销的水果之一．某水果商家月份第一次用元进购云南甘蔗若干千克，销售完后，第二次又用元进购该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了，所进购甘蔗的数量比第一次少了千克．求该商家第一次进购云南甘蔗的进价是每千克多少元？ 21. 某校为了解学生做家务劳动的情况，随机调查了名学生一周做家务劳动的天数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生一周做#家务劳动的天数数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组学生一周做家务劳动的天数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生人，估计该校学生一周做家务劳动的天数是的人数约为多少？ 22. 近几年，全国旅游呈现出快速复苏的良好势头，据某监测数据显示，今年五一期间泉州旅游同比增长接近30%，世界文化遗产开元寺是热门的旅游景点之一，吸引了大量游客．西街某商店为迎接即将到来的暑假旅游积极备货，已知该商店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多2元，用400元购进甲种纪念品和用320元购进乙种纪念品的数量相同． （1）每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少元？ （2）专卖店将每个甲种纪念品的售价定为15元，每个乙种纪念品的售价定为12元，根据市场调查，商店计划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种纪念品共500个，假设这500个纪念品能够全部卖出，求该商店获得销售利润最大的进货方案并求出最大利润． 23. 教科书中这样写道：“形如 的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式： ． 解：原式 再如：求代数式 的最小值． 解： ，可知当 时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式： ________．（直接写出结果） （2）当x为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值． （3）利用配方法，尝试求出等式 中a，b的值． 24. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ （2）将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． （3）和谐分式的最大值为． （4）如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $