大单元复习03 圆锥曲线的方程专项训练-2025-2026学年高二上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

大单元复习03 圆锥曲线的方程（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】椭圆的定义及标准方程 9 【考点2】椭圆的焦点三角形 10 【考点3】椭圆的离心率 11 【考点4】椭圆的弦长与弦中点 12 【考点5】双曲线的定义及标准方程 13 【考点6】双曲线的焦点三角形 14 【考点7】双曲线的离心率 15 【考点8】双曲线的渐近线 16 【考点9】双曲线的弦长与弦中点 17 【考点10】抛物线及标准方程 18 【考点11】抛物线的简单几何性质 19 知识梳理 一、椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 注意： (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值. (2)定值必须大于两定点的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在. 二、椭圆的方程 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2 注意： (1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴. (2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同. (3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上. 三、椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0，1) 注意： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 四、离心率的性质 五、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立 消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 六、弦长问题 弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB|＝＝或 |AB|＝. 七、双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注意： (1)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (2)双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|. ①若定义中的常数等于|F1F2|，此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). ②若定义中的常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在. ③若定义中的常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 八、双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 注意： (1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴. (2)两种双曲线－＝1，－＝1(a>0，b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>0，b>0，a2＋b2＝c2；不同点是：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不同. 九、双曲线的几何性质 (1)双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴和虚轴 实轴：线段A1A2，长：2a 虚轴：线段B1B2，长：2b 半实轴长：a，半虚轴长：b 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2c 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. 十、离心率的几何性质 1.填空　离心率 (1)定义：焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e，由a2＋b2＝c2，可得 e＝＝. (2)范围：由c＞a＞0可知，双曲线的离心率e＞1. (3)几何意义：由等式c2＝a2＋b2，得 ＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度. 十一、直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 将①代入②， 得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. a.当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点. b.当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离. 十二、弦长公式： 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝. 十三、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 注意： (1)定义可归纳为“一动，三定”：一动点M，一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值(即动点到焦点和准线的距离比值为常数1). (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 十四、抛物线的方程 抛物线标准方程的几种形式(p＞0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px x＝－ y2＝－2px x＝ x2＝2py y＝－ x2＝－2py y＝ 注意： (1)标准方程结构特征：顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上. (2)p的几何意义：焦点到准线的距离. (3)抛物线的开口方向：其开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围. 十五、抛物线的简单几何性质 四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e＝1 通径长 2p 注意： (1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平. (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直. 十六、抛物线的焦半径与焦点弦 (1)抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦. (2)有关抛物线的焦点弦的结论 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l. ①x1·x2＝，y1·y2＝－p2； ②以弦AB为直径的圆与准线相切； ③|AB|＝x1＋x2＋p＝2(x0＋)＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； ④＋＝为定值(F是抛物线的焦点). 十七、直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. ①若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. ②若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点. 十八、有关弦长问题 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0). 注意： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. 热考题型 【考点1】椭圆的定义及标准方程 1（单选）（2023·河南开封·三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 2（单选）（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3（多选）（22-23高二上·甘肃天水·期末）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A． B．P到最小的距离是2 C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 4（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 5（填空）（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 6（解答）（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【考点2】椭圆的焦点三角形 1（单选）（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 2（单选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 3（多选）（23-24高二上·山西太原·期末）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 4（多选）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为4 5（填空）（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 6（解答）（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 【考点3】椭圆的离心率 1（单选）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2（单选）（2024·广东广州·一模）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3（多选）（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 4（多选）（2024·福建厦门·一模）设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，若，且的周长为8，则（    ） A． B．的离心率为 C．可以为 D．可以为直角 5（填空）（2025·湖北武汉·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 ． 6（解答）（2024·河南开封·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 【考点4】椭圆的弦长与弦中点 1（单选）（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3（多选）（24-25高二上·河北邢台·期末）已知点，若斜率为1的直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，点在椭圆上，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 5（填空）（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则 ． 6（解答）（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【考点5】双曲线的定义及标准方程 1（单选）（2025·北京·模拟预测）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 2（单选）（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 5（填空）（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 .   6（解答）（22-23高二上·全国·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【考点6】双曲线的焦点三角形 1（单选）（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（     ） A．8 B．6 C． D． 3（多选）（22-23高二上·安徽宿州·期中）如图，是椭圆与双曲线（）在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 4（多选）（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 5（填空）（22-23高二下·四川遂宁·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ． 6（解答）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【考点7】双曲线的离心率 1（单选）（2025·广东广州·一模）已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 2（单选）（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 3（多选）（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为 4（多选）（2024·辽宁沈阳·一模）已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（    ） A．实轴长为4 B．双曲线为等轴双曲线 C．离心率为 D．渐近线方程为 5（填空）（2025·北京海淀·一模）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 ． 6（解答）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【考点8】双曲线的渐近线 1（单选）（24-25高三下·浙江·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线交双曲线的两条渐近线于两点，则（ ） A． B． C． D． 2（单选）（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3（多选）（23-24高三上·江西·阶段练习）已知双曲线：的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（    ） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高二上·云南昭通·期末）已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．C的离心率为 C． D．C的渐近线方程为 5（填空）（23-24高二上·浙江·期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 . 6（解答）（22-23高二上·河南·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，. (1)若点A的坐标是，且的面积为，求双曲线C的渐近线方程； (2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且（O为原点），求双曲线C的离心率. 【考点9】双曲线的弦长与弦中点 1（单选）（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高二下·重庆·阶段练习）过点 作斜率为 的直线与双曲线 相交于 两点，若 是线段 的中点，则双曲线 的离心率等于（    ） A．2 B． C． D． 3（多选）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）双曲线的左､右焦点分别为，下列说法正确的有（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．若为双曲线上一点，且7，则. D．若为双曲线上两点，则点可以为线段的中点. 4（多选）（20-21高二上·山东泰安·期中）下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程是 B．双曲线的离心率 C．双曲线的焦点到渐近线的距离是 D．双曲线，直线与双曲线交于两点，若的中点坐标是，则直线的方程为 5（填空）（2025高三·全国·专题练习）设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则 ． 6（解答）（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【考点10】抛物线及标准方程 1（单选）（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2（单选）（2024·四川南充·一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 3（多选）（23-24高二上·浙江台州·期中）已知、，则下列命题中正确的是（    ） A．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支 C．平面内满足的动点P的轨迹为抛物线 D．平面内满足的动点P的轨迹为圆 4（多选）（2025·河南·一模）设抛物线的焦点为，过的直线交轴的负半轴于点，交抛物线于两点，，，过作抛物线的切线交轴于点，则（    ） A． B．直线的斜率为 C． D．的面积为 5（填空）（23-24高三上·天津河西·期末）已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则 . 6（解答）（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程． 【考点11】抛物线的简单几何性质 1（单选）（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 2（单选）（2023·四川成都·二模）已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（    ） A．32 B． C． D．8 3（多选）（22-23高三上·江苏南通·开学考试）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 4（多选）（23-24高二上·重庆·期末）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 5（填空）（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 6（解答）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 大单元复习03 圆锥曲线的方程（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】椭圆的定义及标准方程 9 【考点2】椭圆的焦点三角形 14 【考点3】椭圆的离心率 18 【考点4】椭圆的弦长与弦中点 22 【考点5】双曲线的定义及标准方程 26 【考点6】双曲线的焦点三角形 31 【考点7】双曲线的离心率 37 【考点8】双曲线的渐近线 41 【考点9】双曲线的弦长与弦中点 45 【考点10】抛物线及标准方程 49 【考点11】抛物线的简单几何性质 53 知识梳理 一、椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 注意： (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值. (2)定值必须大于两定点的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在. 二、椭圆的方程 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2 注意： (1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴. (2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同. (3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上. 三、椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0，1) 注意： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 四、离心率的性质 五、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立 消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 六、弦长问题 弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB|＝＝或 |AB|＝. 七、双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注意： (1)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (2)双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|. ①若定义中的常数等于|F1F2|，此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). ②若定义中的常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在. ③若定义中的常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 八、双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 注意： (1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴. (2)两种双曲线－＝1，－＝1(a>0，b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>0，b>0，a2＋b2＝c2；不同点是：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不同. 九、双曲线的几何性质 (1)双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴和虚轴 实轴：线段A1A2，长：2a 虚轴：线段B1B2，长：2b 半实轴长：a，半虚轴长：b 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2c 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. 十、离心率的几何性质 1.填空　离心率 (1)定义：焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e，由a2＋b2＝c2，可得 e＝＝. (2)范围：由c＞a＞0可知，双曲线的离心率e＞1. (3)几何意义：由等式c2＝a2＋b2，得 ＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度. 十一、直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 将①代入②， 得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. a.当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点. b.当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离. 十二、弦长公式： 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝. 十三、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 注意： (1)定义可归纳为“一动，三定”：一动点M，一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值(即动点到焦点和准线的距离比值为常数1). (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 十四、抛物线的方程 抛物线标准方程的几种形式(p＞0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px x＝－ y2＝－2px x＝ x2＝2py y＝－ x2＝－2py y＝ 注意： (1)标准方程结构特征：顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上. (2)p的几何意义：焦点到准线的距离. (3)抛物线的开口方向：其开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围. 十五、抛物线的简单几何性质 四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e＝1 通径长 2p 注意： (1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平. (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直. 十六、抛物线的焦半径与焦点弦 (1)抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦. (2)有关抛物线的焦点弦的结论 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l. ①x1·x2＝，y1·y2＝－p2； ②以弦AB为直径的圆与准线相切； ③|AB|＝x1＋x2＋p＝2(x0＋)＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； ④＋＝为定值(F是抛物线的焦点). 十七、直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. ①若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. ②若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点. 十八、有关弦长问题 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0). 注意： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. 热考题型 【考点1】椭圆的定义及标准方程 1（单选）（2023·河南开封·三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，得，，.    设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故选：C. 2（单选）（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 故选：B 3（多选）（22-23高二上·甘肃天水·期末）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A． B．P到最小的距离是2 C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可. 【详解】由椭圆方程可得：，则， 对A：根据椭圆的定义可得，A正确； 对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小， 最小值为，B错误； 对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大， 最大值为，C错误； 对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大， 最小值为，D正确. 故选：AD. 4（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 5（填空）（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可. 【详解】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 6（解答）（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1 (2) (3)． 【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程； （2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得； （3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得. 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 【考点2】椭圆的焦点三角形 1（单选）（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义结合条件即得. 【详解】椭圆，，，， 设，，则， ，， ， ， ，即． 故选：A． 2（单选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最小值，根据三角形性质，当三点共线得答案. 【详解】 ，为一个焦点，设另一焦点为， 且， 因为，所以在椭圆外部， 所以， 即求的最小值， 由于，当三点共线时取到最小值， 此时，， 所以的最小值为1. 故选：D 3（多选）（23-24高二上·山西太原·期末）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】AC 【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论. 【详解】如图：    因为椭圆的标准方程为：，所以：，，. 因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率， 所以必是：. 根据椭圆的定义，，故A正确； 在中，，， 由余弦定理：，故B错误； 由，到轴的距离为：，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 4（多选）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为4 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项． 【详解】在椭圆中，，且， 对于A选项，当时，则为椭圆的上下顶点，故， 由余弦定理可得， 因为，所以，，A对； 对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大， 所以，△面积的最大值为，B错误； 对于C选项，因为，即， 所以，C对； 对于D选项，由椭圆定义可知， 所以，当且仅当时取等号． 故选：ACD． 5（填空）（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用勾股定理构造方程，结合椭圆定义可求得结果. 【详解】    由椭圆方程知：，，， ，， 由椭圆定义知：， ， 解得：. 故答案为：2. 6（解答）（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出； （2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值. 【详解】（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得. 又因为，，，所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，. 由勾股定理可得. 又，即. 在椭圆中有，将变形为，即，解得. 【考点3】椭圆的离心率 1（单选）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 2（单选）（2024·广东广州·一模）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标，借助向量坐标运算求出点坐标，代入椭圆方程求解即得. 【详解】令椭圆半焦距为c，依题意，，由，得， 则，而点在椭圆上，于是，解得， 所以的离心率为. 故选：A 3（多选）（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 4（多选）（2024·福建厦门·一模）设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，若，且的周长为8，则（    ） A． B．的离心率为 C．可以为 D．可以为直角 【答案】AC 【分析】根据已知可得、，进而有，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误. 【详解】由，如下图周长为，故， 所以，椭圆离心率为，A对，B错； 当轴，即为通径时，且， 所以，故可以为，C对； 由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大，此时， 且，故，即不可能为直角，D错. 故选：AC 5（填空）（2025·湖北武汉·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由直线方程求得其在坐标轴上截距，可得椭圆的的值，根据离心率的公式，可得答案. 【详解】当时，由，则；当时，由，则， 由题意可得为椭圆的顶点， 则椭圆的方程为，所以， 可得，所以离心率. 故答案为：. 6（解答）（2024·河南开封·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率； （2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长． 【详解】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，， 所以，， 又， 所以，即，即， 所以，所以离心率； （2）由（1）可得，，则椭圆方程为， 射线的方程为， 联立，整理可得， 解得或，则，即， 所以，解得，则， 所以的周长．    【考点4】椭圆的弦长与弦中点 1（单选）（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 2（单选）（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 3（多选）（24-25高二上·河北邢台·期末）已知点，若斜率为1的直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，点在椭圆上，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用点差法解方程求出，设点，得，计算并消元，将其整理成，结合，即可求得的取值范围即可. 【详解】如图， 设，因点在椭圆上，则有：， 两式相减，化简得：， 依题意，，代入上式，解得：，即椭圆方程为：. 设点，则，即， 则， 因，则，故. 故选：BCD. 4（多选）（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【答案】AD 【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D. 【详解】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 5（填空）（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】借助椭圆定义计算即可得结论. 【详解】由是的中点，则， 由椭圆定义可得， 则. 故答案为：. 6（解答）（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据已知条件设出点的坐标，再利用为线段的中点得到，代入中即可求解； （2）将转化为用和表示，代入点的坐标得到关于的一元二次函数即可求得最大值. 【详解】（1），分别是直线和上的动点， 设，，， 点为线段的中点，则，， 又， ，即， 动点的轨迹方程为. （2）线段是圆的一条直径，圆心为，半径为， ， ， ，当时，取得最大值． 【考点5】双曲线的定义及标准方程 1（单选）（2025·北京·模拟预测）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【分析】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故， 故选：A 2（单选）（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 3（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据双曲线定义得到的轨迹方程为，，联立四个选项中的直线，求出交点横坐标，从而判断出答案. 【详解】则由题意得， 故点的轨迹为以为焦点，长轴长为2的双曲线的右支， 故，， 故点满足的轨迹方程为，， A选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，A正确； B选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，B正确； C选项，联立与，解得，不合要求，C错误； D选项，联立与，解得，负值舍去，D正确. 故选：ABD 4（多选）（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 【答案】BCD 【分析】根据题意结合圆、双曲线以及直接法求轨迹方程逐项分析判断. 【详解】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A错误； 对于选项B：，则点的轨迹是双曲线，故B正确； 对于选项：设， 由，可得， 化简得，表示一条直线，故C正确； 对于选项D：由，可得， 则点的轨迹是以为直径的圆，故D正确. 故选：BCD. 5（填空）（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求得，再利用余弦定理求解. 【详解】因为点在双曲线右支上，且， 则，又， 在中，由余弦定理可得，， 所以. 故答案为：.    6（解答）（22-23高二上·全国·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程； （2）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程； （3）设根据斜率公式得到方程，整理可得. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （3）设，则，， 根据题意有， 化简得 ∴顶点的轨迹方程为.    【考点6】双曲线的焦点三角形 1（单选）（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】如图：    因为为右支上一点，所以. 因为为坐标原点，为线段的中点，所以，， 则. 故选：C 2（单选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（     ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义及计算出，，可知为直角三角形，然后计算面积即可. 【详解】因为双曲线 ，所以，，所以， 为双曲线上一点，，所以为双曲线上右支上一点， 由双曲线的定义得：，， 所以，所以，，， 所以，所以， 故， 故选：B 3（多选）（22-23高二上·安徽宿州·期中）如图，是椭圆与双曲线（）在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】AB 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理，找到的关系，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：由椭圆和双曲线的定义：，故，故A正确； 对B：在中，由余弦定理： 即，故时，，故B正确； 对C：时，，由（当且仅当时等号成立）， ，所以等号取不到，故C错误； 对D：对△，将其视作是椭圆中的焦点三角形， 则由余弦定理可得， 解得，故 ， 同理，将△视作双曲线中的焦点三角形，则， 则，故D错误. 故选：AB. 4（多选）（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据焦点三角形与椭圆双曲线的联系，结合余弦定理，面积公式即可求解. 【详解】设，，又∵， 即， 又∵，，令， ∴，， ∴，故A正确； ，， ，故B正确； 当时，，得， ∴，故C不正确． 设，证明椭圆的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由椭圆定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 设，证明双曲线的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由双曲线定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 由，故D正确． 故选:ABD． 5（填空）（22-23高二下·四川遂宁·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得. 【详解】因为双曲线，则，，所以， 因为为双曲线右支上一点，所以，又， 所以，，， 由余弦定理， 即，解得，又， 所以. 故答案为： 6（解答）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    【考点7】双曲线的离心率 1（单选）（2025·广东广州·一模）已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，将点坐标代入双曲线方程中可得.求出点坐标代入双曲线的两条渐近线的距离之积，结合化简可得的其次方程，即可求解离心率. 【详解】设. ∵点在双曲线上，，即. 又双曲线的两条渐近线分别为和， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为： ， ，即. 又，，，. 故选：D. 2（单选）（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由渐近线方程和⊥求出，由勾股定理得到，从而求出离心率. 【详解】由题意得，⊥，双曲线的一条渐近线方程为， 故，即， 又，所以， 由勾股定理得，即， 解得， , 故选：B. 3（多选）（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围. 【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确； 对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误； 对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确； 对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误． 故选：AC. 4（多选）（2024·辽宁沈阳·一模）已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（    ） A．实轴长为4 B．双曲线为等轴双曲线 C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可. 【详解】设该双曲线标准方程为，则. 对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意； 对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，， 可解得，符合题意； 对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意； 对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意， 故选：ABD. 5（填空）（2025·北京海淀·一模）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据渐近线方程，求得，再求离心率即可. 【详解】根据题意可知，该双曲线的一条渐近线方程为：，故， 则其离心率为. 故答案为：. 6（解答）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得即可得到离心率； （2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解. 【详解】（1）由题意知，且，     ， 所以双曲线的离心率． （2）由（1）知双曲线方程为， 将即代入，得，    不妨设， 所以． 【考点8】双曲线的渐近线 1（单选）（24-25高三下·浙江·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线交双曲线的两条渐近线于两点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线的倾斜角可得，根据全等即可求解. 【详解】由已知，渐近线方程为，则两条渐近线倾斜角分别为和； 直线的倾斜角为，且经过右焦点，所以该直线与其中一条渐近线垂直． 令，易得，则. 故选：A； 2（单选）（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入点运算求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线方程为， 代入点，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 3（多选）（23-24高三上·江西·阶段练习）已知双曲线：的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求得双曲线的渐近线方程为，根据选项，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线：的离心率为，可得， 又由，解得，所以双曲线的渐近线方程为， 对于A中，双曲线，可得渐近线方程为，不符合题意； 对于B中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意； 对于C中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意； 对于D中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意. 故选：BCD. 4（多选）（23-24高二上·云南昭通·期末）已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．C的离心率为 C． D．C的渐近线方程为 【答案】AB 【分析】根据双曲线的简单性质计算即可. 【详解】由标准方程可得， 所以，A正确； 离心率，B正确； ，，C错误； 渐近线方程为，D错误. 故选：AB. 5（填空）（23-24高二上·浙江·期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求的双曲线方程为，代入，求出的值即可. 【详解】设所求的双曲线方程为， 因为双曲线过点，所以，解得， 所以，，化为标准方程得， 即. 故答案为：. 6（解答）（22-23高二上·河南·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，. (1)若点A的坐标是，且的面积为，求双曲线C的渐近线方程； (2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且（O为原点），求双曲线C的离心率. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用已知条件得，结合双曲线中化简整体求出，即可得双曲线C的渐近线方程 （2）根据题意作图，根据图形，利用余弦定理求出，从而得，即渐近线的倾斜角，则可以得出的值，结合得到关于离心率的齐次方程，解出即可 【详解】（1）因为，的面积为， 所以， 即， 所以， 解得或（舍去）， 所以， 所以双曲线C的渐近线方程是. （2）因为以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，如图， ，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以，则， 所以，，， 所以，， 所以双曲线C的离心率为2. 【考点9】双曲线的弦长与弦中点 1（单选）（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 2（单选）（24-25高二下·重庆·阶段练习）过点 作斜率为 的直线与双曲线 相交于 两点，若 是线段 的中点，则双曲线 的离心率等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法可得，从而可得答案. 【详解】设，则，两式作差可得， 即，所以，所以， 所以离心率. 故选：C 3（多选）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）双曲线的左､右焦点分别为，下列说法正确的有（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．若为双曲线上一点，且7，则. D．若为双曲线上两点，则点可以为线段的中点. 【答案】BC 【分析】根据双曲线的标准方程，利用渐近线方程、离心率、定义以及反证法，可得答案. 【详解】对于A，由双曲线，则，所以渐近线方程，故A错误； 对于B，由双曲线，则，即，所以离心率，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，设两点在双曲线上，假设线段的中点为，设，则， 可得，整理方程②可得， 将①代入上式可得，则，代入①可得， 由，方程无实根，故D错误. 故选：BC. 4（多选）（20-21高二上·山东泰安·期中）下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程是 B．双曲线的离心率 C．双曲线的焦点到渐近线的距离是 D．双曲线，直线与双曲线交于两点，若的中点坐标是，则直线的方程为 【答案】BCD 【解析】A. 根据双曲线方程得到和焦点的位置判断；B. 根据双曲线方程得到判断；C.根据双曲线方程，得到焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离求解判断；D. 设，则，利用点差法求解判断. 【详解】A. 因为双曲线，所以，焦点在y轴上，所以渐近线方程是，故错误； B.因为双曲线，所以，所以离心率，故正确； C.因为双曲线，所以焦点坐标为，渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为 ，故正确； D. 设，则，两式相减得：，因为的中点坐标是，所以直线的斜率为。所以直线的方程为，故正确； 故选：BCD 5（填空）（2025高三·全国·专题练习）设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则 ． 【答案】 【分析】设，证明即可求解. 【详解】设， 已知，则， 两式相减得， 故，即， 即． 故答案为：. 6（解答）（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 【考点10】抛物线及标准方程 1（单选）（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 2（单选）（2024·四川南充·一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【详解】由题意，得，即， 所以抛物线方程为. 故选：D. 3（多选）（23-24高二上·浙江台州·期中）已知、，则下列命题中正确的是（    ） A．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支 C．平面内满足的动点P的轨迹为抛物线 D．平面内满足的动点P的轨迹为圆 【答案】AD 【分析】由椭圆的定义可直接判定选项A；由双曲线的定义可直接判定选项B；由抛物线的定义可直接判定选项C；设点，列式化简即可判定选项D； 【详解】对于选项A,有、，且,由椭圆定义可知选项A正确; 对于选项B,有、，且,轨迹为射线，不符合双曲线的定义可知选项B错误; 对于选项C,有、，且,轨迹为线段的垂直平分线，不符合抛物线的定义可知选项C错误; 对于选项D,有、，且,设点，则，化简可得，可知选项D正确; 故选：AD 4（多选）（2025·河南·一模）设抛物线的焦点为，过的直线交轴的负半轴于点，交抛物线于两点，，，过作抛物线的切线交轴于点，则（    ） A． B．直线的斜率为 C． D．的面积为 【答案】ABD 【分析】对于A由即可求解；对于B设，因此，又点在抛物线上，即可求解；对于C直线的方程为，与抛物线联立方程组即可求得点坐标，由两点间的距离公式即可求解；对于D由，得得直线方程为，即可求解. 【详解】因为为，所以，故A正确； 设，因此，由，从而，直线的斜率为，故B正确； 直线的方程为， 所以或， 因此可求得，，可得，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为， 方程为，因此， 所以的面积为，故D正确． 故选：ABD． 5（填空）（23-24高三上·天津河西·期末）已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则 . 【答案】 【分析】由题意可得直线与直线垂直，进而可得出答案. 【详解】， 因为以点为圆心的圆与直线相切于点， 所以直线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 6（解答）（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时直线的方程为 【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解； (2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，所以， 因为双曲线的焦点坐标为， 所以则， 所以椭圆E的方程为. （2）设， 联立可得， 因为直线与椭圆E交于A、B两点， 所以解得， 由韦达定理可得， 由弦长公式可得， 点到直线的距离为， 所以 当且仅当即时取得等号， 所以面积的最大值为，此时直线的方程为. 【考点11】抛物线的简单几何性质 1（单选）（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解. 【详解】由得，， 由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为， 联立与可得， 设，则，故， 因此，当且仅当时取等号， 故选：C 2（单选）（2023·四川成都·二模）已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（    ） A．32 B． C． D．8 【答案】A 【分析】由题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，由韦达定理可得，再根据抛线的定义即可得答案. 【详解】解：因为抛物线， 所以，， 所以直线的方程为， 由，得， 显然， 设 则有， 所以， 由抛物线定义可知. 故选：A. 3（多选）（22-23高三上·江苏南通·开学考试）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 【答案】BCD 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D. 【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误； 由，即，解得，所以直线与相切，故B正确； 设点，所以， 所以，故C正确； 如图过点作准线，交于点，，， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确； 故选：BCD 4（多选）（23-24高二上·重庆·期末）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 【答案】AC 【分析】联立方程组求得，且，结合选项，结合抛物线的定义和焦点弦，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点， 联立方程组，整理得到，显然， 设，可得， 对于A中，由抛物线的定义，可得，所以A正确； 对于B中，由 ， 所以与不垂直，所以B错误； 对于C中，由，可得， 由抛物线定义，可得， 则，所以C正确； 对于D中，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误. 故选：AC. 5（填空）（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系，利用中点坐标公式可表示出线段中点的坐标，化简，即可得答案. 【详解】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立抛物线方程，得，， 设，则， 设线段中点，则， 即，故线段中点的轨迹方程为，即， 故答案为： 6（解答）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $