大单元复习02 直线和圆的方程专项训练-2025-2026学年高二上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末大单元复习（新高考人教A版专用）

大单元复习02 直线和圆的方程（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 7 【考点1】倾斜角与斜率 7 【考点2】平行与垂直的综合应用 10 【考点3】直线的方程 13 【考点4】对称问题 16 【考点5】直线的交点坐标与距离公式 19 【考点6】圆的标准方程 22 【考点7】圆的一般方程 25 【考点8】与圆有关的最值问题 28 【考点9】直线与圆的位置关系 32 【考点10】圆与圆的位置关系 36 知识梳理 一、直线的倾斜角 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 二、直线的斜率和方向向量 (1)直线的斜率 ①斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝tan__α. ②斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝. (2)直线的方向向量与斜率的关系如下： 若直线l的斜率为k，则其一个方向向量为(1，k)；若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 三、两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 四、两直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 五、直线的点斜式方程 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 六、直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 七、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为＝.叫做直线的两点式方程. 八、直线截距式方程 若直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为＝，即＋＝1.方程＋＝1叫做直线的截距式方程. 九、直线的一般方程 (1)直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. (2)二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 对于直线方程的一般式，有如下约定： (1)方程中等号的左侧从左向右一般按x，y，常数项的先后顺序排列； (2)x的系数为正； (3)x，y的系数和常数项一般不出现分数. 十、两条直线的交点坐标 两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 十一、两直线的位置关系的判断 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 十二、直线系过定点问题 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. (3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 十三、两点间的距离公式 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|＝ 特例 点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ 十四、坐标法 (1)坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 十五、点到直线的距离 (1)概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立. 十六、两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 十七、圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 注意： (1)当圆心在原点即A(0，0)时，方程为x2＋y2＝r2. (2)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. 十八、点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 十九、圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为. 注意： (1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形. (2)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. 二十、直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次 方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 图形 二十一、用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 二十二、圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r2＞r1)，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<r2－r1 r2－r1<d<r1＋r2 d＝r2－r1 d＝r1＋r2 图示 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 消元， 注意： (1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系. (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. (3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线. 热考题型 【考点1】倾斜角与斜率 1（单选）（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 2（单选）（22-23高一下·海南海口·期末）已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 3（单选）（22-23高二上·四川遂宁·期末）直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果. 【详解】设直线的倾斜角为. 因为，，，所以，. 又，则. 当时，单调递增，解，可得； 当时，单调递增，解，可得. 综上所述，. 故选：B. 4（多选）（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作出图形，数形结合求解即可. 【详解】解：根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， 当直线与线段相交时，，， 所以，斜率取值范围是或. 故选：AB 5（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】BC 【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又是在部分图象上的动点，图象如下： 如上图，，则，只有B、C满足. 故选：BC 6（填空）（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 【考点2】平行与垂直的综合应用 1（单选）（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 2（单选）（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可. 【详解】方程可化为，因此该直线的斜率. 方程可化为，因此该直线的斜率， 因为，所以这两条直线相交但不垂直. 故选：B. 3（单选）（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4（多选）（22-23高二上·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 5（多选）（22-23高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 6（填空）（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 【答案】 【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 【考点3】直线的方程 1（单选）（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 2（单选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 3（单选）（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程易得直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 4（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【分析】对于选项A、C、D: 由直线点斜式和斜截式方程定义可判断正误；对于选项B：由直线经过象限可确定，的正负，进而得到点所在象限. 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 5（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 6（填空）53．（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【答案】 【分析】将方程化为，列方程求解即可. 【详解】原方程可变形为， 令，解得， 于是有对，都满足方程， 所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为. 故答案为：. 【考点4】对称问题 1（单选）（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称关系得出直线斜率及直线所过的点即可得解. 【详解】因为，所以， 又的中点在直线l上， 所以直线l的方程为，即， 故选：A 2（单选）（22-23高二上·四川泸州·期末）点与点关于直线l对称，则l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两个定点的中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答. 【详解】过点与点直线的斜率为，则直线l的斜率为， 点与点的中点为， 所以直线l的方程为，即. 故选：B 3（单选）（22-23高二上·重庆北碚·期末）若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点，并求出其关于点对称点即可. 【详解】直线恒过定点， 又关于点对称点为 所以直线恒过的定点为 故选：D. 4（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知点与关于直线l：对称，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线l不过第四象限 C．直线l在两坐标轴上的截距之和大于零 D．直线l的倾斜角 【答案】BC 【分析】根据题意，求出直线的斜率，和点的中点，根据垂直关系可得直线l的方程，进而逐项判断即可. 【详解】根据题意，，点与的中点， 所以直线l的斜率为2，且过点， 则直线l：，即, 所以，A错误； 直线l与两坐标轴的交点分别为， 所以直线过一、二和三象限，故B正确； 又，所以C正确； ，而在上单调递增， 所以直线l的倾斜角大于，D错误. 故选：BC 5（多选）（23-24高二上·广西·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 B．直线的一个方向向量为 C．若点和点关于直线对称，则 D．过点的直线分别交，的正半轴于，，则面积的最小值为8 【答案】BC 【分析】利用直线的点斜式方程的概念求解选项A;利用直线的一般式方程的概念以及方向向量的概念求解选项B；利用点关于直线对称的点的关系求解选项C;利用直线的截距式方程和基本不等式求解选项D. 【详解】对于A，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，故A错误； 对于B，直线的斜率为，一个方向向量为，故B正确； 对于C，因为点和点关于直线对称，所以，解得，故，C正确； 对于D，设直线的方程为，因为直线过点，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当即时， 面积取到最小值为6，故D错误. 故选：BC. 6（填空）（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与直线关于直线对称，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】在直线上任取一点，则点关于直线对称点在直线上，即可求解. 【详解】设直线上任意一点，则点关于直线对称点， 因为直线与直线关于直线对称，所以在直线上， 即，得到直线的一般式方程为 故答案为： 【考点5】直线的交点坐标与距离公式 1（单选）（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点. 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 2（单选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 3（单选）（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解. 【详解】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 4（多选）（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项. 【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 5（多选）（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由已知得， 所以或， 所以直线的方程为或. 故选：AC. 6（填空）（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 【答案】 【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果. 【详解】由题意知，即，解得，故. 故答案为： 【考点6】圆的标准方程 1（单选）（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点坐标公式算出的中点坐标为，且，从而得到所求圆的圆心和半径，可得圆的标准方程. 【详解】因为， 线段的中点为，， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以线段为直径的圆的方程为. 故选：D. 2（单选）（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得. 【详解】设该圆方程为， 则圆心为，有， 将点，代入， 有，化简得， 两式相减得，即有，则， ， 故该圆方程为. 故选：B. 3（单选）（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 4（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可. 【详解】由题意设，，所以， 在中， 如图所示，有两种情况：    故圆心C的坐标为或， 故所求圆的标准方程为 故选：AB. 5（多选）（22-23高二上·江苏·阶段练习）设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 【答案】AB 【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径. 对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确； 对于选项B：令，整理得， 因为，可知方程无解， 所以所有圆均不经过点，故B正确； 对于选项C：令，整理得， 因为，可知方程有两个不同的解， 所以经过点的圆有且只有两个，故C错误； 对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误； 故答案为：AB. 6（填空）（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先设出圆的标准方程，再代入3点，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 【考点7】圆的一般方程 1（单选）（22-23高二下·山东青岛·期中）圆上的点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径. 【详解】圆化为标准方程得， 圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为 所以圆上的点到直线的最大距离为. 故选:C. 2（单选）（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 3（单选）（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 4（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 5（多选）（22-23高二上·湖北·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．过不同两点的直线方程为 C．线段的两个端点和，则以为直径的圆的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ABD 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系，直线两点式方程、直线方程的对称及圆的方程逐项判断即可. 【详解】若一条直线的斜率为，，此时可以为负值， 而直线的倾斜角的范围为，所以A不正确. 由直线的两点式方程可知过不同两点 的直线方程为， 但是两点所在直线不能与坐标轴垂直或平行，故B错误. 根据与 易得圆的方程为：，故C正确. 当截距为时直线方程为，故D错误. 故选：ABD. 6（填空）（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 【考点8】与圆有关的最值问题 1（单选）（2025高二·全国·专题练习）当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般式化为标准式，根据面积最大得，进而判断直线的斜率和倾斜角. 【详解】方程可化为（其中）， 当时，圆的半径最大，即圆的面积最大，此时直线的斜率为1，即倾斜角为. 故选：B 2（单选）（24-25高二下·云南·期中）直线与圆相交于，两点，当面积最大时的值为（    ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据面积公式分析可知当且仅当时，面积取到最大值，再结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为面积， 当且仅当，即为等腰直角三角形时，等号成立， 此时圆心到线的距离，所以. 故选：C. 3（单选）（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（   ） A．8 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的切线长公式以及点到圆的距离的位置关系求解. 【详解】由题，圆，圆， 所以圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 作图如下， 因为, 由几何性质可知，当的坐标为时，有最大值为， 此时最大，最大值为， 故选:C. 4（多选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）对于点和圆，下列说法错误的是（   ） A．点在圆上 B．过点有两条圆的切线 C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为 D．过点被圆截得的弦长为的直线方程为 【答案】ABD 【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系可判断A和B，根据圆的几何性质可判断C，利用圆的弦长公式可求得圆心到直线的距离，进而求得直线方程，即可判断D. 【详解】由题意，因为，所以点在圆内， 则过点不存在圆的切线，故A不正确，B不正确； 圆的圆心，半径， 对于C，根据圆的几何性质可知，当过点被圆截得的弦长最大时，直线经过圆心， 即直线经过点和，此时直线方程为，故C正确； 对于D，当过点的直线斜率不存在时，方程为，与圆交于点和，此时弦长为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 设圆心到弦所在直线的距离为，由，解得，则，解得，直线方程为，故D不正确； 故选：ABD. 5（多选）（23-24高二上·四川达州·期末）已知：，则（    ） A．直线与相切 B．过点的直线被截得的最大弦长为4 C．与圆交点所在的直线方程为 D．与圆外切 【答案】BCD 【分析】A选项，求出圆心到直线的距离与半径相比，得到答案；B选项，由题意得到最大弦长为直径；C选项，两圆相减得到交点弦方程；D选项，求出圆心距与半径之和相等，D正确. 【详解】的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离为， 故直线与相交，A错误； B选项，当过点的直线过圆心时，被截得的弦长最大， 最大弦长为直径4，B正确； C选项，与相减得到， 故与圆交点所在的直线方程为，C正确； D选项，圆的圆心为，半径为1， 由于，故与圆外切，D正确. 故选：BCD 6（填空）（23-24高二上·全国·课后作业）如果圆的方程为，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为 ，圆的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可得出圆半径的表达式，即可得面积最大时的圆心坐标和最大面积. 【详解】由可得， 所以圆心坐标为， 不妨设圆的半径为，即， 易得当时，最大，此时圆的面积最大， 圆的方程即可化为， 所以圆心坐标为，半径的长，圆的面积最大值为. 故答案为：， 【考点9】直线与圆的位置关系 1（单选）（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 2（单选）（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 3（单选）（2024·安徽·一模）已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【详解】设中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C． 4（多选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．的最小值为 C．四边形面积的最小值为4 D．存在点，使得 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合点到直线距离公式及切线长定理，逐项分析判断即可. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误； 对于B，点在圆上，则，B正确； 对于C，由切线长定理知，四边形面积： ， 当且仅当时取等号，因此四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，D错误. 故选：BC 5（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 【答案】ACD 【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程． 【详解】由， 则，得，即恒过定点， 由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确； 令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误； 点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则， 所以，可得，故直线为，故D正确． 故选：ACD． 6（填空）（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 【考点10】圆与圆的位置关系 1（单选）（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，两圆方程相减即可得解. 【详解】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：. 故选：B 2（单选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长． 【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离： ，圆的半径， 公共弦长． 故选：B． 3（单选）（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 4（多选）（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知圆，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆外离，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交 【答案】BCD 【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】. 若和外离，则，解得或，故A错误； 若和外切，，解得，故B正确； 当时，和内切，故C正确； 当时，和相交，故D正确. 故选：BCD 5（多选）（2023·湖南·模拟预测）已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若分别是圆上的动点，则 【答案】BD 【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可. 【详解】由已知得圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ， 故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误； 做差可得与相交弦的方程为 到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误； 若分别是圆上的动点，则，故D正确. 故选：BD 6（填空）（2024·天津·一模）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 . 【答案】 【分析】根据两圆外切，圆心距离等于半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果. 【详解】由得， 将化为标准方程，得，， 因为两圆外切，所以，即，解得. 到直线的距离，如下图：    则直线被圆所截的弦长. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 大单元复习02 直线和圆的方程（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 7 【考点1】倾斜角与斜率 7 【考点2】平行与垂直的综合应用 8 【考点3】直线的方程 9 【考点4】对称问题 10 【考点5】直线的交点坐标与距离公式 11 【考点6】圆的标准方程 11 【考点7】圆的一般方程 12 【考点8】与圆有关的最值问题 13 【考点9】直线与圆的位置关系 14 【考点10】圆与圆的位置关系 15 知识梳理 一、直线的倾斜角 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 二、直线的斜率和方向向量 (1)直线的斜率 ①斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝tan__α. ②斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝. (2)直线的方向向量与斜率的关系如下： 若直线l的斜率为k，则其一个方向向量为(1，k)；若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 三、两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 四、两直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 五、直线的点斜式方程 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 六、直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 七、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为＝.叫做直线的两点式方程. 八、直线截距式方程 若直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为＝，即＋＝1.方程＋＝1叫做直线的截距式方程. 九、直线的一般方程 (1)直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. (2)二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 对于直线方程的一般式，有如下约定： (1)方程中等号的左侧从左向右一般按x，y，常数项的先后顺序排列； (2)x的系数为正； (3)x，y的系数和常数项一般不出现分数. 十、两条直线的交点坐标 两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 十一、两直线的位置关系的判断 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 十二、直线系过定点问题 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. (3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 十三、两点间的距离公式 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|＝ 特例 点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ 十四、坐标法 (1)坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 十五、点到直线的距离 (1)概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立. 十六、两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 十七、圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 注意： (1)当圆心在原点即A(0，0)时，方程为x2＋y2＝r2. (2)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. 十八、点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 十九、圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为. 注意： (1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形. (2)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. 二十、直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次 方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 图形 二十一、用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 二十二、圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r2＞r1)，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<r2－r1 r2－r1<d<r1＋r2 d＝r2－r1 d＝r1＋r2 图示 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 消元， 注意： (1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系. (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. (3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线. 热考题型 【考点1】倾斜角与斜率 1（单选）（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（单选）（22-23高一下·海南海口·期末）已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 3（单选）（22-23高二上·四川遂宁·期末）直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4（多选）（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 6（填空）（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【考点2】平行与垂直的综合应用 1（单选）（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（单选）（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 3（单选）（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4（多选）（22-23高二上·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 5（多选）（22-23高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 6（填空）（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 【考点3】直线的方程 1（单选）（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3（单选）（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 5（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 6（填空）53．（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【考点4】对称问题 1（单选）（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（22-23高二上·四川泸州·期末）点与点关于直线l对称，则l的方程是（    ） A． B． C． D． 3（单选）（22-23高二上·重庆北碚·期末）若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 4（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知点与关于直线l：对称，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线l不过第四象限 C．直线l在两坐标轴上的截距之和大于零 D．直线l的倾斜角 5（多选）（23-24高二上·广西·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 B．直线的一个方向向量为 C．若点和点关于直线对称，则 D．过点的直线分别交，的正半轴于，，则面积的最小值为8 6（填空）（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与直线关于直线对称，则直线的一般式方程为 . 【考点5】直线的交点坐标与距离公式 1（单选）（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 2（单选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 3（单选）（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 4（多选）（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 5（多选）（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 6（填空）（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 【考点6】圆的标准方程 1（单选）（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3（单选）（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 4（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 5（多选）（22-23高二上·江苏·阶段练习）设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 6（填空）（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 【考点7】圆的一般方程 1（单选）（22-23高二下·山东青岛·期中）圆上的点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 2（单选）（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3（单选）（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 4（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 5（多选）（22-23高二上·湖北·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．过不同两点的直线方程为 C．线段的两个端点和，则以为直径的圆的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 6（填空）（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【考点8】与圆有关的最值问题 1（单选）（2025高二·全国·专题练习）当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高二下·云南·期中）直线与圆相交于，两点，当面积最大时的值为（    ） A．2 B．4 C．3 D． 3（单选）（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（   ） A．8 B．7 C． D． 4（多选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）对于点和圆，下列说法错误的是（   ） A．点在圆上 B．过点有两条圆的切线 C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为 D．过点被圆截得的弦长为的直线方程为 5（多选）（23-24高二上·四川达州·期末）已知：，则（    ） A．直线与相切 B．过点的直线被截得的最大弦长为4 C．与圆交点所在的直线方程为 D．与圆外切 6（填空）（23-24高二上·全国·课后作业）如果圆的方程为，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为 ，圆的面积的最大值为 . 【考点9】直线与圆的位置关系 1（单选）（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 3（单选）（2024·安徽·一模）已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（多选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．的最小值为 C．四边形面积的最小值为4 D．存在点，使得 5（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 6（填空）（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【考点10】圆与圆的位置关系 1（单选）（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 3（单选）（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4（多选）（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知圆，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆外离，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交 5（多选）（2023·湖南·模拟预测）已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若分别是圆上的动点，则 6（填空）（2024·天津·一模）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $