大单元复习01 空间向量与立体几何专项训练-2025-2026学年高二上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

大单元复习01 空间向量与立体几何（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】空间向量及其运算 9 【考点2】空间向量基本定理 10 【考点3】空间向量及其运算的坐标表示 11 【考点4】用空间向量研究直线、平面的位置关系 12 【考点5】利用空间向量研究异面直线的夹角 14 【考点6】利用空间向量研究线面角 15 【考点7】利用空间向量研究面面角 18 【考点8】利用空间向量研究空间距离 20 【考点9】利用空间向量研究空间折叠问题 22 【考点10】利用空间向量研究探究性问题 24 知识梳理 一、空间向量的有关概念 (1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模. (3)表示法 ①字母表示法：用字母a，b，c，…表示； ②几何表示法：空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. (4)特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 二、空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 三、空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律　 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 四、空间向量共线的充要条件 (1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 ①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. ②直线可以由其上一点和它的方向向量表示. 五、空间向量共面的充要条件 (1)向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 六、空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 七、空间向量的数量积及性质 　(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉. (2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2. (3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②a·b＝b·a； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 八、向量a的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影： 如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. (2)向量a向直线l投影如图(2). (3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量. 九、证明平行、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 十、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 十一、求距离(长度)问题 　|a|＝(||＝). 十二、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. (2)空间直角坐标系的画法 ①空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. ②右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 十三、空间直角坐标系中的坐标 (1)点的坐标：在单位正交基底{i，j，k}下与向量＝xi＋yj＋zk对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. (2)向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). 十四、空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. (2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 十五、空间向量平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则有： 平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R). 垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 十六、夹角和长度的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝＝. (2)空间两点间距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 P1P2＝||＝. 十七、空间中点、直线的向量表示 (1)点的位置向量 在空间，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. (2)空间直线的向量表示式 ①设a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，(Ⅰ) 将＝a代入①式，得＝＋t，(Ⅱ) (Ⅰ)和(Ⅱ)都称为空间直线的向量表示式. ②性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 十八、空间平面的向量表示 空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y. 我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 十九、平面的法向量 平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}. 二十、直线和直线平行 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 二十一、直线与平面平行 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 二十二、平面与平面平行 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 二十三、直线和直线垂直 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 二十四、直线与平面垂直 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 二十五、点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l的上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝. 二十六、点到平面的距离 已知平面α的法向量是n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离PQ＝|·|＝||＝. 二十七、直线(平面)到平面的距离 (1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. (2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 二十八、两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 二十九、直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 三十、两个平面的夹角 二面角 (1)两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角. (2)两平面夹角的计算 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 热考题型 【考点1】空间向量及其运算 1（单选）（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 2（单选）（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 3（单选）（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 4（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 5（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 6（填空）（24-25高二上·山东泰安·开学考试）若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【考点2】空间向量基本定理 1（单选）（23-24高二上·山西·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 2（单选）（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 3（单选）（23-24高一下·天津·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4（多选）（24-25高二上·湖南·开学考试）如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（    ） A． B． C． D． 5（多选）（23-24高二上·广东深圳·期中）下面四个结论正确的是（ ） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 6（填空）（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 . 【考点3】空间向量及其运算的坐标表示 1（单选）（23-24高二上·天津河西·阶段练习）以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2（单选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 3（单选）（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2024高二上·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 5（多选）（22-23高二下·江苏宿迁·期中）若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 6（填空）（25-26高二上·黑龙江·开学考试）向量，，则在上的投影向量的坐标为 【考点4】用空间向量研究直线、平面的位置关系 1（单选）（24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 2（单选）（2022·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．// B． C．//平面 D．平面 3（单选）（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4（多选）（24-25高二上·福建福州·开学考试）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 5（多选）（22-23高二下·江苏南通·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．已知向量，则在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若直线的方向向量为平面的法向量，则直线 6（填空）（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ． 【考点5】利用空间向量研究异面直线的夹角 1（单选）（2025·福建·模拟预测）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3（单选）（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 4（多选）（22-23高二上·山东滨州·阶段练习）如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为 C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为 5（多选）（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）在三棱锥中，，则（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 6（填空）（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【考点6】利用空间向量研究线面角 1（解答）（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 2（解答）（2023·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． (1)证明：平面平面PBC； (2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离． 3（解答）（2025·河北衡水·模拟预测）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.    (1)证明：平面平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 4（解答）（2022·北京东城·一模）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.    (1)求证：； (2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 5（解答）（2024·天津河东·一模）在正方体中（如图所示），边长为2，连接    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由． 6（解答）（23-24高三上·北京·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，.以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【考点7】利用空间向量研究面面角 1（解答）（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．      (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 2（解答）（24-25高三上·天津西青·阶段练习）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 3（解答）（2023·北京房山·一模）如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. (1)求证：平面PBD； (2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； (3)求D到平面APM的距离. 4（解答）（2025·江苏南京·二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 5（解答）（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 6（解答）（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【考点8】利用空间向量研究空间距离 1（解答）（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 2（解答）（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 3（解答）（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 4（解答）（2024·江苏南通·一模）如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求点E到平面的距离． 5（解答）（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点    (1)证明：平面； (2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 6（解答）（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 【考点9】利用空间向量研究空间折叠问题 1（解答）（23-24高二下·江苏宿迁·期末）在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值． 2（解答）（25-26高三上·安徽·阶段练习）折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动.“菱角”折纸教程：如图1，将一张长方形的纸条用虚线分成6个全等的等腰直角三角形，沿着虚线折叠便可得到一个如图2所示的“菱角”.      (1)证明：平面； (2)试判断该“菱角”所有的顶点是否在同一个球面上，并说明理由； (3)求二面角的余弦值. 3（解答）（2025高三·全国·专题练习）如图①，在凹五边形ABCDE中，，．如图②，将沿CE折叠到的位置，使，． (1)证明：平面平面ABCE； (2)若P为EF的中点，求二面角的余弦值． 4（解答）（2025·辽宁·二模）如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 5（解答）（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）如右图所示，五边形ABCED中，，，连接，将三角形和分别沿折叠，使点A和点E重合，将重合的点记作点P． (1)若，求证：； (2)若面与面的夹角余弦值为，求的长． 6（解答）（24-25高三上·山西·期末）如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【考点10】利用空间向量研究探究性问题 1（解答）（24-25高二上·北京·期中）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2（解答）（24-25高二上·天津和平·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 3（解答）（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (2)求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值； (3)N为AD中点，线段PC上是否存在动点M（不包括端点），使得点P到平面BMN距离为. 4（解答）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在长方体中，，为线段中点． (1)求直线与直线所成的角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 5（解答）（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 6（解答）（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．    (1)求证：⊥平面； (2)已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 大单元复习01 空间向量与立体几何（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】空间向量及其运算 9 【考点2】空间向量基本定理 12 【考点3】空间向量及其运算的坐标表示 16 【考点4】用空间向量研究直线、平面的位置关系 19 【考点5】利用空间向量研究异面直线的夹角 24 【考点6】利用空间向量研究线面角 30 【考点7】利用空间向量研究面面角 43 【考点8】利用空间向量研究空间距离 54 【考点9】利用空间向量研究空间折叠问题 63 【考点10】利用空间向量研究探究性问题 73 知识梳理 一、空间向量的有关概念 (1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模. (3)表示法 ①字母表示法：用字母a，b，c，…表示； ②几何表示法：空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. (4)特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 二、空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 三、空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律　 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 四、空间向量共线的充要条件 (1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 ①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. ②直线可以由其上一点和它的方向向量表示. 五、空间向量共面的充要条件 (1)向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 六、空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 七、空间向量的数量积及性质 　(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉. (2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2. (3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②a·b＝b·a； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 八、向量a的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影： 如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. (2)向量a向直线l投影如图(2). (3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量. 九、证明平行、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 十、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 十一、求距离(长度)问题 　|a|＝(||＝). 十二、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. (2)空间直角坐标系的画法 ①空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. ②右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 十三、空间直角坐标系中的坐标 (1)点的坐标：在单位正交基底{i，j，k}下与向量＝xi＋yj＋zk对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. (2)向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). 十四、空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. (2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 十五、空间向量平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则有： 平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R). 垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 十六、夹角和长度的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝＝. (2)空间两点间距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 P1P2＝||＝. 十七、空间中点、直线的向量表示 (1)点的位置向量 在空间，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. (2)空间直线的向量表示式 ①设a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，(Ⅰ) 将＝a代入①式，得＝＋t，(Ⅱ) (Ⅰ)和(Ⅱ)都称为空间直线的向量表示式. ②性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 十八、空间平面的向量表示 空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y. 我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 十九、平面的法向量 平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}. 二十、直线和直线平行 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 二十一、直线与平面平行 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 二十二、平面与平面平行 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 二十三、直线和直线垂直 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 二十四、直线与平面垂直 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 二十五、点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l的上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝. 二十六、点到平面的距离 已知平面α的法向量是n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离PQ＝|·|＝||＝. 二十七、直线(平面)到平面的距离 (1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. (2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 二十八、两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 二十九、直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 三十、两个平面的夹角 二面角 (1)两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角. (2)两平面夹角的计算 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 热考题型 【考点1】空间向量及其运算 1（单选）（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 2（单选）（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【详解】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 故选：A. 3（单选）（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合. 【详解】是的中点，，又，由，. 故选：. 4（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确； 对于选项B:因为， 所以，即, 由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确； 对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直， 四点不一定共面，故选项C错误； 对于选项D:若，则直线平行或重合， 故四点共面, 故选项D正确． 故选：ABD. 5（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 【详解】选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 6（填空）（24-25高二上·山东泰安·开学考试）若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【答案】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 【考点2】空间向量基本定理 1（单选）（23-24高二上·山西·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可． 【详解】对于A，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，假设，，共面，则存在实数，使得， 由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为， 但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，不能构成空间的一个基底． 故选：C． 2（单选）（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合几何图形，利用给定的基底表示向量. 【详解】在三棱柱中，. 故选：B 3（单选）（23-24高一下·天津·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理，得到答案. 【详解】，点为中点， . 故选：D 4（多选）（24-25高二上·湖南·开学考试）如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解. 【详解】， 即，故A错误、B正确； ， 即，故C错误，D正确. 故选：BD. 5（多选）（23-24高二上·广东深圳·期中）下面四个结论正确的是（ ） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 【答案】BC 【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确；   对于B中，因为，则，即， 又因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，由是空间的一组基底，且， 令，可得，此时方程组无解，所以不共面， 所以可以作为一个空间基底，所以C正确； 对于D中，若为钝角，则，且与不共线， 由，解得，当时与平行时，由，解得， 当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误. 故选：BC 6（填空）（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 . 【答案】 /0.5 【分析】利用三棱柱模型，选择一组空间基底，将相关向量分别用基底表示，再利用平面，确定必共面，运用空间向量共面定理表达，建立方程组计算即得. 【详解】 如图，不妨设，依题意，, ， 因，则 又因平面，故必共面， 即存在，使，即， 从而有，解得. 故答案为：. 【考点3】空间向量及其运算的坐标表示 1（单选）（23-24高二上·天津河西·阶段练习）以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可. 【详解】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然， 对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底； 对于B，令，则，不成立，即不共面，可构成基底； 对于C，令，则，即无解，即不共面，可构成基底； 对于D，令，则，即无解，即不共面，可构成基底. 故选：A 2（单选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 3（单选）（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 4（多选）（2024高二上·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 【答案】CD 【分析】根据已知条件及对称性，结合中点坐标公式即可求解. 【详解】A选项，点关于原点的对称点的坐标为，故A错误； B选项，点关于y轴对称的点的坐标是；故B错误； C选项，点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； D选项，已知点与点，则AB的中点坐标是，故D正确. 故选：CD. 5（多选）（22-23高二下·江苏宿迁·期中）若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】依题意可得且与不同向，根据数量积的坐标表示得到不等式，求解即可. 【详解】因为与的夹角为锐角， 所以，解得， 当与共线时，，解得，所以实数x的取值范围是， 经检验，选项C、D符合题意. 故选：CD 6（填空）（25-26高二上·黑龙江·开学考试）向量，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故答案为： 【考点4】用空间向量研究直线、平面的位置关系 1（单选）（24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【答案】C 【分析】A选项，求出，设，无解，A错误；B选项，利用进行求解；C选项，计算出，得到垂直关系，进而得到C正确；D选项，求出，利用夹角余弦公式得到D错误. 【详解】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C 2（单选）（2022·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．// B． C．//平面 D．平面 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答. 【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，是底面的中心，分别是的中点， 则，，， 对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确； 对于B，因，则，即，B正确； 对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确； 对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确. 故选：B 3（单选）（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D 4（多选）（24-25高二上·福建福州·开学考试）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 5（多选）（22-23高二下·江苏南通·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．已知向量，则在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若直线的方向向量为平面的法向量，则直线 【答案】ABC 【分析】利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足，其中判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D. 【详解】因为， 所以在上的投影向量为，故A对； 因为，且，则P，A，B，C四点共面， 因为，所以P，A，B，C四点共面，故B对； 是空间的一组基底，若，所以两向量之间不共线， 所以也是空间的一组基底，故C对； 因为直线的方向向量为平面的法向量， 且，则直线或，故D错； 故选：ABC 6（填空）（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ． 【答案】7 【分析】根据题意可得，求出，从而可求出结果. 【详解】因为、、， 所以， 因为向量是平面的一个法向量， 所以，解得， 所以. 故答案为：7 【考点5】利用空间向量研究异面直线的夹角 1（单选）（2025·福建·模拟预测）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 2（单选）（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用计算出与所成的角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 则与所成的角的余弦值为 . 故选：D 3（单选）（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可． 【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，    设正方体的棱长为2，则， 所以 设向量与的夹角为， 则， 所以直线和夹角的余弦值为， 故选：C． 4（多选）（22-23高二上·山东滨州·阶段练习）如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为 C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为 【答案】BCD 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，，，， A选项：，平面的法向量， 设直线与底面所成的角为， 则， 直线与底面所成的角不为，故A错误； B选项：，， 设平面的法向量，则，令，则 设平面与底面的夹角为， 则， 平面与底面夹角的余弦值为，故B正确； C选项，， 直线与直线的距离为：，故C正确； D选项，，平面，平面， 又，平面的法向量， 直线与平面的距离为：，故D正确； 故选：BCD. 5（多选）（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）在三棱锥中，，则（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】由空间两点间的距离公式判断A ；利用数量积求夹角判断 B ；由数量积为0 判断 C ；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 6（填空）（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】/ 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    则，，，， 所以，， 所以， 则直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 【考点6】利用空间向量研究线面角 1（解答）（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由直棱柱的性质可得平面，则，而则由线面垂直的判定可得平面，则，而，则平面，再由线面垂直的性质可得结论； （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【详解】（1）证明：连接，    因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形， 所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，则． （2）因为直三棱柱中，， 所以，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则， 令可得． 设与平面所成角为， 所以， 即与平面成角的正弦值为， 所以与平面成角的余弦值为． 2（解答）（2023·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． (1)证明：平面平面PBC； (2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明； (2)利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解. 【详解】（1）方法一： 因为底面ABCD，平面ABCD， 所以． 因为ABCD为正方形，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． 因为平面PAB，所以． 因为，E为线段PB的中点， 所以， 又因为，平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC． 又因为平面AEF， 所以平面平面PBC． 方法二： 因为底面ABCD，平面PAB， 所以平面底面ABCD 又平面底面，，平面ABCD， 所以平面PAB． 因为平面PAB，所以． 因为，E为线段PB的中点，所以． 因为，平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC， 又因为平面AEF， 所以平面平面PBC 解法三：因为底面ABCD，， 以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则， 设，则， 所以，，，， 设为平面AEF的法向量， 则所以取，则，， 则， 设为平面PBC的法向量， 则所以取，则， ， 则 因为，所以, 所以平面平面PBC. （2）（基于（1）解法一、二） 因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则， 易知是平面PAB的法向量 设，则，所以，， 所以 即，得，所以， 设为平面AEF的法向量，则 所以平面AEF的法向量， 又因为 所以点P到平面AEF的距离为， 所以点P到平面AEF的距离为． （另解）由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角， 所以 解得，故F是BC的中点． 所以，， 的面积为 因为，的面积为 设点P到平面AEF的距离为h，则有 解得 所以点P到平面AEF的距离为． （基于（1）解法三） 易知是平面PAB的法向量 所以， 即，解得 所以， 又因为 所以点P到平面AEF的距离为， 所以点P到平面AEF的距离为． 3（解答）（2025·河北衡水·模拟预测）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.    (1)证明：平面平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥， 因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆， 因为底面圆，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； （2）因为⊥底面圆，圆， 所以⊥，⊥， 所以为二面角的平面角， 故，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故，， ， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则，    直线与平面所成角的正弦值为. 4（解答）（2022·北京东城·一模）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.    (1)求证：； (2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明过程见解析； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系： ， ，因为， 所以，即， （2）设平面的法向量为， ， 所以有， 因为直线与平面所成角为， 所以， 解得，即，因为， 所以点到平面的距离为： .   【点睛】 5（解答）（2024·天津河东·一模）在正方体中（如图所示），边长为2，连接    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，3. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合，得到平行关系； （2）求出平面的法向量，得到二面角的余弦值； （3）设，且，利用线面角的正弦值得到方程，求出或，求出. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，    则． 平面的法向量为， ，令，则， ， 平面； （2）平面的法向量为， ，令，则， 平面与平面夹角为， ； （3）设，且， 与平面所成角为， ， 即， 解得或，故或， 所以. 6（解答）（23-24高三上·北京·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，.以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)存在，，理由见解析. 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设出，利用线面角的正弦值列出方程，求出答案. 【详解】（1）将直角梯形绕着旋转得到直角梯形， 故且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，，， 所以两两垂直， 故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，设， 则， 设，则，设， 则，解得，故， 当时，此时与重合，直线和平面垂直， 不满足所成角的正弦值为，舍去； 当时，设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设直线和平面所成角的正弦值为， 则， 解得或（舍去）， 综上，在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为， 此时. 【考点7】利用空间向量研究面面角 1（解答）（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．      (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【详解】（1）由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 即， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为； （2）由上易知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 所以点到平面的距离为； （3）由上可知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值. 2（解答）（24-25高三上·天津西青·阶段练习）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2）因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离. 易知，则点A到平面的距离为. （3）易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面的夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 3（解答）（2023·北京房山·一模）如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. (1)求证：平面PBD； (2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； (3)求D到平面APM的距离. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，M为BC的中点， 所以， 因为四棱锥的底面是矩形， 所以， 所以，所以， 而，即， 因为底面ABCD，底面ABCD， 所以，而平面PBD， 所以平面PBD； （2）因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为因为四棱锥的底面是矩形， 所以，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量为， 设平面APM的法向量为， ，， 于是有， 平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为； （3）由（2）可知平面APM的法向量为，， 所以D到平面APM的距离为 4（解答）（2025·江苏南京·二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【详解】（1）连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2）取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 5（解答）（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在实数，理由见解析 【分析】（1）由线线垂直得到线面垂直，进而得到，再由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由二面角的余弦值得到方程，求出答案. 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以. 因为，，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以，即. 因为，平面，且，所以平面. （2）取棱的中点，连接，因为四边形是菱形，， 所以为等边三角形，故⊥， 又平面，平面， 所以，，故，，两两垂直， 故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.    设，则，，，， 故，，， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，得. 平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为， 则， 整理得，解得或（舍去）. 故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是. 6（解答）（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)点到平面的距离为. 【分析】（1）先证四边形为正方形，得到，再证平面，从而得到，即可证明平面； （2）建系，设边长，写出相应点和向量的坐标，求出两个平面的法向量，利用二面角的余弦值列式子，求出的长度，再利用点到平面的距离公式，求出点到平面的距离. 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质可知，，四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为正方形，所以， 因为，，， 所以平面， 所以， 因为， 所以， 又因为平面 所以平面. （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 取，则，， 所以， 设二面角的大小为， 则，解得， 所以，平面的一个法向量， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 【考点8】利用空间向量研究空间距离 1（解答）（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 2（解答）（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 3（解答）（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可； （3）求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【详解】（1）证明：因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面； （2）由于平面， 所以平面， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为， 又平面的法向量为， 所以点到平面的距离为． 4（解答）（2024·江苏南通·一模）如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求点E到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可求解. 【详解】（1）因为为直三棱柱，所以， 又D，E，分别为AB，BC的中点，所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）    因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，且，则， 则，， 由可得，即，且，解得， 设，则，即， 设平面的法向量为， 则，解得，取，则， 所以平面的一个法向量为， 又，即， 所以点E到平面的距离. 5（解答）（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点    (1)证明：平面； (2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示，   为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. （2），易知，又，得. 由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有. 如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，    则有，， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，有，得， ， 设点到平面的距离为， . 6（解答）（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （3）求出向量，再由向量法求解. 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 【考点9】利用空间向量研究空间折叠问题 1（解答）（23-24高二下·江苏宿迁·期末）在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用即可向量法计算可得； 【详解】（1）解：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，令，则，，所以， 设直线与平面所成角为，则 （2）解：依题意可得，则， 设平面的法向量为，所以，令，则， 则，显然二面角的锐二面角， 所以二面角的余弦值为； 2（解答）（25-26高三上·安徽·阶段练习）折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动.“菱角”折纸教程：如图1，将一张长方形的纸条用虚线分成6个全等的等腰直角三角形，沿着虚线折叠便可得到一个如图2所示的“菱角”.      (1)证明：平面； (2)试判断该“菱角”所有的顶点是否在同一个球面上，并说明理由； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）首先利用线面垂直证明得平面，则，同理得，最后利用线面垂直的判定即可证明； （2）假设所有顶点在同意球面上，计算得即可得到矛盾点，则证明结论； （3）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后利用面面角的空间向量求法即可得到答案. 【详解】（1）由题可知，，平面， 则平面，平面，所以，同理可得． 因为，平面，所以平面． （2）由题可知，该＂菱角＂由两个正三棱锥组成，且． 根据对称性，可知，在平面内的投影为的中心． 若该＂菱角＂所有的顶点在同一个球面上，则为球心，连接． 不妨令，则，. 因为，所以该＂菱角＂所有的顶点不在同一个球面上． （3）由（2）知的中心为，过作的平行线，易得该直线与两两垂直． 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 令，得， 则. 设平面的法向量为， 由，可得，令，得， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，得． ， 由图可知．二面角为锐角，故二面角的余弦值为.    3（解答）（2025高三·全国·专题练习）如图①，在凹五边形ABCDE中，，．如图②，将沿CE折叠到的位置，使，． (1)证明：平面平面ABCE； (2)若P为EF的中点，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明，，根据线面垂直的判定即可得到平面ABF，继而得到平面平面ABCE； （2）以G为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用法向量夹角与二面角的关系即可求解. 【详解】（1）如图，连接BE，由，， 知为等边三角形，则， 又，，所以． 过点F作于G，连接， 则，且． 又，所以． 又，AB，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由（1）知AB，GE，GF两两垂直，故以G为坐标原点，AB，GE，GF所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz． 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 则，令，得，故． 设平面的法向量为， 则， 令，得，故． 所以， 由图可知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 4（解答）（2025·辽宁·二模）如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，连接，即可证明四边形是菱形，从而得到，即可得到，从而证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）图1中，连接，交于点，连接， 为AB中点，， 又，，四边形是菱形， ， 所以在图2中，，又平面，， 平面， 又平面，； （2）以中点为坐标原点，为轴，为轴，过点做垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系． 则， 所以，，， 设平面的法向量， 由，有，， 令，则， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为； 5（解答）（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）如右图所示，五边形ABCED中，，，连接，将三角形和分别沿折叠，使点A和点E重合，将重合的点记作点P． (1)若，求证：； (2)若面与面的夹角余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用梯形去证明底面上的垂直关系，从而可得线面垂直，再证明线线垂直即可； （2）利用恰当建系，设两个未知点的坐标，通过模长和垂直建立相等关系，再通过二面角夹角的大小再建立一个相等关系，从而通过方程组思想来求解即可. 【详解】（1）由，知 ， 由，结合余弦定理得， 则，所以， 又因为，即，又由平面， 所以平面，又因为平面，所以， （2） 以B为原点，以平面为平面，建立如图所示得空间直角坐标系， 有，设，， 可得， 由，两式消元可得， 再由， 再由， 设面PBC法向量为， 则， 令，则，，则， 而平面BCD法向量为， 由, 整理得：， 代入可得， 再与联立解得：或， 当时，代入 当时，代入，所以此时不成立，则舍去， 综上可得. 6（解答）（24-25高三上·山西·期末）如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）取的中点，连接，可得出平面，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，点为的中点，所以， 因为平面平面ABD，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 因为，，所以是等边三角形，所以， 所以，所以，即， 又平面，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接，则， 又因为平面，则平面， 因为，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、，、、、， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【考点10】利用空间向量研究探究性问题 1（解答）（24-25高二上·北京·期中）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，. 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形是菱形，，得到，证明出平面，再证明出四边形是平行四边形，故，所以平面； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面与平面夹角余弦值； （3）假设线段上存在点，使得平面，作出辅助线，得到四点共面，四边形为平行四边形，所以，所以是的中点，求出. 【详解】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以， 又，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有 又平面，所以平面， 由题意，易知，所以四边形是平行四边形， 故，所以平面. （2）因为平面，平面，则有， 由（1）知，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为； （3）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 2（解答）（24-25高二上·天津和平·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行和边长关系，故四边形为平行四边形，，从而证明出线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出面面角的余弦值； （3）设，，求出，在（2）基础上，平面的一个法向量，利用点到平面的距离向量公式得到方程，求出，求出. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为棱PC的中点，所以且， 又，故， 又，故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 所以平面； （2）平面平面，交线为，又，平面， 故平面， 因为平面，所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，故， 设平面PDM和平面BDM的夹角为， 则； （3）设，，， 故，所以， 故， 由（2）知平面的一个法向量为， 点到平面BDM的距离是， 解得或（舍去）， 此时 若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 3（解答）（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (2)求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值； (3)N为AD中点，线段PC上是否存在动点M（不包括端点），使得点P到平面BMN距离为. 【答案】(1) (2) (3)存在. 【分析】（1）证明出，，，建立的空间直角坐标系，求得向量，平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由平面PBA的一个法向量，和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，则，则可得平面的一个法向量，通过点到平面距离的公式，得到参数表示的一个代数式，结合题意即可求解. 【详解】（1）因为平面，且平面，所以，， 又因为，所以， 因为与底面所成的角为，所以，故， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示， 因为，，可得，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，可得， 取，则，可得， 设PB与平面PCD所成的角为， 则， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为. （2）根据题意，平面PBA的一个法向量， 由（1）知，平面的一个法向量为， 则， 所以平面PBA与平面所成的锐二面角的余弦值为. （3）因为N为AD中点，所以， 设，，则， 解得，故， ∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， ∵， ∴点到平面距离为， 所以， 综上，存在点到平面距离为. 4（解答）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在长方体中，，为线段中点． (1)求直线与直线所成的角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)0 (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，求出，得到异面直线夹角余弦值为0； （2）设，求出平面的一个法向量，根据得到方程，求出，故存在点，使得平面，此时. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 故， 则， 故直线与直线所成的角的余弦值为0； （2）存在满足要求的点，理由如下： 设棱上存在点，使得平面， ，则， 设平面的一个法向量为， 则， 取得，故， 要使平面，则， 即，所以， 解得， 故存在点，使得平面，此时. 5（解答）（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，位于的中点处，证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形是平行四边形，所以，从而得到线面平行； （2）先根据面面垂直得到线面垂直，是四棱锥的高，设，根据体积求出，建立空间直角坐标系，设，由线面角得到方程，求出，得到答案. 【详解】（1）取中点，连接， ∵分别为的中点， ，， ∵底面四边形是矩形，为棱的中点， ，， ，， 故四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面， ∴平面.    （2）假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 平面，则是四棱锥的高. 设，则，矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，      故. 设， ， 设平面的一个法向量为， 则，令得，， . 由题意可得， 整理得，解得或，又因为，所以， 故存在点，位于的中点处满足题意. 6（解答）（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．    (1)求证：⊥平面； (2)已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）根据三线合一得到线线垂直，进而由平面，得到，证明出线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，由点到平面距离公式得到方程，求出线段的长. 【详解】（1）因为是正三角形，为的中点， 所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以⊥平面； （2）连接，因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 因为底面是边长为4的正方形，则两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 则到平面的距离为，    解得，故，故. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $