精品解析：四川省成都市石室天府中学（锦城湖校区）2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

四川省成都市石室天府中学（锦城湖校区）2025-2026学年九年级上学期10月月考 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 2. 在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是 （    ） A. 1，3，20，30 B. 1，2，3，2 C. 1，2，3，4 D. ，10，10， 3. 若，且对应高的比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ） 0 1 2 5 A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 10. 已知，那么的值是 _____． 11. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 12. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，把缩小到原来的，则点E的对应点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. （1）计算： ； （2）解方程：  ． 15. 已知关于 x 的一元二次方程 ． （1）若方程有两个实数根，求 m 的取值范围； （2）在（1）中，设  是该方程的两个根，且 ，求 m 的值． 16. 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图； （2）“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____； （3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 17. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 18. 在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为_______个． 20. 是关于的方程的两实数根，且，则的值为___________． 21. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．若长方体的长、宽、高分别为5，2，3，则图①中截面的面积为______． 22. 第24届国际数学家大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的＂赵爽弦图＂，如图，如果这四个全等的直角三角形有一个角为，顶点 、…和、… 分别在直线 和 x 轴上，图中阴影部分正方形的面积从左到右依次记为、…、，则 的值为_______． 23. 在平面直角坐标系中，，过点 B 作直线l x 轴，点  是直线上的动点，以 为边在右侧作等腰，，直线  交 y 轴于点 C ．当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当  ______时，的值最小为  ______ ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． （1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 25. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，． （1）如图1，求所在直线解析式； （2）如图2，D为上一点，将沿折叠，使点C落在对角线上的点F处，动点P从点B出发，沿B﹣A﹣O方向以5个单位长度/秒的速度匀速移动，到终点O停止，设点P运动时间为t秒，的面积为S，求出S与t的关系式，并写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，第一象限内是否存在点Q，使得以P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在菱形中，点是边上一动点（且与点、不重合），连接交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求证； （3）过点作交于点，记．为，为，， ①求证：； ②求与之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市石室天府中学（锦城湖校区）2025-2026学年九年级上学期10月月考 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程整理为后，通过因式分解法求解，即可作答． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：C． 2. 在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是 （    ） A. 1，3，20，30 B. 1，2，3，2 C. 1，2，3，4 D. ，10，10， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，比较最大数与最小数的积与另外两个数的积的大小关系进行判断即可． 【详解】解：A、，四条线段不成比例，不符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段不成比例，不符合题意； D、，四条线段成比例，符合题意； 故选D． 3. 若，且对应高的比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵，且对应高的比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比． 故选：A． 4. 如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，不一定成立，不一定成立，，一定成立， 故选：D． 5. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键． 由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 6. 小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ） 0 1 2 5 A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 【详解】解：当时，； 当时，， ∵更接近于0， ∴方程的一个解得整数部分是1， 故选：C． 7. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选：B． 8. 如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若． 【详解】解：， 若与相似，可分两种情况： ①若， 则， ； 解得． ②若， 则， ， 解得或6． 则满足条件的长为2.8或1或6． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 10. 已知，那么的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 11. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此可得答案． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 过点作，垂足为，延长交 于点，证明 ， 从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答. 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得： ∴， ， ，即， 解得： ∴小孔到 的距离为， 故答案为：. 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，把缩小到原来的，则点E的对应点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可． 【详解】解：以原点为位似中心，把缩小到原来的，点， 点的对应点的坐标为或， 即或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. （1）计算： ； （2）解方程：  ． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）进行负整数指数幂，取绝对值，开方和零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， 解得． 15. 已知关于 x 的一元二次方程 ． （1）若方程有两个实数根，求 m 的取值范围； （2）在（1）中，设  是该方程的两个根，且 ，求 m 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有2个实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数之间的关系，得到，根据，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，， 解得； 【小问2详解】 由题意，得：， ∵， ∴，解得． 16. 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图； （2）“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____； （3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【答案】（1）， 补全条形图如图： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数，再求出C等级学生人数，再补全条形统计图即可； （2）用乘以B等级所占的比例即可解答； （3）先画出树状图确定所有等可能结果数以及两人恰好都是男生的情况数，再运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（名）． C等级学生人数为：（人）． 故答案为：50． 【小问2详解】 解：测试结果为等级的学生数为20名， ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：画出树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2． 所以抽取的两人恰好都是男生的概率为． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图、画条形统计图、求扇形统计图圆心角等知识点，从统计图中获取所需信息是解题关键． 17. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 18. 在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全图形如图1所示： （2） （3） 解：，证明如下： 如图2，作，交的延长线于点H，连接． ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）依题意补全图形即可； （2）设，利用正方形和翻折的性质得到，，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数； （3）作，交的延长线于点H，连接，利用正方形和翻折的性质证明，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． 四边形是正方形， ，， ， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ， ， ． 【小问3详解】 略 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为_______个． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，发现摸到白球的频率稳定于0.8， ∴发现摸到白球的频率稳定于0.8， 设白球的个数有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴估计箱子里白球的个数为16． 故答案为：16． 20. 是关于的方程的两实数根，且，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，进而根据已知条件可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的方程的两实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 21. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．若长方体的长、宽、高分别为5，2，3，则图①中截面的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用一个平面截几何体的截面面积，勾股定理，解题关键是找到截面的形状． 截面是一个矩形，已知长方体的长宽高，就可以根据勾股定理求出的长，就可以求出矩形的面积． 【详解】解：图①中的截面即矩形的面积， ∵为直角三角形， 由勾股定理得：， ∴面积为：． 故答案为：． 22. 第24届国际数学家大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的＂赵爽弦图＂，如图，如果这四个全等的直角三角形有一个角为，顶点 、…和、… 分别在直线 和 x 轴上，图中阴影部分正方形的面积从左到右依次记为、…、，则 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数中的规律探究，含30度的直角三角形，勾股定理，设正方形的边长为，根据含30度角的直角三角形的性质，得到直角三角形的边长为，进而得到阴影部分正方形的边长为，得到阴影部分正方形的面积为，分别求出的坐标得到的值，推出规律，进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，即四个全等的直角三角形的斜边长为， ∵这四个全等的直角三角形有一个角为， ∴直角三角形的两条直角边的长分别为， ∴阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分正方形的面积为， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴第一个正方形的边长， ∴； 当时，， ∴第二个正方形的边长为， ∴， 同理： ， ∴； 故答案为：． 23. 在平面直角坐标系中，，过点 B 作直线l x 轴，点  是直线上的动点，以 为边在右侧作等腰，，直线  交 y 轴于点 C ．当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当  ______时，的值最小为  ______ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作轴，，证明，求出点坐标，确定点轨迹为直线，作关于该直线的对称点，连接，当点在直线上时，的长最小，为的长，进行求解即可． 【详解】解：作轴，，则：， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， 令，则：， ∴， ∴点在直线上运动， 设直线与轴分别交于点，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接，则，，， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴当点在直线上时，的长最小，为的长， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立，解得， 故当，即，解得时，的值最小为； 故答案为：，． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． （1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，具体涉及以下知识点：增长率/下降率问题模型，销售利润问题分析，考查了对实际问题的综合分析能力． （1）根据原价和两次降价后的价格，利用降价公式建立方程求解降价百分率； （2）依据每千克的盈利、销售量与涨价的关系，构建盈利方程来确定涨价金额． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x． 第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元． 已知两次降价后每千克32元，可得方程． 解得 当时，； 当时，（舍去）． 所以每次下降的百分率是． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价y元． 每千克盈利变为元，日销售量变为千克． 要保证每天盈利12000元，可列方程． ， 解得，． 因为每千克涨价不能超过8元，所以． 每千克应涨价5元． 25. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，． （1）如图1，求所在直线解析式； （2）如图2，D为上一点，将沿折叠，使点C落在对角线上的点F处，动点P从点B出发，沿B﹣A﹣O方向以5个单位长度/秒的速度匀速移动，到终点O停止，设点P运动时间为t秒，的面积为S，求出S与t的关系式，并写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，第一象限内是否存在点Q，使得以P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理、平行四边形的性质，面积的计算等： （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可解决问题； （3）点有两种情况：当为边时，当为对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为 ∵经过， ∴，解得， ∴线的解析式为， 【小问2详解】 解：的坐标， 则：，， 在中，根据勾股定理得：， 将沿折叠，使点落在对角线上的点处， ，， ， 设,则, 在中，由勾股定理得：, 即, 解得, ．，， 过点作于点， 根据三角形面积可得，， ∴， 故点的横坐标为， 即：， ∵点F在上， ， ， 当点P在上时， 即， ， 当点P在上时， 即， 过点作于点H，则， 则， ∵， 即 解得， ∴， ∴ 【小问3详解】 存在， 由（2）知，点， 当时，则点， 而点,设点， ①当为边时， 点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点， 即且， 解得或， 故点的坐标为或； ②当为对角线时， 由中点公式得且， 解得， 综上点的坐标为或或． 26. 如图，在菱形中，点是边上一动点（且与点、不重合），连接交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求证； （3）过点作交于点，记．为，为，， ①求证：； ②求与之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） ①证明：∵，， ∴， ∴，， ∴，， 两式相加得， 即， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，因为菱形的对角线平分一组对角，得，再根据外角的性质可得出． （2）根据题意易证，得出，因为，化简可得． （3）①根据题意可得，，即，，故 ，，两式相加得，化简可得． ②根据，，得，即，，，根据， ，得出，即，，，，，代入化简即可． 【小问1详解】 根据题意可得，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $