球的切接问题 第1课时教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册
2025-10-26
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9页
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普通
资源信息
| 学段 | 高中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 高中数学人教A版必修第二册 |
| 年级 | 高一 |
| 章节 | 7. 球 |
| 类型 | 教案-教学设计 |
| 知识点 | 空间几何体的三视图和直观图 |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | DOCX |
| 文件大小 | 74 KB |
| 发布时间 | 2025-10-26 |
| 更新时间 | 2026-03-17 |
| 作者 | 哑巴湖小鱼干 |
| 品牌系列 | - |
| 审核时间 | 2025-10-26 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/54561067.html |
| 价格 | 1.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该高中数学教学设计聚焦球的切接问题，涵盖长正方体的外接球、内切球、棱切球半径公式推导与应用，以及补形法在堑堵、鳖臑等多面体外接球问题中的应用。通过生活情境“篮球装正方体盒子”导入，从直观感知外接球特征，到推导公式，再到补形法解决复杂问题，构建知识脉络。
此资料特色在于情境与文化融合，结合生活实例与《九章算术》几何体，运用AI动态3D模型与实物操作，培养数学眼光（空间观念）、数学思维（转化思想）。如AI演示长方体切割补形过程，帮助学生直观理解，提升空间想象与解题能力，为教师提供结构化资源，提高教学效率。
内容正文：
附件：
教学设计
课程基本信息
课题
球的切接问题
课型
新授课
学科
数学
年级
高一
学段
高中
版本章节
人教A版2019必修二
教学目标
1.掌握长方体、正方体外接球、内切球、棱切球的半径公式推导与应用。
2.理解“补形法”核心思想，能将堑堵、鳖臑、阳马等多面体补成长方体/正方体求解外接球问题。
3.培养空间想象能力和转化与化归的数学思想。
教学重难点
重点：长方体、正方体外接球半径公式；“补形法”在多面体外接球问题中的应用。
难点：识别可补形为长方体/正方体的多面体类型（如三条侧棱两两垂直的三棱锥）；将复杂多面体转化为熟悉几何体的思维转化。
学情分析
1.学生已掌握长方体、正方体的结构特征（体对角线、面对角线、棱长的关系），能计算长方体体对角线长度。
2.了解球的基本概念（球心、半径、直径），会运用球的表面积与体积公式进行计算。
3.初步具备空间几何体的观察能力，能识别简单的多面体（如三棱柱、三棱锥）。
教学准备
教具：长方体、正方体实物模型（各2个，其中1个可拆分，便于展示切割过程）、球的模型（直径24.6cm，模拟篮球）、PPT课件（含《九章算术》几何体图片、例题解析步骤）AI动态几何演示工具（可展示长方体切割为堑堵、鳖臑的过程，实时标注外接球）。
学具：草稿纸、直尺、圆规、简易长方体展开图（课前发放，可折叠成立体模型）。
教学过程
教学任务
教学内容
设计意图
创新设计（含AI应用）
情境导入：生活问题抽象（5分钟）
AI动漫人物哪吒向学生提问
教师展示实物：直径24.6cm的球（模拟篮球）、棱长20cm的正方体盒子（模拟礼物盒），提问：“爸爸买的这个正方体礼物盒装不下篮球，大家能说说原因吗？如果要装下这个篮球，正方体盒子的棱长至少要多少？”
学生观察实物，尝试回答：“盒子太小了”“篮球直径比盒子棱长longer”，初步感知 “正方体盒子的棱长需不小于篮球直径”。
教师引导：“从数学角度看，篮球可以看作一个‘球’，礼物盒是‘正方体’，它们的位置关系是‘球在正方体内，且球与正方体的6个面都不挤压’，这种关系我们称为‘正方体的外接球’——球的表面经过正方体的8个顶点。今天我们就来研究球与多面体的切接问题。”
从学生熟悉的“六一礼物”情境切入，激发学习兴趣，避免抽象概念的生硬引入。
通过实物观察，让学生初步感知“外接球”的直观特征（球经过正方体顶点），为后续抽象公式推导奠定感性基础。
通过即梦AI、豆包AI等AI动画生成软件，生成哪吒语音提问动画，创设情境，吸引学生兴趣。（）
新知探究
探究1：长方体外接球的半径（6分钟）
自主思考+小组讨论（2分钟）
问题1：“长方体有外接球吗？如果有，球心在哪里？球的直径与长方体的哪个量有关？”
学生结合手中的长方体模型，小组讨论后发言：“有外接球，球心在长方体中心（体对角线交点）”“直径可能等于长方体的体对角线”。
（2）公式推导（3 分钟）
教师结合长方体模型，标注长a、宽b、高c，引导学生回忆长方体体对角线公式
。
推导：“因为长方体的8个顶点都在球面上，所以体对角线的两个端点是球面上的点，且体对角线经过球心，因此长方体外接球直径=长方体体对角线长，半径公式为。”
（3）即时练习（1分钟）
题目：“一个长方体的长 3cm、宽4cm、高 12cm，求它的外接球半径。”（答案：6.5cm）
学生快速计算，教师巡视，关注公式应用的准确性。
从长方体切入，因为长方体是学生最熟悉的空间几何体，且其外接球的推导逻辑直接（体对角线过球心），符合学生的认知规律。
即时练习快速巩固公式，避免“推导后不应用”导致的记忆遗忘。
运用AI生成“基础模型操控模块”的可运行代码实现基于Three.js构建3D交互场景，插入PPT中，支持浏览器端直接运行，适配“球的切接问题”，支持3D模型旋转、缩放、平移，一键切换“长方体-外接球”“正方体-内切球/棱切球/外接球”，自定义参数生成模型，直观展示切接位置关系。方便学生直改感受切接问题。（部分电脑加载不出解决方案：第一步：下载 Three.js 核心文件
第二步：将代码中<head>里的 Three.js 引用部分，从 CDN 链接改为本地文件路径；第三步：双击 index.html，动画即可正常运行。）
新知探究
2.正方体的三种切接球（7分钟）
(1)概念区分（2分钟）
教师展示正方体模型，标注“内切球”“棱切球”“外接球”：
内切球：与正方体6个面都相切；
棱切球：与正方体12条棱都相切；
外接球：经过正方体8个顶点。
（2）公式推导（3分钟）
引导学生结合模型推导
解决导入问题（2分钟）
回归导入情境：“篮球直径24.6cm，对应正方体的外接球直径，因此正方体棱长a=24.6cm，即礼物盒棱长至少24.6cm。”
学生验证计算，强化“外接球直径=正方体棱长”的对应关系。
通过表格对比，清晰区分三种切接球的核心差异，避免概念混淆。
用导入问题的解决作为探究成果的应用，形成“提出问题→探究新知→解决问题”的闭环，提升学生的成就感。
新知探究
3.可补形为长方体的多面体（5分钟）
（1）经典几何体引入（1分钟）
教师展示《九章算术》中的“堑堵、阳马、鳖臑”图片，讲解：“古人将长方体切割，得到‘堑堵’（底面是直角三角形的直三棱柱）；再切割堑堵，得到‘阳马’（一条侧棱垂直底面，底面是矩形的棱锥）和‘鳖臑’（四个面都是直角三角形的三棱锥）。”
（2）小组实验：切割与还原（3分钟）
任务：学生用手中的长方体展开图折叠成立体模型，尝试用铅笔模拟“切割”（标记切割线），观察切割后得到的多面体（如堑堵、鳖臑）。
讨论：“这些切割得到的多面体，它们的外接球与原长方体的外接球有什么关系？”
学生发现：“多面体的顶点都是原长方体的顶点，因此外接球相同，球心和半径都不变。”
（3）结论归纳（1分钟）
教师总结：“像堑堵、阳马、鳖臑，以及三条侧棱两两垂直的三棱锥（墙角体）、对棱相等的四面体，都可以‘补形’为长方体，它们的外接球就是原长方体的外接球，可利用长方体体对角线公式求半径——这就是‘补形法’。”
结合传统文化（《九章算术》），增加数学文化底蕴，同时让学生理解“补形法”的本质是“切割的逆过程”。
学生亲手操作“折叠-切割”，直观感知多面体与长方体的关联，为后续应用“补形法”求解例题奠定逻辑基础。
运用AI生成“切割-补形动态演示模块”“复杂模型专项演示模块”的可运行代码，实现基于Three.js构建3D交互场景，支持浏览器端直接运行，分步演示“长方体切割为堑堵、阳马、鳖臑”的过程，支持暂停、重播、步进/退，高亮显示外接球及关键切割线，验证“补形后外接球不变”。支持输入对棱相等四面体的三组棱长、正四面体棱长，动态生成3D模型并演示补形过程，标注关键参数对应关系，推导外接球半径公式。（部分电脑加载不出解决方案：第一步：下载 Three.js 核心文件
第二步：将代码中<head>里的 Three.js 引用部分，从 CDN 链接改为本地文件路径；第三步：双击 index.html，动画即可正常运行。）
例题讲解：方法应用与拓展
1.直三棱柱的外接球问题（4分钟）
例1：
（1）题目呈现
已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA₁＝12，求球O的半径。
（2）解题引导
提问1：“直三棱柱的结构特征是什么？底面ABC是直角三角形，侧棱AA₁与底面垂直，这样的直三棱柱能补成长方体吗？”
学生思考后回答：“可以补成长方体，长方体的长、宽、高分别为AB=3、AC=4、AA₁=12。”
解题步骤：
①补形：直三棱柱→长方体，长方体棱长a=3、b=4、c=12；
②求长方体体对角线
③外接球半径
（3）方法总结
口诀：“直三棱柱加直角底，补成长方体求半径。”
例1是“补形法”的基础应用，直三棱柱的补形逻辑简单（侧棱垂直底面直角三角形），帮助学生初步掌握“补形→求体对角线→算半径”的步骤。
2.三线垂直的三棱锥（鳖臑）外接球问题（4分钟）
例2：
（1）题目呈现
在三棱锥A－BCD 中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为、、，求三棱锥A－BCD的外接球体积。
（2）解题引导
提问1：“三棱锥的三条侧棱AB、AC、AD两两垂直，这符合我们之前学的哪种可补形多面体的特征？”（学生回答：“墙角体，可补成长方体”）
提问2：“如何根据三个三角形的面积求出长方体的长、宽、高（即AB、AC、AD）？”
解题步骤：设AB=x、AC=y、AD=z，由面积公式列方程：
联立解得、、；
补成长方体，体对角线，外接球半径R=2；
计算体积：=
例2在例1的基础上增加了“求补形后长方体棱长”的步骤，需要通过方程求解，提升学生的数学运算能力。
强调“三线垂直”的特征，帮助学生形成“见三线垂直，想补长方体”的条件反射。
3.对棱相等的四面体外接球问题（4 分钟）
题目呈现
已知三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，PA＝，PB＝PC＝5，求该三棱锥的外接球的表面积。
（2）解题引导
提问1：“对棱相等的四面体（如PA=BC、PB=AC、PC=AB），如何补成长方体？”
教师结合动态演示工具展示：“将四面体的对棱分别作为长方体相对面的对角线，设长方体的长、宽、高为a、b、c，则：PA=BC=；
PB=AC==5；
PC=AB==5。”
解题步骤：列方程：；；
三式相加得2(a²+b²+c²)=18+25+25=68，即a²+b²+c²=34；
长方体体对角线，外接球半径表面积：
（3）方法拓展
“对棱相等的四面体补成长方体，核心是利用‘长方体相对面的对角线相等’，将四面体的对棱转化为长方体的面对角线。”
例3是“补形法”的进阶应用，补形逻辑更复杂（需关联长方体面对角线），通过动态演示和方程推导，帮助学生突破思维难点。
三个例题形成“基础→中档→进阶”的梯度，逐步提升学生的解题能力。
课堂小结：梳理体系，升华思想（5分钟）
教师引导学生梳理本节课核心内容，形成知识框架：
公式：长方体/正方体外接球、内切球、棱切球半径公式；
方法：补形法（识别可补形多面体→补成长方体→求体对角线→算半径）；
模型：常见可补形多面体（堑堵、阳马、鳖臑、三线垂直三棱锥、对棱相等四面体、正四面体）。
通过思维导图梳理知识体系，让学生形成结构化认知，同时提炼数学思想方法，实现“知识掌握”到“思维提升”的跨越。
达标检测：分层巩固（7分钟）
1.基础题（2分钟）
题目：《九章算术》中的鳖臑P-ABC，PA⊥平面ABC，PA=BC=4，AB=3，AB⊥BC，求球O的半径（ ）
A.25B.3 C.27D.4
解题思路：补成长方体，棱长为AB=3、BC=4、PA=4，体对角线l=5，半径，答案A。
目的：检测学生对“三线垂直三棱锥补形法”的基础应用能力。
2.中档题（3分钟）
题目：四面体ABCD中，AB=CD=，BC=AD=，AC=BD=，求该四面体外接球的表面积（ ）
A.14π B.28π C.42π D.56π
解题思路：对棱相等补长方体，设棱长a、b、c，列方程求a²+b²+c²=14，体对角线，半径，表面积，答案A。
目的：检测学生对“对棱相等四面体补形法”的应用能力。
3.提升题（2分钟）
题目：正四面体的表面积为，求其外接球的体积（ ）
A.B.C.D.
目的：检测学生“正四面体补形”与“表面积、体积公式结合应用”的综合能力。
分层检测题覆盖本节课的核心知识点（三线垂直三棱锥、对棱相等四面体、正四面体），兼顾不同层次学生的需求，及时反馈学习效果。
题目设置与例题类型对应，帮助学生形成“例题→习题”的解题迁移。
作业设计
必做题：
1.教材习题5.3第1、3、5题（长方体、正方切接球问题）
2.计算棱长为2的正方体的内切球、棱切球、外接球的表面积
选做题：
1.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为2、3、4，求其外接球体积
2.正四面体的棱长为3，求其外接球半径
预习题
预习“球的切接问题（第2课时）”，思考：“正棱锥的外接球如何求解？”
设计意图
基础作业巩固公式应用，提升作业强化补形法的综合应用，预习作业为下节课铺垫，形成“巩固-提升-预习”的作业体系。
作业要求明确，便于学生自主完成，也便于教师后续批改反馈。
板书设计
左侧区域：核心公式
中间区域：探究过程与例题
右侧区域：方法总结与易错提醒
1.长方体：
外接球
2.正方体（棱长a）：
内切球
棱切球
外接球
一、情境导入
篮球直径24.6cm→正方体棱长？
二、新知探究
1.长方体→外接球
2.正方体→三种切接球
3.可补形多面体（堑堵、鳖臑）
三、例题精讲
1.补形法口诀：
见三线垂直→补长方体
见对棱相等→补长方体
见正四面体→补正方体
2.易错提醒：
①正方体三种切接球直径别混淆
②补形后长方体棱长对应准确
③体对角线公式别记错
教学反思
亮点：情境与文化融合，提升学习兴趣：以“六一礼物盒装篮球”的生活情境切入，快速激活学生的感性认知；引入《九章算术》中“堑堵、阳马、鳖臑”等经典几何体，既丰富了数学文化底蕴，又让“补形法”的本质（切割的逆过程）变得直观可感，有效降低了抽象概念的理解难度。
改进：达标检测后采用“小组互查+教师抽查”的方式，重点关注基础题与中档题的易错点；课后发放“个性化错题反馈单”，针对学生的典型错误（如公式记错、棱长对应错误）进行一对一标注与指导，帮助学生精准纠错。
学科网（北京）股份有限公司
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