精品解析：甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学2025-2026学年高一上学期期中测试数学试题

2025—2026学年高一上学期期中测试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：人教A版2019必修第一册第1～3章（集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式+函数的概念与性质） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下面命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 6. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 7. 设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. ，使 11. 定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. 当时， D. 在上单调递减 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________ 13. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是__________. 14. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过x的最大整数，例如，，.现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 16. 已知是定义在 上的偶函数，且时，． （1）求，； （2）求函数的表达式； （3）判断并证明函数在区间上的单调性. 17. 某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 18. 若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且． （1）求证:为奇函数； （2）求在上的最小值； （3）若不等式:恒成立，求a的取值范围； 19. 已知函数的定义域为，给定，设，，若存在使得，则称为函数的一个“点”. （1）若为上的单调函数，证明：不存在“点”； （2）若，讨论的“点”个数，并在存在“点”的前提下，求出所有的“点”； （3）若，证明：“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一上学期期中测试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：人教A版2019必修第一册第1～3章（集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式+函数的概念与性质） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程求得集合，由并集定义可得结果. 【详解】，. 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是把条件里的存在量词改为全称量词，否定结论. 【详解】命题“，”的否定为“”. 故选：C. 3. 下面命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过反例可排除ABD；利用作差法，结合立方差公式可整理得到C正确. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则， 又，，即，C正确； 对于D，若，，，，则，，此时，D错误. 故选：C. 4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐一判断四个选项中每两个函数的定义域和对应关系是否相同即可得正确答案. 【详解】对于选项A：，所以两个函数是同一个函数，故选项A正确； 对于选项B：定义域为，解得：或， 定义域为，解得：， 定义域不同不是同一函数，故选项B不正确； 对于选项C：定义域为，定义域为， 定义域不同不是同一函数，故选项C不正确； 对于选项D：定义域为，定义域为， 定义域不同不是同一函数，故选项D不正确； 故选：A. 5. 已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由分段函数的性质，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，故A正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D正确； 故选：C 6. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得； 【详解】设，则为奇函数， 可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得 即，, 由可得， 即， 所以， 故选：A. 7. 设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，然后根据不等式恒成立，将问题转化为关于的不等式求解. 【详解】因为正数，满足， 则，因为， 所以，则，当且仅当即时等号成立. 因为不等式对任意实数恒成立，即恒成立. ，所以，即对任意实数恒成立. 令，因为，所以. 所以. 故选：D. 8. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次不等式的解集可知，相应的二次函数图像开口向下，由相应的一元二次方程的两根结合起韦达定理可求的符号，将代入即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误； 易知2和是方程的两个根，则有，， 又，故，，故BC正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 10. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. ，使 【答案】AB 【解析】 【分析】利用奇函数定义，使，结合奇函数与单调性的结论处理判断． 【详解】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则，使 D不正确； 令，则，即 A正确； 若在上有最小值－1，即对，，使得 当时，，即在上有最大值1 B正确； 根据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确； 故选：AB． 11. 定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数的对称性判断A；求出函数的值域判断B；利用偶函数的性质，结合题中条件求得的解析式判断C；举反例判断D. 【详解】对于A，由，得的图象关于点对称，A正确； 对于C，当时，，则， 即当时，， 当时，，则， 因此当时，，C正确； 对于B，由，且为偶函数，得， 即，则，即函数是周期函数，周期为4， 由选项C知，函数在上的最小值为，最大值为1， 因此时，，B正确； 对于D，由B的解析可知，函数在上不单调，D错误. 故选：ABC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________ 【答案】 【解析】 【分析】使式子有意义可列得不等式组，求解即可. 【详解】由题可得，解得且， 所以定义域为， 故答案为：. 13. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 14. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过x的最大整数，例如，，.现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义，分析的取值范围，结合图象，得出的最值情况确定的取值范围. 【详解】设，则，得. ， 令，则， 所以，得， 又既有最大值又有最小值， 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值和最小值，符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值，无最小值，不符合题意； 综上，，即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用并集、交集的定义直接求解. （2）利用给定的交集结果，列式求出. 【小问1详解】 当时，，而， 则，. 【小问2详解】 由，得或，解得或， 所以的取值范围是. 16. 已知是定义在 上的偶函数，且时，． （1）求，； （2）求函数的表达式； （3）判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】(1);(2);(3) 设 ∵ ∴ ∴ ∴f(x)在为单调减函数. 【解析】 【分析】（1）直接代入解析式计算； （2）设，利用及函数为偶函数可求得； （3）用单调性的定义，设，判断的正负即可得. 【详解】（1）. （2）设 因为函数f(x)为偶函数，所以有 既 所以. （3）略 【点睛】点睛：判断或证明函数的单调性，一般都是利用单调性定义，即在定义域内设，计算，化简变形为积的形式，然后判断其正负，得和的大小. 17. 某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】（1）， （2）7万元 【解析】 【分析】（1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）由（1）得，,，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案． 【小问1详解】 依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． 【小问2详解】 由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 18. 若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且． （1）求证:为奇函数； （2）求在上的最小值； （3）若不等式:恒成立，求a的取值范围； 【答案】（1）证明：函数的定义域为R， 令，则，解得. 令，则，得， 所以函数为奇函数. （2）-6 （3） 【解析】 【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为R上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出时， 恒成立，可求a的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任取，则，因为当时，，则， 由（1）知，，即， 所以为R上的减函数，可知在上的最小值为， 因为，，， 所以，即在上的最小值为. 【小问3详解】 由（2）可求， 所以， 由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立， 时，，不等式恒成立； 时，有恒成立，由函数在上单调递增， 则有，所以a的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为，给定，设，，若存在使得，则称为函数的一个“点”. （1）若为上的单调函数，证明：不存在“点”； （2）若，讨论的“点”个数，并在存在“点”的前提下，求出所有的“点”； （3）若，证明：“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”. 【答案】（1） 证明：若在上单调递增，则时，对，有， 则，不存在“点”； 若在上单调递减，则时，对，有，则不存在“点”. 综上所述，不存在“点”. （2） 当时，在上单调递增，则不存在“点”； 当时，则使在时有解的的个数即为的“点”的个数， 整理得，由得， 故，即存在唯一“点”. 综上所述，当时，不存在“点”； 当时，存在唯一“点”，. （3） 证明：由题得在时有解， 即，等式两边平方后有， 即，又， 故等式两边平方得，且此时， 即“为函数的一个‘点’”的充要条件是“在时有解且满足”. 又在时，单调递增，故，解得， 由得，即，恒成立，故； 的正数解为且在此时成立， 得，解得， 则“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”. 【解析】 【分析】（1）分在上单调递增和在上单调递减两种情况结合“点”的定义进行判断证明即可； （2）分和两种情况结合“点”的定义分析判断即可； （3）由题得在时有解，化简变形后将问题转化为“为函数的一个‘点’”的充要条件是“在时有解且满足”，再结合函数的性质和不等式的性质可求出的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $