专题16 幂的运算 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题16 幂的运算 （重难点题型专训） 【知识考点 幂的运算】 【解题知识必备】 1.同底数幂的乘法 （1）语言表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. （2）式子表达：（） 2.幂的乘方 （1）语言表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. （2）式子表达： 3.积的乘方 （1）语言表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. （2）式子表达：（是正整数） 推广：（是正整数） 4.幂的运算性质的逆运算 （1）同底数幂的乘法逆运算 （） （2）幂的乘方逆运算 （其中） （3）积的乘方逆运算 （是正整数）反过来可得. 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 同底数幂相乘性质的运算 【题型02】 幂的乘方性质的运算 【题型03】 积的乘方性质的运算 【题型04】 同底数幂相乘性质的逆运算 【题型05】 幂的乘方性质的逆运算 【题型06】 积的乘方性质的逆运算 【题型07】 利用幂的运算性质综合求值 【题型08】 利用幂的运算性质的逆运算综合求值 【特训09】 综合强化提升 【特训10】 直通中考真题 【题型01】 同底数幂相乘性质的运算 【例1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）下列选项中，运算结果与一致的是（   ） A．3个相乘 B．5个c相乘 C．6个c相乘 D．2个相乘 【变式1-1】（2024-2025八年级上·四川乐山·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-2025七年级下·湖南长沙·专题练习） ． 【变式1-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【题型02】 幂的乘方性质的运算 【例2】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）下列四个算式中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）已知，则“”内填（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2-2】（2024-2025八年级上·福建福州·期末）计算： ； 【变式2-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型03】 积的乘方性质的运算 【例3】（2024-2025八年级上·广东东莞·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·陕西渭南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型04】 同底数幂相乘性质的逆运算 【例4】（2024-2025七年级下·湖南株洲·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·四川泸州·期末）已知，，则等于（   ） A． B． C． D．1 【变式4-2】（2024-2025八年级上·全国·期末）已知，，m，n为正整数，则 ． 【变式4-3】（2022-2023八年级上·广东广州·阶段练习） （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【题型05】 幂的乘方性质的逆运算 【例5】（2024-2025七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·四川内江·期末）已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024-2025七年级下·河北保定·期末）若x，y均为正整数，且，则的值为 ． 【变式5-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）已知，，求的值． 【题型06】 积的乘方性质的逆运算 【例6】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025-2026八年级上·四川内江·开学考试）计算： ； 【变式6-3】（2024-2025七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． （1）知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． （2）知识拓展：若，求（用字母表示）． 【题型07】 利用幂的运算性质综合求值 【例7】（2024-2025七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（   ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 【变式7-1】（2024-2025八年级上·河北廊坊·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·北京西城·期中） （1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·辽宁营口·期中） （1）已知，，，求，，之间的数量关系． （2）已知是正整数，且，求的值． 【题型08】 利用幂的运算性质的逆运算综合求值 【例8】（2024-2025八年级上·甘肃天水·期中）已知，，求 (1)； (2)． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·福建莆田·阶段练习）若，则m的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-2】（2025-2026七年级·全国·专题练习）解答下列各题： （1）若，求x的值． （2）已知，求的值． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． （1）计算： ①； ②． （2）如果，求的值． 【特训09】 综合强化提升 1.（2024-2025七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 2．（2024-2025七年级下·江西九江·期中）的个位数字是(   ) A．2 B．4 C．8 D．6 3．（2024-2025七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4.（2024-2025八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 5.（2024-2025八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 6．（2024-2025八年级上·湖南衡阳·期末）若，则 ． 7．（2024-2025八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 8.（2024-2025七年级下·江苏泰州·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 9．（2024-2025八年级上·甘肃平凉·期末）定义一种新运算：规定，已知，，，为正整数，求的值． 10．（2024-2025八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 11．（2025-2026八年级上·北京·开学考试）已知：，，，，求证： （1）； （2）； 12．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 13．（2024-2025八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 14.（2024-2025八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 15．（2024-2025八年级上·江西南昌·阶段练习）公园准备修建一条石板路，已知铺设石板的路面总长为，路面宽为，若工程队铺设石板路的人工费用为元． (1)求铺设石板路面的人工总费用（结果用含的代数式表示） (2)已知计划投入铺设石板路的人工费用为元，若，那么计划投入的费用够支付这支工程队来铺设石板路吗？ 16.（2024-2025七年级下·安徽六安·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)证明：； (3)若，，，探究，，的关系． 17．（2024-2025七年级下·江苏淮安·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： （1）若，求x的值． （2）若，求x的值． （3）若，，用含m的代数式表示 ． 18．（2025·安徽亳州·模拟预测）观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：________________； （2）试写出第n（n为正整数）个等式，并证明这个等式； （3）求的值．（n为正整数，结果用含有幂的形式表示） 【特训10】 直通中考真题 1．（2025·湖南·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·吉林长春·中考真题）下列计算一定正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·云南·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·四川攀枝花·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2023·湖北武汉·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 11．（2023·四川德阳·中考真题）已知，则（   ） A．y B． C． D． 12．（2025·江苏常州·中考真题）计算： ． 13．（2024·上海·中考真题）计算： ． 14．（2024·江苏苏州·中考真题）计算： ． 15．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 幂的运算 （重难点题型专训） 【知识考点 幂的运算】 【解题知识必备】 1.同底数幂的乘法 （1）语言表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. （2）式子表达：（） 2.幂的乘方 （1）语言表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. （2）式子表达： 3.积的乘方 （1）语言表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. （2）式子表达：（是正整数） 推广：（是正整数） 4.幂的运算性质的逆运算 （1）同底数幂的乘法逆运算 （） （2）幂的乘方逆运算 （其中） （3）积的乘方逆运算 （是正整数）反过来可得. 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 同底数幂相乘性质的运算 【题型02】 幂的乘方性质的运算 【题型03】 积的乘方性质的运算 【题型04】 同底数幂相乘性质的逆运算 【题型05】 幂的乘方性质的逆运算 【题型06】 积的乘方性质的逆运算 【题型07】 利用幂的运算性质综合求值 【题型08】 利用幂的运算性质的逆运算综合求值 【特训09】 综合强化提升 【特训10】 直通中考真题 【题型01】 同底数幂相乘性质的运算 【例1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）下列选项中，运算结果与一致的是（   ） A．3个相乘 B．5个c相乘 C．6个c相乘 D．2个相乘 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法．根据同底数幂乘法法则，逐项判断，即可求解． 【解答】解：， A、，运算结果与不一致，故本选项不符合题意； B、，运算结果与一致，故本选项符合题意； C、，运算结果与不一致，故本选项不符合题意； D、，运算结果与不一致，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式1-1】（2024-2025八年级上·四川乐山·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解答】解：， 故选：C． 【变式1-2】（2024-2025七年级下·湖南长沙·专题练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据乘方以及同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【解答】解：原式 故答案为：． 【变式1-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则，“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，是解题的关键． （1）-（3）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可； 【解答】解：（1）解：； （2）解：； （3）解： 【题型02】 幂的乘方性质的运算 【例2】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）下列四个算式中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．根据幂的乘方法则依次分析即可得到结果． 【解答】解：①，故该选项错误； ②，故该选项正确； ③，故该选项正确； ④，故该选项错误； 正确的有②③，共个， 故选：C． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）已知，则“”内填（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题关键． 根据幂的乘方运算法则即可求解． 【解答】解：， ，解得：“”内填． 故选：D． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·福建福州·期末）计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘来计算． （2）先处理符号，再用幂的乘方法则计算． （3）先运用幂的乘方法则，再考虑符号． （4）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【解答】解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型03】 积的乘方性质的运算 【例3】（2024-2025八年级上·广东东莞·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则，先计算积的乘方，再计算幂的乘方，从而得出结果．本题主要考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 【解答】解： 故选：D． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·陕西渭南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，掌握运算法则是解题关键．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【解答】解：， 故选：A． 【变式3-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． （1）根据积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方的运算法则计算即可． 【解答】（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． （1）-（4）直接根据积的乘方运算法则计算即可； 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【题型04】 同底数幂相乘性质的逆运算 【例4】（2024-2025七年级下·湖南株洲·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，正确变形、熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算，则把x、y、z进行变形，然后比较即可． 【解答】解：∵， ∴，无法确定z与y的关系； ∴的大小关系不可能是， 故选：B． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·四川泸州·期末）已知，，则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】题主要考查同底数幂的乘法法则的逆运用，掌握是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则，即可求解． 【解答】解：， 故选：C． 【变式4-2】（2024-2025八年级上·全国·期末）已知，，m，n为正整数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂相乘的逆运算，熟记公式是解题的关键． 根据同底数幂相乘的逆运算解答． 【解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（2022-2023八年级上·广东广州·阶段练习） （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）27；（2） 【分析】（1）根据进行求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算将条件式变形为，由此即可得到答案． 【解答】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【题型05】 幂的乘方性质的逆运算 【例5】（2024-2025七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答． 【解答】解：依题意，，，， ∵， ∴， 故选：C 【变式5-1】（2024-2025八年级上·四川内江·期末）已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【解答】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式5-2】（2024-2025七年级下·河北保定·期末）若x，y均为正整数，且，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，逆用幂的乘方法则，根据同底数幂相乘法则计算即可． 【解答】解∶∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶5． 【变式5-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．关键熟知幂的乘方运算法则．根据幂的乘方的逆运算法则计算即可解答． 【解答】解：已知， ∵， ∴，即， ∴， 已知， ∵， ∴，即， ∴， 当时，， 当时，． 综上，的值为． 【题型06】 积的乘方性质的逆运算 【例6】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方的逆用． 逆用幂的运算将原式化为，进而逆用积的乘方法则计算即可． 【解答】解： 故选：B 【变式6-1】（2024-2025八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【解答】解：原式 故选：C． 【变式6-2】（2025-2026八年级上·四川内江·开学考试）计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算及积的乘方，根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则与积的乘方法则计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【变式6-3】（2024-2025七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． （1）知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． （2）知识拓展：若，求（用字母表示）． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）知识迁移：①结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可；②结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； （2）知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则、积的乘方逆运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）解：①； ② ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 【题型07】 利用幂的运算性质综合求值 【例7】（2024-2025七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（   ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂乘法法则、积的乘方法则以及对整数位数的理解．解题关键是熟练掌握同底数幂乘法法则． 首先利用同底数幂乘法法则将变形为 ，因为是位数．根据是10位数，得 乘一个数后变为10位数，这个数的范围是 ．最后根据的取值范围，进而得出的可能值． 【解答】， 是一个位数， 整数是一个10位数， ， 可能是，，， 可能是12，13，14． 故选：C． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·河北廊坊·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方运算，积的乘方运算及同底数幂的乘法，根据各自的运算法则一一计算判断即可． 【解答】解：．与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·北京西城·期中） （1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘法则即可求解； （2）根据积的乘方化简后，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据幂的乘方化简后，再根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则计算即可； （4）根据积的乘方的逆运算即可求解． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·辽宁营口·期中） （1）已知，，，求，，之间的数量关系． （2）已知是正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法． （1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方，即可得出结论； （2）根据幂的乘方与积的乘法将原式化简，再代入即可得出结论． 【解答】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵， ∴． 【题型08】 利用幂的运算性质的逆运算综合求值 【例8】（2024-2025八年级上·甘肃天水·期中）已知，，求 (1)； (2)． 【答案】(1)241 (2)5400 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）先根据同底数幂乘法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【解答】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·福建莆田·阶段练习）若，则m的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂相乘，逆用幂的乘方，同底数幂相乘可得，得到，求解即可． 【解答】解：∵， 又， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【变式8-2】（2025-2026七年级·全国·专题练习）解答下列各题： （1）若，求x的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先根据积的乘方和幂的乘方的逆运算化简，然后比较指数相等求解即可； （2）首先由得到，然后利用积的乘方和幂的乘方的逆运算求解即可． 【解答】解：（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． （1）计算： ①； ②． （2）如果，求的值． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）①根据同底数幂的乘法和积的乘方逆运算求解即可； ②根据幂的乘方和积的乘方逆运算求解即可； （2）根据同底数幂的乘法得到，然后指数相等得到，进而求解即可． 【解答】解：（1）解：① ； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 【特训09】 综合强化提升 1.（2024-2025七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【解答】解：∵ ， ∴． 故选D． 2．（2024-2025七年级下·江西九江·期中）的个位数字是(   ) A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】利用幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算法则将化为以为底的幂，再根据的正整数次幂个位数字的特征规律解答即可． 【解答】解：， 的个位数字是， 的个位数字是， 的个位数字是， 的个位数字是， … 1220÷4=305， ∴的个位数字是．即的个位数字是 故选：D． 3．（2024-2025七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【解答】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 4.（2024-2025八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及二元一次方程组的解法，直接利用幂的乘方运算性质将原式变形，进而得出关于x，y的等式求出答案． 【解答】解：∵，， ∴， 解得：， 则． 故答案为：3． 5.（2024-2025八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 6．（2024-2025八年级上·湖南衡阳·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则，代数式求值，正确将原式变形是解题关键． 根据题意，得，将变形为即可求解． 【解答】解： ， ， ． 故答案为：． 7．（2024-2025八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【解答】解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 8.（2024-2025七年级下·江苏泰州·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，求出，从而可得：，根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可． 【解答】 解：，， ， ， ． 故答案为： ． 9．（2024-2025八年级上·甘肃平凉·期末）定义一种新运算：规定，已知，，，为正整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，幂的乘方计算，同底数幂乘法的逆运算，根据新定义可得，由幂的乘方计算法则可得，，再由计算求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴，，即，， ∴， 故答案为：． 10．（2024-2025八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)125 (2)见解析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 【解答】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 11．（2025-2026八年级上·北京·开学考试）已知：，，，，求证： （1）； （2）； 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则得，又，故可得，从而可得； （2）根据同底数幂的乘法运算法则得，由幂的乘方得，故可得，从而可得． 【解答】解：（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴, ∴． 12．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再合并同类项即可； （2）先进行积的乘方运算，再合并同类项即可； （3）对同底数幂的乘法和积的乘方的公式进行逆应用，再计算即可． 【解答】解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．（2024-2025八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)72 (2)3 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【解答】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 14.（2024-2025八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键： （1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（2024-2025八年级上·江西南昌·阶段练习）公园准备修建一条石板路，已知铺设石板的路面总长为，路面宽为，若工程队铺设石板路的人工费用为元． (1)求铺设石板路面的人工总费用（结果用含的代数式表示） (2)已知计划投入铺设石板路的人工费用为元，若，那么计划投入的费用够支付这支工程队来铺设石板路吗？ 【答案】(1)铺设石板路面的人工总费用为元； (2)计划投入的费用够支付． 【分析】本题考查幂的运算的实际应用．本题通过指数运算求解总费用，并通过数值比较判断费用是否充足．需注意同底数幂的乘法法则（如）及准确计算大数幂值． （1）由题意需要计算铺设石板路的人工总费用，需先求出路面面积，再乘以单位人工费用； （2）代入，比较计划投入费用与实际费用的大小，判断是否足够支付． 【解答】（1）解：路面总长为，宽为， 面积为：， 铺设石板路的人工费用为元， 总费用为：元． （2）解：当时，实际费用为：， 计划投入费用为元， ， 计划投入的费用足够支付． 16.（2024-2025七年级下·安徽六安·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)证明：； (3)若，，，探究，，的关系． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（）根据新定义计算即可求解； （）设，可得，即得，得到，即得到，即可求证； （）利用（）的结论可得，，，即得，，，进而得到，即得，即可求解； 本题考查了新定义运算，负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法运算，理解新定义运算是解题的关键． 【解答】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：设， ， ， ， ， ； （3）解：由（）知，，， ，，， ，，， ， ， 即， ． 17．（2024-2025七年级下·江苏淮安·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： （1）若，求x的值． （2）若，求x的值． （3）若，，用含m的代数式表示 ． 【答案】（1）6；（2）3；（3） 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方的逆运算将变形为，再根据题目中的规定即可求解； （2）将变形为，计算出，即可求解； （3）由得，再将变形为即可求解． 【解答】解：（1）解：，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， 故答案为：． 18．（2025·安徽亳州·模拟预测）观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：________________； （2）试写出第n（n为正整数）个等式，并证明这个等式； （3）求的值．（n为正整数，结果用含有幂的形式表示） 【答案】（1）；（2），见分析；（3） 【分析】本题考查数字类规律题，同底数幂的乘法，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题干找出规律即可得解； （2）根据题干找出规律即可得解； （3）由（2）的结论得到，，再分别取，2，3，……，再代入运算即可． 【解答】解：（1）解：∵，， ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）由题意可知，左边前后3的指数差1， 总结规律得：第n个等式：． 证明：左边右边， ∴等式成立． （3）∵， ∴， 原式 ． 【特训10】 直通中考真题 1．（2025·湖南·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂相乘的运算规则，掌握其运算法则是关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解． 【解答】解：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加， ∴， 故选：B． 2．（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及幂的乘方运算是解题的关键．根据积的乘方法则及幂的乘方运算，逐步计算即可． 【解答】解：． 故选：D． 3．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【解答】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项法则，幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则进行判断即可． 【解答】解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算错误，故本选项不符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，运算正确，故本选项符合题意， 故选：D． 5．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可． 【解答】解：A：，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，的系数为1，故，结果为，计算正确； B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为，而非，计算错误； C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，结果应为，而非，计算错误； D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；，结果应为，而非，计算错误； 故选：A． 6．（2025·吉林长春·中考真题）下列计算一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【解答】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 7．（2025·云南·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键． 运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得． 【解答】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误． B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确． C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误． D、积的乘方等于各因式乘方的积．，故D错误． 故选：B． 8．（2024·四川攀枝花·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算，可将括号内的视为，再根据计算求解即可． 【解答】解；， 故选：A． 9．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【解答】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 10．（2023·湖北武汉·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可． 【解答】解：， 故选：D． 【点评】本题考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 11．（2023·四川德阳·中考真题）已知，则（   ） A．y B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得，再代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴， 故选D 【点评】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“”是解本题的关键． 12．（2025·江苏常州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的法则，进行计算即可． 【解答】解：； 故答案为：． 13．（2024·上海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 14．（2024·江苏苏州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘运算法则“底数不变，指数相加”计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 15．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得． 【解答】解： 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $