第17讲 等比数列的概念及通项公式讲义（知识清单+6题型讲解练+强化训练）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第17讲 等比数列的概念及通项公式 知识清单 知识点01：等比数列的概念 1 知识点02：等比中项及其应用 2 知识点03：等比数列的通项公式 2 知识点04：等比数列的通项公式与指数函数的关系 2 知识点05：等比数列的判定与证明 2 题型归纳 题型01 等比数列的概念 3 题型02 利用等比数列定义求值 4 题型03 等比中项及其应用 5 题型04 等比数列的通项公式 6 题型05 等比数列的通项公式与指数函数的关系 7 题型06 等比数列的判定与证明 8 强化训练 10 知识点01：等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). 温馨提示　(1)定义的符号表示:=q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*); (2)定义强调“从第二项起”,因为第一项没有前一项; (3)比必须是同一个常数; (4)等比数列中任意一项都不能为0; (5)公比可以为正数、负数,但不能为0. 知识点02：等比中项及其应用 如果三个数a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项(geometric mean).此时,G2=ab或G=±. 温馨提示　(1)a,G,b等比数列⇒G2=ab或G=±. (2)G2=ab⇏a,G,b或b,G,a成等比数列,例如数列:0,0,0满足G2=ab,但它不是等比数列. 知识点03：等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列{an}的第n项an,有an=a1qn-1(n∈N*).这就是等比数列{an}的通项公式,其中a1为首项,q为公比. 温馨提示　an=a1qn-1,而不是an=a1qn. 知识点04：等比数列的通项公式与指数函数的关系 若等比数列{an}的公比q>0且q≠1,则点(n,an)在函数y=×qx的图象上. 温馨提示　注意此结论的前提条件是公比q>0且q≠1. 知识点05：等比数列的判定与证明 (1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q(n∈N*且n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列,注意两个式子中n的范围有所区别. (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=kqn(a1≠0,q≠0)的形式,则数列{an}是等比数列. (3)等比中项法:若=anan+2(an≠0)对任意n∈N*都成立,则数列{an}为等比数列. 另外,注意证明一个数列为等比数列,只能为定义法或等比中项法. 题型01 等比数列的概念 利用定义判定等比数列的方法 (1)如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就是等比数列. (2)给出通项公式时,常用等比数列的定义式=q(n∈N*,且n≥2,q为常数且不为零)或=q(n∈N*,q为常数且不为零)判定. 另外注意=q an=qan-1,=q an+1=qan. 【例1】（多选）（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 【变式1-1】下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【变式1-2】以下条件中，能判定数列是等比数列的有（    ） ①数列1，2，6，18，…； ②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】判断下列数列是否为等比数列： (1)1，2，1，2，1； (2)－2，－2，－2，－2； (3)1，，，，； (4)2，1，，，0； (5)，，； (6)1，－1，1，－1． 题型02 利用等比数列定义求值 一般地,如果几个数成等比数列,则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可,但要注意等价变形. 【例2-1】已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数： （1）( )，3，27；         （2）3，( )，5； （3）1，( )，( )，． 【例2-2】（22-23高二·全国·课堂例题）求出下列等比数列中的未知项： (1)2，a，8； (2)，b，c，． 【变式2-1】求出下列等比数列中的未知项： (1)3，a，27； (2)，a，b，． 【变式2-2】求出下列等差数列中的未知项： (1)3，a，5； (2)3，b，c，－9． 【变式2-3】求出下列等差数列中的未知项： (1)a，b，－10，c，－20； (2)x，，，y． 题型03 等比中项及其应用 (1)当an≠0时,{an}为等比数列⇔=an-1an+1(n≥2). (2)已给数列通项公式时,可用定义或(1)中结论判断或证明一个数列为等比数列. 【例3-1】（23-24高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 【例3-2】（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是 . 【例3-3】（1）在等比数列中，是否有? （2）如果在数列中，对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等比数列吗？ 【变式3-1】（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【变式3-2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知等比数列满足，，则 . 题型04 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个.在这四个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解,需要特别注意的是,已知a1,an,n求解q时,需要开方,开方时注意公比q符号的选择. 【例4-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为（    ）． A． B． C．20 D．110 【例4-2】（22-23高二上·江苏南通·期末）已知等比数列的公比不为，，且，，成等差数列，则 ． 【例4-3】设数列{an}是公比小于1的正项等比数列,已知a1=8,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=an(n+2-λ),且数列{bn}是递减数列,求实数λ的取值范围. 【变式4-1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列是等比数列，若，，则 ． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增的等比数列，若，则 . 【变式4-3】已知数列{an}中,a1=1,a2=2,=2,设bn=2nan,则{bn}的通项公式为bn=　　　　.  题型05 等比数列的通项公式与指数函数的关系 1.当q<0或q=1时,不存在指数型函数y=A·Bx使点(n,an)在其图象上. 2.判断等比数列{an}的单调性的方法 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列. (2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列. (3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,数列{an}是摆动数列. 【例5】（22-23高二下·江苏南京·期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式5-1】（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【变式5-2】（多选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型06 等比数列的判定与证明 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q(n∈N*且n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列,注意两个式子中n的范围有所区别. (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=kqn(a1≠0,q≠0)的形式,则数列{an}是等比数列. (3)等比中项法:若=anan+2(an≠0)对任意n∈N*都成立,则数列{an}为等比数列. 另外,注意证明一个数列为等比数列,只能为定义法或等比中项法。 【例6-1】已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）． (1)当时，求、的值； (2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由． 【例6-2】已知各项均不为0的数列{an}中,a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数成等差数列,证 明:a1,a3,a5成等比数列. 【变式6-1】（多选）（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知数列，下列结论正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则数列是等比数列 D．若，则数列是等比数列 【变式6-2】在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由． 【变式6-3】已知在数列中，，判断数列是否为等比数列，并说明理由． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）正项等比数列中，，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A． B． C．或 D． 3．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列中，，点在经过的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 6．（22-23高二上·江苏苏州·期末）将这九个数填入如图所示的正方形网格中，每个小方格中只能填一个数，每个数限填一次.考虑网格中每行从左到右､每列从上到下､两条对角线从上到下所填的数各构成一个数列，共计八个数列，则下列结论中正确的有（    ） A．这八个数列有可能均为等差数列 B．这八个数列中最多有三个等比数列 C．若中间一行､中间一列､两条对角线上的数列均为等差数列，则中心小方格中所填的数必为5 D．若第一行､第一列上的数列均为等比数列，则其余数列中至多有一个等差数列 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则 D．数列是等比数列 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（      ） A． B．若，则最大为4048． C．是数列中的最大值 D． 9．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知各项为正的数列的前n项和为，且，则（  ） A． B．数列是等比数列 C．数列是递减数列 D．数列中不存在小于的项 三、填空题 10．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则 . 11．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列和等比数列满足，，，，则的通项公式 ． 12．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的各项均为正数，，若表示不超过x的最大整数，则 ． 四、解答题 13．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前n项和为，，，数列满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)求和； (3)记数列的前n项和为，求证：． 14．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 15．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②在数列中是否存在不同的3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 等比数列的概念及通项公式 知识清单 知识点01：等比数列的概念 1 知识点02：等比中项及其应用 2 知识点03：等比数列的通项公式 2 知识点04：等比数列的通项公式与指数函数的关系 2 知识点05：等比数列的判定与证明 2 题型归纳 题型01 等比数列的概念 3 题型02 利用等比数列定义求值 5 题型03 等比中项及其应用 8 题型04 等比数列的通项公式 10 题型05 等比数列的通项公式与指数函数的关系 13 题型06 等比数列的判定与证明 16 强化训练 19 知识点01：等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). 温馨提示　(1)定义的符号表示:=q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*); (2)定义强调“从第二项起”,因为第一项没有前一项; (3)比必须是同一个常数; (4)等比数列中任意一项都不能为0; (5)公比可以为正数、负数,但不能为0. 知识点02：等比中项及其应用 如果三个数a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项(geometric mean).此时,G2=ab或G=±. 温馨提示　(1)a,G,b等比数列⇒G2=ab或G=±. (2)G2=ab⇏a,G,b或b,G,a成等比数列,例如数列:0,0,0满足G2=ab,但它不是等比数列. 知识点03：等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列{an}的第n项an,有an=a1qn-1(n∈N*).这就是等比数列{an}的通项公式,其中a1为首项,q为公比. 温馨提示　an=a1qn-1,而不是an=a1qn. 知识点04：等比数列的通项公式与指数函数的关系 若等比数列{an}的公比q>0且q≠1,则点(n,an)在函数y=×qx的图象上. 温馨提示　注意此结论的前提条件是公比q>0且q≠1. 知识点05：等比数列的判定与证明 (1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q(n∈N*且n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列,注意两个式子中n的范围有所区别. (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=kqn(a1≠0,q≠0)的形式,则数列{an}是等比数列. (3)等比中项法:若=anan+2(an≠0)对任意n∈N*都成立,则数列{an}为等比数列. 另外,注意证明一个数列为等比数列,只能为定义法或等比中项法. 题型01 等比数列的概念 利用定义判定等比数列的方法 (1)如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就是等比数列. (2)给出通项公式时,常用等比数列的定义式=q(n∈N*,且n≥2,q为常数且不为零)或=q(n∈N*,q为常数且不为零)判定. 另外注意=q an=qan-1,=q an+1=qan. 【例1】（多选）（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 【答案】ABC 【详解】A选项，数列为公比为1的等比数列，A正确； B选项，数列为公比为2的等比数列，B正确； C选项，数列为公比为的等比数列，C正确； D选项，，不是等比数列，D错误. 故选：ABC 【变式1-1】下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【答案】D 【详解】对于A，，，故不是等比数列； 对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列； 对于C，当时，不是等比数列； 对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列． 故选：D． 【变式1-2】以下条件中，能判定数列是等比数列的有（    ） ①数列1，2，6，18，…； ②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列； ②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； ③中，当时，不是等比数列； ④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列. 故选：A. 【变式1-3】判断下列数列是否为等比数列： (1)1，2，1，2，1； (2)－2，－2，－2，－2； (3)1，，，，； (4)2，1，，，0； (5)，，； (6)1，－1，1，－1． 【详解】（1）明显有，故该数列不是等比数列； （2）明显该数列是首项为-2，公比为1的等比数列； （3）明显该数列是首项为1，公比为的等比数列； （4）由于，故该数列不是等比数列； （5）因为，即， 故该数列不是等比数列； （6）明显该数列是首项为1，公比为-1的等比数列； 题型02 利用等比数列定义求值 一般地,如果几个数成等比数列,则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可,但要注意等价变形. 【例2-1】已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数： （1）( )，3，27；         （2）3，( )，5； （3）1，( )，( )，． 【答案】 ， ， ， . 【详解】（1）∵，公比为9，∴； （2），∴，； （3），∴，，； 故答案为：，，，. 【例2-2】（22-23高二·全国·课堂例题）求出下列等比数列中的未知项： (1)2，a，8； (2)，b，c，． 【答案】(1)或 (2)，． 【详解】（1）根据题意，得，所以或． （2）根据题意，得，解得， 所以，． 【变式2-1】求出下列等比数列中的未知项： (1)3，a，27； (2)，a，b，． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题意，，解得：. （2）设等比数列的公比为， 则，解得：， 所以，. 【变式2-2】求出下列等差数列中的未知项： (1)3，a，5； (2)3，b，c，－9． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，得，解得． （2）根据题意，得，解得． 【变式2-3】求出下列等差数列中的未知项： (1)a，b，－10，c，－20； (2)x，，，y． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）等差数列，，，，中， ， ， ； ， ； （2）等差数列 ，，，中， ， ； ． 题型03 等比中项及其应用 (1)当an≠0时,{an}为等比数列⇔=an-1an+1(n≥2). (2)已给数列通项公式时,可用定义或(1)中结论判断或证明一个数列为等比数列. 【例3-1】（23-24高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】C 【详解】与的等比中项，即48与12的等比中项， 则与的等比中项为． 故选：C． 【例3-2】（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是 . 【答案】 【详解】对于方程，， 设等比数列的公比为，则，即、同号， 由韦达定理可得，则、均为负数，，， 由等比中项的性质可得，. 故答案为：. 【例3-3】（1）在等比数列中，是否有? （2）如果在数列中，对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等比数列吗？ 【详解】（1）因为是等比数列，所以，即成立． （2）不一定．例如，对于数列0，0，0，…，总有，但这个数列不是等比数列． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【详解】设该等差数列的公差为， 因为数列是递增的等差数列， 所以， 因为是与的等比中项，所以，或舍去， ， 故选：B 【变式3-2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为等差数列的公差为，所以， 因为，，成等比数列，所以，解得， 所以. 故选：B 【变式3-3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知等比数列满足，，则 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比中项的性质可得，解得. 故答案为：. 题型04 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个.在这四个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解,需要特别注意的是,已知a1,an,n求解q时,需要开方,开方时注意公比q符号的选择. 【例4-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为（    ）． A． B． C．20 D．110 【答案】B 【详解】由题意得. 故选：B. 【例4-2】（22-23高二上·江苏南通·期末）已知等比数列的公比不为，，且，，成等差数列，则 ． 【答案】 【详解】根据题意得 ，， 且， 解得，，； 故答案为： . 【例4-3】设数列{an}是公比小于1的正项等比数列,已知a1=8,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=an(n+2-λ),且数列{bn}是递减数列,求实数λ的取值范围. 解：（1）设数列{an}的公比为q.由题意,可得an=8qn-1,且0<q<1. 由a1+13,4a2,a3+9成等差数列,知8a2=30+a3,所以64q=30+8q2, 解得q=或q=(舍去),所以an=8×=24-n. （2）bn=an(n+2-λ)=(n+2-λ)·24-n,由bn>bn+1, 得(n+2-λ)·24-n>(n+3-λ)·23-n,即λ<n+1, 所以λ<(n+1)min=2,故实数λ的取值范围为(-∞,2). 【变式4-1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列是等比数列，若，，则 ． 【答案】8 【详解】设等比数列的公比为， 由题意，解得，所以． 故答案为：8 【变式4-2】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增的等比数列，若，则 . 【答案】512 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，把代入方程整理得 或(舍去). 所以. 故答案为：512 【变式4-3】已知数列{an}中,a1=1,a2=2,=2,设bn=2nan,则{bn}的通项公式为bn=　　　　.  解：由题意a1=1,a2=2,=2, 所以数列{2an+1-an}是以2a2-a1=3为首项、为公比的等比数列, 所以2an+1-an=3×, 所以2n+1an+1-2nan=3××2n=6,即bn+1-bn=6, 所以数列{bn}是以b1=21a1=2为首项,6为公差的等差数列, 所以bn=2+6(n-1)=6n-4. 题型05 等比数列的通项公式与指数函数的关系 1.当q<0或q=1时,不存在指数型函数y=A·Bx使点(n,an)在其图象上. 2.判断等比数列{an}的单调性的方法 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列. (2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列. (3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,数列{an}是摆动数列. 【例5】（22-23高二下·江苏南京·期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】因为各项为正数，且，所以，即， 所以为递增数列，充分性成立， 若为递增数列，则，因为各项为正数，所以，必要性成立. 故选：C 【变式5-1】（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【详解】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 【变式5-2】（多选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】等比数列的各项均为正数，，， ， ，若，则一定有，不符合， 由题意得，，，故AB正确， ，， ，，故C正确，D错误， 故选：ABC． 【变式5-3】（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为()， 若，则，得，解得，不符合题意； 所以，得，又， 令，得，即①， 设，则且， 所以①式变为， 由题意，知和是方程的两个解， 令，且， 则一次函数与指数函数的图象至少有2个交点， 作出两个函数图象，如图， 当函数与单调递增或递减时，才会有2个解， 且无论哪种情况，都有时，； 时，；时，； 所以，，，， 即，，，. 故选：C. 题型06 等比数列的判定与证明 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q(n∈N*且n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列,注意两个式子中n的范围有所区别. (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=kqn(a1≠0,q≠0)的形式,则数列{an}是等比数列. (3)等比中项法:若=anan+2(an≠0)对任意n∈N*都成立,则数列{an}为等比数列. 另外,注意证明一个数列为等比数列,只能为定义法或等比中项法。 【例6-1】已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）． (1)当时，求、的值； (2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由． 【详解】（1）由题意可得，，. （2）当时，. 由，两式相减得. 当时，不是等比数列； 当时，可得，,当时,,,所以,故对任意的都有，此时数列是等比数列. 综上，当时，不是等比数列；当时，是等比数列． 【例6-2】已知各项均不为0的数列{an}中,a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数成等差数列,证 明:a1,a3,a5成等比数列. 解：由已知,得2a2=a1+a3,① =a2a4,② =+.③ 由③得=, ∴a4=.④ 由①得a2=.⑤ 将④⑤代入②,得=·, ∴a3=, 即a3(a3+a5)=a5(a1+a3), 化简,得=a1a5. 又a1,a3,a5均不为0, ∴a1,a3,a5成等比数列. 【变式6-1】（多选）（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知数列，下列结论正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则数列是等比数列 D．若，则数列是等比数列 【答案】ABD 【详解】对于A,由,可知数列为等比数列,首项为2,公比为3,则,故A正确； 对于B, 由,可得, 即数列为等比数列,首项为2,公比为3, 则,即,故,故B正确； 对于C,由① ,可得,当时, ② , 由,因时, ,故C错误； 对于D,由① ,可得,当时, ② , 由,因时, ,故D正确. 故选：ABD. 【变式6-2】在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由． 【详解】因为，所以当时，， 当时，，整理可得， 因为，又. 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列． 【变式6-3】已知在数列中，，判断数列是否为等比数列，并说明理由． 【详解】不是等比数列， 因为，所以， 解得或． 又，所以，故或， 可取满足要求，不是等比数列. 所以数列不是等比数列． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）正项等比数列中，，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据题意和等比数列的性质计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为数列为正项等比数列，所以， 由题， 则，所以， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理可得，由等比数列下标和性质可求得结果. 【详解】是方程的两根，， ，，或. 故选：C. 3．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用等比数列通项公式求得，由即可求结果. 【详解】令公比为，由题设，可得， 所以. 故选：B 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列中，，点在经过的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线l的方程，代入得递推公式，构造等比数列求出通项即可. 【详解】由题意，，， 代入得，即， 又由于，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 则，， 所以， 故选：D. 二、多选题 5．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 【答案】BD 【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项. 【详解】设等比数列的公比为， A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误； B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确． C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误； D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确. 故选：BD 6．（22-23高二上·江苏苏州·期末）将这九个数填入如图所示的正方形网格中，每个小方格中只能填一个数，每个数限填一次.考虑网格中每行从左到右､每列从上到下､两条对角线从上到下所填的数各构成一个数列，共计八个数列，则下列结论中正确的有（    ） A．这八个数列有可能均为等差数列 B．这八个数列中最多有三个等比数列 C．若中间一行､中间一列､两条对角线上的数列均为等差数列，则中心小方格中所填的数必为5 D．若第一行､第一列上的数列均为等比数列，则其余数列中至多有一个等差数列 【答案】ABC 【分析】A选项，分析出AB选项中符合要求的情况，C选项，通过等差数列的性质分析出中心小方格中所填数必为5，并写出符合要求的情况，D选项可举出反例. 【详解】如图1，将填入网格中，这8个数列均为等差数列，A正确； 这9个数中，成等比数列的有：；；；， 但与这两个等比数列不可能在同一列，同一行，或对角线上， 所以这8个数列中最多有3个等比数列，比如图2， 故B正确； 若三个数成等差数列，则， 根据题意要有4组数列成等差数列，且中间的相同，则只能是，因为， 如图3满足要求， C正确； 若第一行为1,2,4，第一列为1,3,9，满足第一行，第一列均为等比数列， 第二行为3,5,7，第二列为2,5,8，则第二行和第二列均为等差数列，此时有两个等差数列，D错误, 故选：ABC 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则 D．数列是等比数列 【答案】AB 【分析】设出公比后，结合等比数列通项公式与定义计算可得A；分、，结合数列单调性讨论即可得B；由等比数列性质计算即可得C；举出反例可得D. 【详解】设数列公比为，则， 对A：，故数列是以为首项， 为公比的等比数列，故A正确； 对B：若，则， 若，则，解得， 则，此时数列是递减数列； 若，则，解得， 则，此时数列是递减数列； 故数列是递减数列，故B正确； 对C：，则，故（负值舍去）， 故，故C错误； 对D：若，则， 此时数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（      ） A． B．若，则最大为4048． C．是数列中的最大值 D． 【答案】AD 【分析】根据题意，联立方程组和，可得，所以从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.再分析每一个选项即可求解. 【详解】因为是公比为的等比数列， 由，得，所以， 由，，且，显然不成立，得， 从而，，同时数列是一个递减的正项等比数列， 即在等比数列中，从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于. 对于A：因为数列是一个递减的正项等比数列，成立等价于，故A正确； 对于B：在等比数列中，从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于. ，且， 若，则最大时，故B不正确； 对于C：接上面，，是数列中的最大值，故C不正确； 对于D，接上面，，故D正确. 故选：AD. 9．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知各项为正的数列的前n项和为，且，则（  ） A． B．数列是等比数列 C．数列是递减数列 D．数列中不存在小于的项 【答案】AC 【分析】由时，，即可计算判断A；根据递推关系计算出，再结合数列是等比数列得，再将其代入检验即可得判断B；根据为单调递增数列得，进而根据并结合单调性判断C；随着增大，递减且趋近于 0，即可判断D. 【详解】对于A，因为各项为正的数列的前n项和为，且， 所以，当时，， 因为，所以，，故A正确； 对于B，当时，，即， 因为数列的各项为正，所以， 当时，，即 若数列是等比数列，则，得， 代入，不满足， 所以数列是等比数列不成立，故B错误； 对于C，因为数列的各项为正， 所以为单调递增数列，且，即， 所以，所以， 由得， 所以，即， 所以数列是递减数列，故C正确； 对于D，由C选项知，数列是递减数列，为单调递增数列， 所以，随着增大，递减且趋近于 0，必然存在小于​的项，故D错误. 故选：AC 三、填空题 10．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则 . 【答案】1011 【分析】根据等差数列的性质以及对数的运算求得，进而求解结论. 【详解】数列、满足.其中是等差数列，， 为等差数列，设公差为，则，，则，故为等比数列， ， . 故答案为：1011. 11．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列和等比数列满足，，，，则的通项公式 ． 【答案】， 【分析】根据等差数列与等比数列的定义，进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，，， 可得，，，解得，，， 所以，, 所以，. 故答案为：，. 12．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的各项均为正数，，若表示不超过x的最大整数，则 ． 【答案】625 【分析】通过变形递推公式可知为等差数列，求出数列的通项公式，再根据新定义对分情况求出，再求和可得答案. 【详解】因为，所以， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，则， 因为数列的各项均为正数，所以，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，且， 则. 故答案为：625 四、解答题 13．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前n项和为，，，数列满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)求和； (3)记数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）利用题干给与的信息，代换，利用都是奇数所以，从而得到结果. （2）利用等比数列的定义，与题干给与的定义进行代换得到答案. （3）利用代换，换成题干给与的形式，从而得到证明结果. 【详解】（1），且，故为等比数列 （2）由（1）可知：，故． （3） 14．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的通项公式求出首项和公差,进而求出数列的通项公式; (2)利用裂项相消法求和，求得，然后作差法判断的单调性，以及结合，求得，然后根据恒成立建立不等式组，从而得解. 【详解】（1）设等差数列{ }的公差为， 由题意知： 解方程组得，所以， 即 （2）， ， 单调递增，， 又 若使得对一切恒成立，则，解得， ∴实数m的取值范围是． 15．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②在数列中是否存在不同的3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）退位作差得到公比，令求得，进而得到数列的通项公式； （2）①根据，求解即可；②反证法，假设存在，由等差中项性质得到，等比中项性质得到，联立解得，与题设矛盾，假设不成立，故不存在. 【详解】（1）设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以. （2）①由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则； ②不存在，理由如下： 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 1 学科网（北京）股份有限公司 $