3.2.1单调性与最大(小)值(第二课时) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 第二课时 第三章 函数的概念与性质 一 二 三 学习目标 理解函数最大（小）值得概念 会求函数最大（小）值 借助函数的单调性，结合函数图像，形成函数最值的概念，体会数形结合的思想与特殊到一般的转化过程 学习目标 问题1 下列函数图象有什么共同特征？ 追问4 函数f (x)=-x2中f (x)≤1成立吗?f(x)的最大值是1吗？为什么? 追问1 以f (x)=-x2为例，图象最高点的坐标是什么？ 追问2 对于定义域内的任意x，其函数值与图象最高点的纵坐标有什么关系？ 追问3 你能给函数图象最高点的纵坐标取个名字吗？ 问题2 你能给出“实数M是f(x)的最大值”的定义吗？ 1.函数的最大值与最小值 函数 最大值 最小值 条件 设函数y=f(x)的定义域为D，若存在实数M满足： ∀x∈D，都有f(x)≤M; ∃x0∈D，使得f(x0)=M. 结论 称M是函数y=f(x)的最大值 记作: f (x)max=M. 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 ∀x∈D，都有f(x)≥M; ∃x0∈D，使得f(x0)=M. 称M是函数y=f(x)的最小值 记作: f (x)min=M. f(x)图象上最低点的纵坐标 最大值和最小值统称为最值。 无最小值 2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的， 即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f (x)≥m）． 注 意： 1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f (x0) = M(或m)； 4.不是所有的函数都有最值 3.求函数的最值应先判断单调性(图象/定义/观察). 例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的关系为： h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？ 这时距地面的高度是多少（精确到1m） 解：画出函数的图象. o t h 4 3 2 1 5 10 15 20 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识可知，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18有: ∴烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m. 例5 求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值． [2,+∞] 延伸探究 3 已知函数g(x)=求函数g(x)在[1，+∞)上的最值. 大本P55 一、求函数的最值 一、求函数的最值 例1 已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最小值. 2.函数f(x)=的最大值为 A.1 B.2 C. D. 大本P54 大本P57 [补充2]求函数f(x)=2x2－2ax+4在区间[－1,1]上的最小值. [补充3]设函数f(x)=x2－2x－2，x∈[t,t+1]，t∈R，求f(x)最小值h(t). [变式2]设函数f(x)=－x2+2x+5，求f(x)在x∈[t,t+2]上的最大值. [变式1]求函数f(x)=x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值. (轴动区间定、轴定区间动) 二、含参二次函数的最值 10 1.函数的最大(小)值的应满足的条件？其几何意义？ 2.求一个函数的最大(小)值的方法？ （2）单调性法：先研究函数的单调性，再利用单调性的意义求函数的最大(小)值. 注：在实际运用中，我们更多的是将这两种方法结合起来，即采用“单调性+图象”的方法。 （1）图象法：先画出函数的图象，再直接函数最值的几何意义利求函数的最大(小)值； 课堂小结 11 $