第六单元 因数与倍数(知识清单)数学青岛版五年级上册

第六单元 因数与倍数 单元知识清单讲义 知识点一：因数与倍数的意义 1. 定义：如果( a × b = c)（a、 b、c 均为不为0的自然数），那么a 和 b 是 c 的因数， c 是 a 和b 的倍数； 2. 关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 知识点二：找一个数的因数与倍数 1. 找一个数的因数： （1）列乘法算式或除法算式； （2）一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身； 2. 找一个数的倍数： （1）用这个数依次乘1、2、3……； （2）一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 知识点三：2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8； 2. 5的倍数特征：个位上是0或5； 3. 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点四：奇数与偶数 1. 偶数：是2的倍数的数（包括0）； 2. 奇数：不是2的倍数的数。 知识点五：质数与合数 1. 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数，如2、3、5、7等； 2. 合数：除了1和它本身，还有其他因数的数，如4、6、15、49等； 3. 注意：1既不是质数，也不是合数。 知识点六：分解质因数 1. 定义：把一个合数写成几个质数相乘的形式； 2. 方法： （1）横式多次分解法； （2）短除法（常用方法）。 题型一：因数与倍数的认识 【例1】在20＝4×5中，4和5是20的( )，20是4和5的( )。 【练1】18的因数有( )，3的倍数有( )（写4个）。 【例2】8的因数有( )个，最小的因数是( )，最大的因数是( )。8的倍数有( )个，最小的倍数是( )。 【练2】一个数最大因数是17，这个数的最小倍数是( )。 【例3】已知甲数÷乙数＝3（甲、乙为非零自然数），则甲、乙两数的关系是（    ）。 A．甲数是倍数 B．乙数是甲数的质因数 C．甲数是乙数的倍数 【练3】根据96÷24＝4，下列叙述正确的是（    ）。 A．96是倍数 B．96是4的倍数 C．24是因数 D．以上叙述均正确 【例4】判断对错：51是倍数，3是因数。( ) 【练4】判断对错：因为1.5÷0.3＝5，所以说，1.5是0.3的倍数，0.3是1.5的因数。( ) 题型二：奇数与偶数 【例5】像2、4、6、8、10、12…这样，是( )的倍数的数叫作( )。 【练5】在51、28、1、17、4、22、47中，( )是奇数，( )是偶数。 【例6】奇数加奇数之和一定是( )，奇数加偶数之和一定是( )。 【练6】两个奇数的积一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 【例7】3个连续奇数的和是21，这3个奇数分别是( )、( )、( )。 【练7-1】3个连续偶数的和是18，这3个数分别是（    ）。 A．8、9、0 B．5、6、7 C．4、6、8 【练7-2】三个连续偶数，其中最小的一个是m，那么另外两个数是（    ）。 A．m＋2和m＋4 B．m＋2和m－2 C．m－2和m－4 题型三：2、5、3的倍数特征 【例8】在2、8、14、15、19、25中，2的倍数有( )，5的倍数有( )。 【练8】请你在这四个不重复的数字卡片中，任意选出两张，满足下列要求。（分别写两个） ①2的倍数：                          ③奇数：   ②5的倍数：                          ④偶数：   【例9】既是2的倍数又是3的倍数，还含有因数5的最小两位数是( )。 【练9-1】三位数31□既是3的倍数，又是5的倍数，那么□里的数是( )。三位数42□既是2的倍数又是3的倍数，那么□里的数是( )。 【练9-2】在0、1、4、5中选出三个数字，组成三位数，能同时被2、3、5整除的数，这个数最小是( )，最大是( )。 【练9-3】美阳小区计划植树1034棵，至少再多种( )棵，就是3的倍数，至少再多种( )棵，就是5的倍数。 题型四：质数与合数 【例10】自然数中最小的奇数是( )最小的偶数是( )，10以内的最大的质数是( )。 【练10】在100以内最大的质数与最小的质数的和是( )，差是( )。 【例11】在1、2、9、21、15这五个数中，质数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 【练11-1】将标有数字1至9的九张相同卡片放入抽奖箱，抽到（    ）卡片的可能性最大。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【练11-2】用3和6组成的两位数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．合数 【练11-3】成语中两个数都是质数的是（    ）；两个数都是合数的是（    ）。我选（    ）。 ①丢三落四  ②三令五申  ③九牛一毛  ④十拿九稳 A．①② B．②④ C．①④ D．②③ 【练11-4】蛋糕店制作桃花糕，制作一块桃花糕需要桃花酱的克数是5的倍数，若制作多个桃花糕，则使用的桃花酱的克数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 题型五：分解质因数 【例12】分解质因数。 36     52     60 【练12】用短除法分解质因数。 36           42          56           91 【例13】下列分解质因数正确的是（    ）。 A．8＝2×4 B．20＝2×2×5 C．15＝3×5×1 【练13-1】把28分解质因数，下列选项正确的是（    ）。 A．28＝1×2×2×7 B．28＝4×7 C．28＝2×2×7 D．28＝1×28 【练13-2】如果A＝2×3×7，B＝2×2×3×7，那么A和B的最大公因数是( )。 1．a是b的倍数，b是c的倍数(a、b、c均不为0)，则a是c的(     )。 A．倍数 B．质因数 C．因数 D．不确定 2．将分别标有1、2、3、4、5、6的六个同样的小球放在一个袋子里，从袋子里任意摸出一个球，球上的数是质数与合数的可能性相比（    ）。 A．质数可能性大 B．合数可能性大 C．质数和合数可能性相等 3．下面说法正确的是（    ）。 A．2的倍数都是偶数，3的倍数都是奇数。 B．三个连续自然数组成的三位数一定是3的倍数。 C．67至少减去1就是5的倍数。 D．5的倍数一定比3的倍数大。 4．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，（    ）是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 5．任意两个不同质数的积有（    ）个因数。 A．2 B．3 C．4 6．下列描述中，说法错误的是（    ）。 A．大于2的偶数都是合数 B．将15分解质因数是：15＝3×5×1 C．个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数 D．31既是奇数也是质数 7．奇思的日记本有密码锁，密码是一个五位数。第一个数字是最小的质数，第二个数字既是偶数又是3的倍数，第三个数字是7，第四个数字是最小的合数，第五个数字是质数中最大的一位数，这个密码是（    ）。 A．16729 B．26747 C．16749 D．26729 8．被称为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想，是数学上一个著名的难题，猜想认为：“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和”。例如，6＝3＋3，8＝3＋5，10＝5＋5，12＝5＋7，下列式子中反映这个猜想的是（    ）。 A．20＝1＋19 B．7＝2＋5 C．16＝5＋11 D．9＝3＋6 9．张叔叔家的车牌号是鲁G7，每个图形代表一个一位数，其中◎是最小的合数，是最大的一位数，既是偶数也是质数，★既是2的倍数也是3的倍数。张叔叔的车牌号是鲁G7( )。 10．黎明小学进行社团展示，百灵鸟社团有39人，器乐社团有41人，益智社团有23人，航模社团有91人，各社团全体成员排队展示才艺。能排成方队展示的社团是( )和( )，不能排成方队展示的社团是( )和( )。 11．费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想，意思是：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2＋b2”的形式。例如，29是一个奇质数，29÷4＝7……1，那么29可以写成“52＋22”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。根据上面的说法，请写出一个20以内符合要求的奇质数，这个数是( )。它可以写成( )的形式。 12．用短除法把下面各数分解质因数。 28                      36                      45 13． 明德小学五（1）班有学生40人，要把这些学生分成人数相等的若干个小组（每个小组至少2人），有几种分法？每组最多有多少人？ 14． 幼儿园里有一些小朋友，大于5人且小于20人。王老师拿了32块糖平均分给这些小朋友，正好分完。小朋友的人数可能是多少？ 15． 小明、小华两位同学共向河南灾区捐款180元，其中小明捐款的钱数是小华捐款的钱数的2倍，小明、小华各捐款多少元？ 16．贝贝家客厅的地面是一个长3.5米，宽2.4米的长方形。爸爸计划给客厅铺上长是6分米，宽是5分米的长方形地板砖。应该怎样铺？请你在下边的长方形中画出你的铺法。算一算，一共需要多少块这样的地板砖？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数 单元知识清单讲义 知识点一：因数与倍数的意义 1. 定义：如果( a × b = c)（a、 b、c 均为不为0的自然数），那么a 和 b 是 c 的因数， c 是 a 和b 的倍数； 2. 关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 知识点二：找一个数的因数与倍数 1. 找一个数的因数： （1）列乘法算式或除法算式； （2）一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身； 2. 找一个数的倍数： （1）用这个数依次乘1、2、3……； （2）一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 知识点三：2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8； 2. 5的倍数特征：个位上是0或5； 3. 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点四：奇数与偶数 1. 偶数：是2的倍数的数（包括0）； 2. 奇数：不是2的倍数的数。 知识点五：质数与合数 1. 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数，如2、3、5、7等； 2. 合数：除了1和它本身，还有其他因数的数，如4、6、15、49等； 3. 注意：1既不是质数，也不是合数。 知识点六：分解质因数 1. 定义：把一个合数写成几个质数相乘的形式； 2. 方法： （1）横式多次分解法； （2）短除法（常用方法）。 题型一：因数与倍数的认识 【例1】在20＝4×5中，4和5是20的( )，20是4和5的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 【详解】在20＝4×5中，4和5是20的因数，20是4和5的倍数。 【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握因数和倍数的概念。 【练1】18的因数有( )，3的倍数有( )（写4个）。 【答案】 1、2、3、6、9、18 3、6、9、12 【分析】找因数，从最小的自然数1找起，一直找到它本身，一对对地找；找倍数，从它本身开始，分别乘1，2，3……即可得到。据此解答。 【详解】18＝1×18＝2×9＝3×6，18的因数有1、2、3、6、9、18； 3×1＝3，3×2＝6，3×3＝9，3×4＝12……，3的倍数有3、6、9、12…… 【点睛】解答此题需明确：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【例2】8的因数有( )个，最小的因数是( )，最大的因数是( )。8的倍数有( )个，最小的倍数是( )。 【答案】 4 1 8 无数 8 【分析】根据因数的求法，先求出8的因数，再统计出它的因数个数，找出其中的最小因数和最大因数；根据倍数的特征，填出8的倍数个数，以及它的最小倍数。 【详解】8＝1×8＝2×4，所以8的因数有：1、2、4、8，一共有4个，其中最小的因数是1，最大的因数是8。8的倍数有无数个，其中最小的倍数是8。 【点睛】本题考查了因数和倍数，一个数的最大因数是本身，最小倍数也是本身。 【练2】一个数最大因数是17，这个数的最小倍数是( )。 【答案】17 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【详解】一个数最大因数和最小倍数都是它本身，一个数最大因数是17，这个数是17，这个数的最小倍数是17。 【例3】已知甲数÷乙数＝3（甲、乙为非零自然数），则甲、乙两数的关系是（    ）。 A．甲数是倍数 B．乙数是甲数的质因数 C．甲数是乙数的倍数 【答案】C 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 【详解】已知甲数÷乙数＝3（甲、乙为非零自然数），则乙数×3＝甲数，所以甲数是乙数的倍数。故答案为：C 【练3】根据96÷24＝4，下列叙述正确的是（    ）。 A．96是倍数 B．96是4的倍数 C．24是因数 D．以上叙述均正确 【答案】B 【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数和倍数相互依存，不能单独存在。据此解答。 【详解】根据96÷24＝4，上列叙述正确的是96是4的倍数，4是96的因数。 故答案为：B 【例4】判断对错：51是倍数，3是因数。( ) 【答案】× 【分析】因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如，在乘法算式a×b＝c中，a与b是c的因数，c是a与b的倍数。 【详解】根据分析可知，因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在，原题的说法是错误的。故答案为：× 【练4】判断对错：因为1.5÷0.3＝5，所以说，1.5是0.3的倍数，0.3是1.5的因数。( ) 【答案】× 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数；据此判断。 【详解】1.5÷0.3＝5，被除数和除数都是小数，不在因数和倍数的研究范围。 原题说法错误。故答案为：× 题型二：奇数与偶数 【例5】像2、4、6、8、10、12…这样，是( )的倍数的数叫作( )。 【答案】 2 偶数 【详解】根据奇数和偶数的定义可知，自然数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。所以像2、4、6、8、10、12…这样，是2的倍数的数叫作偶数。 【练5】在51、28、1、17、4、22、47中，( )是奇数，( )是偶数。 【答案】 51、1、17、47 28、4、22 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是偶数，个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。据此填空。 【详解】在51、28、1、17、4、22、47中，51、1、17、47是奇数，28、4、22是偶数。 【例6】奇数加奇数之和一定是( )，奇数加偶数之和一定是( )。 【答案】 偶数 奇数 【分析】根据奇偶数的运算性质，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，据此解答即可。 【详解】奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数 所以奇数加奇数之和一定是偶数，奇数加偶数之和一定是奇数。 【练6】两个奇数的积一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 【答案】A 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数； 在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数。据此逐项举例分析即可。 【详解】由分析可得： A．奇数1和3，1×3＝3，3是奇数，奇数7和9，7×9＝63，63是奇数，同时根据奇数×奇数＝奇数的原则，所以两个奇数的积一定是奇数； B．奇数1和3，1×3＝3，3是奇数，不是偶数，所以两个奇数的积一定是偶数是错误的； C．奇数5和3，5×3＝15，15是合数，不是质数，所以两个奇数的积一定是质数是错误的。 故答案为：A 【例7】3个连续奇数的和是21，这3个奇数分别是( )、( )、( )。 【答案】 5 7 9 【分析】相邻的奇数相差2，用3个连续奇数的和÷3，求出中间奇数，分别减2、加2即可得到另外两个奇数。 【详解】21÷3＝7 7－2＝5 7＋2＝9 【练7-1】3个连续偶数的和是18，这3个数分别是（    ）。 A．8、9、0 B．5、6、7 C．4、6、8 【答案】C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，据此分析。 【详解】A．9不是偶数，故不符合题意； B．5和7不是偶数，故不符合题意； C．4＋6＋8 ＝10＋8 ＝18，符合题意。 3个连续偶数的和是18，这3个数分别是4、6、8。 故答案为：C 【练7-2】三个连续偶数，其中最小的一个是m，那么另外两个数是（    ）。 A．m＋2和m＋4 B．m＋2和m－2 C．m－2和m－4 【答案】A 【分析】连续偶数之间相差2，已知最小的偶数是m，则中间的偶数比m大2，最大的偶数比中间的偶数大2。 【详解】最小的偶数：m 中间的偶数：m＋2 最大的偶数：m＋2＋2＝m＋4 即三个连续的偶数，最小的一个是m，另外两个数分别是m＋2和m＋4。 故答案为：A 题型三：2、5、3的倍数特征 【例8】在2、8、14、15、19、25中，2的倍数有( )，5的倍数有( )。 【答案】 2、8、14 15、25 【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 2的倍数有：2、8、14；5的倍数有：15、25。 【点睛】本题考查2、5的倍数特征，明确2、5的倍数特征是解题的关键。 【练8】请你在这四个不重复的数字卡片中，任意选出两张，满足下列要求。（分别写两个） ①2的倍数：                          ③奇数：   ②5的倍数：                          ④偶数：   【答案】 40、74 47、75 50、45 54、70 【分析】根据偶数、奇数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；再根据5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。据此解答。 【详解】①2的倍数：40、74                          ③奇数：47、75 ②5的倍数：50、45                          ④偶数：54、70 【点睛】此题考查的目的是理解掌握偶数与奇数的意义，再掌握2、5的倍数的特征。 【例9】既是2的倍数又是3的倍数，还含有因数5的最小两位数是( )。 【答案】30 【分析】2的倍数的特征是，个位数字是0，2，4，6，8；3的倍数的特征是，各位数字之和能被3整除；5的倍数的特征是，个位数字是0或5，要使这个三位数同时是2，5、3的倍数，个位是0，据此解答。 【详解】10；是2的倍数，是5的倍数，不是3的倍数； 20；是2的倍数，是5的倍数，不是3的倍数； 30；是2的倍数，是5的倍数，是3的倍数，最小的两位数是30； 既是2的倍数又是3的倍数，还含有因数5的最小两位数是30。 【练9-1】三位数31□既是3的倍数，又是5的倍数，那么□里的数是( )。三位数42□既是2的倍数又是3的倍数，那么□里的数是( )。 【答案】 5 0或6 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。 【详解】（1）三位数31□是5的倍数，□里可以填0或5； 其中，3＋1＋0＝4，不是3的倍数； 3＋1＋5＝9，是3的倍数； 所以，三位数31□既是3的倍数，又是5的倍数，那么□里的数是5。 （2）三位数42□是2的倍数，□里可以填0、2、4、6、8； 其中，4＋2＋0＝6，是3的倍数； 4＋2＋2＝8，不是3的倍数； 4＋2＋4＝10，不是3的倍数； 4＋2＋6＝12，是3的倍数； 4＋2＋8＝14，不是3的倍数； 所以，三位数42□既是2的倍数又是3的倍数，那么□里的数是0或6。 【练9-2】在0、1、4、5中选出三个数字，组成三位数，能同时被2、3、5整除的数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 150 540 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。同时能被2、3、5整除的数，末尾数一定是0，要想组成最小三位数，先选出1放到百位，再考虑十位，要想组成最大的三位数，先选出5放在百位，再考虑十位，据此解答即可。 【详解】能被2、3、5整除的三位数有：150，450，510，540。 最小三位数是150，最大三位数是540。 在0、1、4、5中选出三个数字，组成三位数，能同时被2、3、5整除的数，这个数最小是150，最大是540。 【练9-3】美阳小区计划植树1034棵，至少再多种( )棵，就是3的倍数，至少再多种( )棵，就是5的倍数。 【答案】 1 1 【分析】3的倍数的特征：各个数位之和能够被3整除，5的倍数的特征：个位上是0或5的数，据此解答即可。 【详解】1＋3＋4＝8，所以至少再多种1棵，就是3的倍数； 4＋1＝5，至少再多种1棵，就是5的倍数。 题型四：质数与合数 【例10】自然数中最小的奇数是( )最小的偶数是( )，10以内的最大的质数是( )。 【答案】 1 0 7 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数。所以最小的奇数是1，最小的偶数是0； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。10以内的质数有：2、3、5、7，其中最大的是7。 【详解】自然数中最小的奇数是1，最小的偶数是0，10以内最大的质数是7。 【练10】在100以内最大的质数与最小的质数的和是( )，差是( )。 【答案】 99 95 【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数； 最小的质数是2，100以内最大的质数是97，据此算出它们的和与差。 【详解】由分析可得：97＋2＝99；97－2＝95 综上所述：在100以内最大的质数与最小的质数的和是99，差是95。 【例11】在1、2、9、21、15这五个数中，质数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 【答案】A 【分析】根据质数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2，1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【详解】1、2、9、21、15中，质数是2，质数有1个。故答案为：A 【练11-1】将标有数字1至9的九张相同卡片放入抽奖箱，抽到（    ）卡片的可能性最大。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】C 【分析】找到1至9中的奇数、偶数、质数和合数，任意抽取一张，谁的数量多，被抽到的可能性就大。 【详解】1至9的九张相同卡片奇数有：1、3、5、7、9共5个；偶数有：2、4、6、8共4个；质数有：2、3、5、7共4个；合数有：4、6、8、9共4个。则抽到奇数卡片的可能性最大。 【练11-2】用3和6组成的两位数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．合数 【答案】C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】A．36是偶数，所以用3和6组成的两位数不一定奇数； B．63是奇数，所以用3和6组成的两位数不一定偶数； C．36和63都是合数，所以用3和6组成的两位数一定是合数。 故答案为：C 【练11-3】成语中两个数都是质数的是（    ）；两个数都是合数的是（    ）。我选（    ）。 ①丢三落四  ②三令五申  ③九牛一毛  ④十拿九稳 A．①② B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数。据此解答。 【详解】①丢三落四，3的因数只有1和3，则3是质数；4的因数有1、2、4，则4是合数。 ②三令五申，3是质数；5的因数只有1和5，则5也是质数。   ③九牛一毛，9的因数有1、3、9，则9是合数；1既不是质数，也不是合数。   ④十拿九稳，10的因数有1、2、5、10，则10是合数；9也是合数。 成语中两个数都是质数的是②三令五申；两个数都是合数的是④十拿九稳。 故答案为：B 【练11-4】蛋糕店制作桃花糕，制作一块桃花糕需要桃花酱的克数是5的倍数，若制作多个桃花糕，则使用的桃花酱的克数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】D 【分析】根据题意，若制作多个桃花糕，则使用的桃花酱的克数一定合数，例如制作2个桃花糕，则使用的桃花酱的克数是10克，10是偶数，10是合数；制作3个桃花糕，则使用的桃花酱的克数是15克，15是奇数，15是合数；所以制作一块桃花糕需要桃花酱的克数是5的倍数，若制作多个桃花糕，则使用的桃花酱的克数可能是奇数，可能是合数，一定合数。据此解答即可。 【详解】根据分析可知，制作一块桃花糕需要桃花酱的克数是5的倍数，例如：10、15、20、25、30……，所以，若制作多个桃花糕，则使用的桃花酱的克数一定合数。 故答案为：D 题型五：分解质因数 【例12】分解质因数。 36     52     60 【答案】36＝2×2×3×3；52＝2×2×13；60＝2×2×3×5 【分析】分解质因数的定义：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数。 【详解】36＝2×2×3×3 52＝2×2×13 60＝2×2×3×5 【练12】用短除法分解质因数。 36           42          56           91 【答案】36＝2×2×3×3；42＝2×3×7；56＝2×2×2×7；91＝7×13 【分析】用短除法分解质因数时，从一个数的最小质因数除起，一直除下去，直到除得的商是质数为止。据此解答。 【详解】 36＝2×2×3×3 42＝2×3×7 56＝2×2×2×7 91＝7×13 【例13】下列分解质因数正确的是（    ）。 A．8＝2×4 B．20＝2×2×5 C．15＝3×5×1 【答案】B 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。据此逐一分析各项即可。 【详解】A．8＝2×4中4是合数，则8＝2×4分解质因数错误； B．20＝2×2×5，分解质因数正确； C．15＝3×5×1中1不是质数，所以原式分解质因数错误。 故答案为：B 【练13-1】把28分解质因数，下列选项正确的是（    ）。 A．28＝1×2×2×7 B．28＝4×7 C．28＝2×2×7 D．28＝1×28 【答案】C 【分析】根据分解质因数的意义：把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数；由此解答即可。 【详解】把28分解质因数可以写成28＝2×2×7。 故答案为：C。 【练13-2】如果A＝2×3×7，B＝2×2×3×7，那么A和B的最大公因数是( )。 【答案】42 【分析】最大公因数是两个数公有质因数的乘积。找出A与B的公有质因数，并相乘即为A和B最大公因数。 【详解】由题可知，A＝2×3×7，B＝2×2×3×7，所以A和B公有的质因数：2、3、7 A和B最大公因数：2×3×7＝42 如果A＝2×3×7，B＝2×2×3×7，那么A和B的最大公因数是（42）。 1．a是b的倍数，b是c的倍数(a、b、c均不为0)，则a是c的(     )。 A．倍数 B．质因数 C．因数 D．不确定 【答案】A 【分析】a是b的倍数，b是c的倍数(a、b、c均不为0)，则a是c的倍数。 【详解】a是c的倍数。 故答案为：A。 【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握因数和倍数的概念。 2．将分别标有1、2、3、4、5、6的六个同样的小球放在一个袋子里，从袋子里任意摸出一个球，球上的数是质数与合数的可能性相比（    ）。 A．质数可能性大 B．合数可能性大 C．质数和合数可能性相等 【答案】A 【分析】质数只有1和它本身2个因数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数；首先明确1-6中质数、合数的数量，然后比较数量多少确定摸出质数与合数可能性的大小，数量越多可能性越大。 【详解】质数有2、3、5，共3个；合数有4、6，共2个； 因为3＞2，质数比合数数量多，所以摸出质数的可能性大。 故答案为：A 3．下面说法正确的是（    ）。 A．2的倍数都是偶数，3的倍数都是奇数。 B．三个连续自然数组成的三位数一定是3的倍数。 C．67至少减去1就是5的倍数。 D．5的倍数一定比3的倍数大。 【答案】B 【分析】偶数：像0，2，4，6，8…都是2的倍数的数叫做偶数。 奇数：像1，3，5，7…不是2的倍数的数叫做奇数。 5的倍数的特征：一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。 3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数。 2的倍数的特征：一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数： 根据奇数、偶数、5的倍数、3的倍数、2的倍数的特征，结合题意分析解答即可。 【详解】A．2的倍数都是偶数，3的倍数可能是奇数，有可能是偶数，例如12是3的倍数，12是偶数。所以本选项说法错误。 B．设三个连续自然数中的第一个为a，由这三个连续的自然数可表示为a、a＋1，a＋2，其和为：a＋（a＋1）＋（a＋2）＝3×（a＋1），所以三个连续自然数的和一定是3的倍数。所以本选项说法正确。 C．5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。67至少减去2就是5的倍数，所以本选项说法错误。 D．5的倍数不一定比3的倍数大，例如5是5的倍数，6是3的倍数，5小于6，所以本选项说法错误。 故答案为：B 4．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，（    ）是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题可知，一个数等于除了它本身以外的全部因数之和的数叫作完全数，所以先分别找出每个选项中数字的除了自身以外的因数，再计算这些因数的和，看是否等于该数字的本身，从而判断哪个数是完全数，据此解答。 【详解】A．8的因数有：1、2、4、8，1＋2＋4＝7，7≠8，所以8不是完全数。 B．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数。 C．36的因数有：1、2、4、6、9、18，1＋2＋4＋6＋9＋18＝41，41≠36，所以36不是完全数。 D．49的因数有1、7、49，1＋7＝8，8≠49，所以49不是完全数。 故答案为：B 5．任意两个不同质数的积有（    ）个因数。 A．2 B．3 C．4 【答案】C 【分析】一个数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。假设a、b是两个不同质数，则他们的积是ab，找出ab的因数即可解答。 【详解】假设a、b是两个不同质数，则他们的积是ab：ab的因数有1、a、b、ab四个因数。 所以任意两个不同质数的积有4个因数。 故答案为：C 6．下列描述中，说法错误的是（    ）。 A．大于2的偶数都是合数 B．将15分解质因数是：15＝3×5×1 C．个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数 D．31既是奇数也是质数 【答案】B 【分析】A．整数中，是2的倍数的数叫做偶数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 B．分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 C．2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数； 5的倍数特征：个位上是0或5的数； 既是2的倍数又是5的倍数特征：个位上是0的数。 D．整数中，不是2的倍数的数叫做奇数； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 【详解】A．大于2的偶数都是合数，原题说法正确； B．1不是质数，所以分解质因数中不能出现1；将15分解质因数是：15＝3×5，原题说法错误； C．个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数，原题说法正确； D．31既是奇数也是质数，原题说法正确。 故答案为：B 7．奇思的日记本有密码锁，密码是一个五位数。第一个数字是最小的质数，第二个数字既是偶数又是3的倍数，第三个数字是7，第四个数字是最小的合数，第五个数字是质数中最大的一位数，这个密码是（    ）。 A．16729 B．26747 C．16749 D．26729 【答案】B 【分析】第一个数字是最小的质数，最小的质数是2，所以第一个数是2，第二个数字既是偶数又是3的倍数，因为一个位上只有一个数字，所以第二个数是6，第三个数字是7，第四个数字是最小的合数，最小的合数是4，所以第四个数是4，第五个数字是质数中最大的一位数，一位数中最大的质数是7，所以这个数是26747。 【详解】密码是一个五位数。第一个数字是最小的质数2，第二个数字既是偶数又是3的倍数6，第三个数字是7，第四个数字是最小的合数4，第五个数字是质数中最大的一位数7，这个密码是26747。 故答案为：B 8．被称为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想，是数学上一个著名的难题，猜想认为：“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和”。例如，6＝3＋3，8＝3＋5，10＝5＋5，12＝5＋7，下列式子中反映这个猜想的是（    ）。 A．20＝1＋19 B．7＝2＋5 C．16＝5＋11 D．9＝3＋6 【答案】C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作素数；先看选项中的和是否是一个大于2的偶数，再看两个加数是否都是素数。据此逐项判断。 【详解】A．20＝1＋19，20是大于2的偶数，1既不是素数也不是合数，不符合哥德巴赫猜想； B．7＝2＋5，7是奇数，不是合数，所以7＝2＋5不符合哥德巴赫猜想； C．16＝5＋11，16是大于2的偶数，5和11都是素数，所以16＝5＋11符合哥德巴赫猜想； D．9＝3＋6，9不是偶数，6不是素数，是合数，所以该选项不符合哥德巴赫猜想。 所以符合哥德巴赫猜想的是：16＝5＋11。 故答案为：C 9．张叔叔家的车牌号是鲁G7，每个图形代表一个一位数，其中◎是最小的合数，是最大的一位数，既是偶数也是质数，★既是2的倍数也是3的倍数。张叔叔的车牌号是鲁G7( )。 【答案】4926 【分析】 根据数学概念确定每个图形代表的数字：最小的合数是4（所以◎＝4 ）；最大的一位数是9（所以＝9 ）；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，偶数是能够被2所整除的整数，所以既是偶数也是质数的数只有2（所以＝2 ）；一个数既是2的倍数也是3的倍数，需满足是偶数且各位数字和是3的倍数，一位数中符合的是6（所以★＝6 ）。据此解答。 【详解】确定◎：最小的合数是4，◎＝4 确定：最大的一位数是9， ＝9 确定：既是偶数也是质数的数是2，＝2 确定★：一位数中，既是2的倍数也是3的倍数的是6，★＝6 车牌号是鲁G74926 。 10．黎明小学进行社团展示，百灵鸟社团有39人，器乐社团有41人，益智社团有23人，航模社团有91人，各社团全体成员排队展示才艺。能排成方队展示的社团是( )和( )，不能排成方队展示的社团是( )和( )。 【答案】 百灵鸟社团 航模社团 器乐社团 益智社团 【分析】人数是合数的数是可以分成排成方队展示的，而人数是质数的数是不可以排成方队的。只有1和它本身两个因数的数叫作质数（素数）；除了1和它本身，还有其他因数的数叫作合数。 【详解】39的因数：1、3、13、39，故39是合数，百灵鸟社团能排成3排，每排13个人的方队； 91的因数：1、7、13、91，故91是合数，航模社团能排成7排，每排13个人的方队； 41的因数：1、41，故41是质数，器乐社团不能排成方队； 23的因数：1、23，故23是质数，益智社团不能排成方队。 11．费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想，意思是：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2＋b2”的形式。例如，29是一个奇质数，29÷4＝7……1，那么29可以写成“52＋22”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。根据上面的说法，请写出一个20以内符合要求的奇质数，这个数是( )。它可以写成( )的形式。 【答案】 13 13＝32＋22 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 先在20以内找出一个除以4时余数为1的奇质数，然后写成“a2＋b2”的形式即可。 【详解】13＝32＋22 或17＝42＋12 这个数是13，它可以写成13＝32＋22的形式。（答案不唯一） 12．用短除法把下面各数分解质因数。 28                      36                      45 【答案】见详解 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 用短除法分解质因数，把这个数写在短除号里面，除以它的质因数，一直除到所得的商是质数为止，把所有的除数和最后的商连乘起来即可。 【详解】28＝2×2×7              36＝2×2×3×3               45＝3×3×5                             13．明德小学五（1）班有学生40人，要把这些学生分成人数相等的若干个小组（每个小组至少2人），有几种分法？每组最多有多少人？ 【答案】6种；20人 【分析】要把这些学生分成人数相等的若干个小组（每个小组至少2人），说明满足条件的小组数是40的因数，先找出40的所有因数，再解答即可。 【详解】40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40共8个。因为每组至少有2人，所以只有6种分法。 组数最少时，每组分得人数最多，则每组最多有：40÷2＝20（人） 答：有6种分法，每组最多有20人。 14．幼儿园里有一些小朋友，大于5人且小于20人。王老师拿了32块糖平均分给这些小朋友，正好分完。小朋友的人数可能是多少？ 【答案】8人或16人 【分析】根据题意，小朋友的人数是32的因数。据此，先利用等积式找出32的所有因数，再从中找出大于5且小于20的，即可解题。 【详解】32＝1×32＝2×16＝4×8 所以，32的因数有1、2、4、8、16和32，其中大于5且小于20的有8和16。 答：小朋友的人数可能是8人或16人。 15．小明、小华两位同学共向河南灾区捐款180元，其中小明捐款的钱数是小华捐款的钱数的2倍，小明、小华各捐款多少元？ 【答案】120元；60元 【分析】将总捐款分成3份，小明捐款的钱数是小华捐款的钱数的2倍，所以小明捐款占2份，小华捐款占1份，然后依此分配即可。 【详解】180÷3＝60（元） 小明：60×2＝120（元） 小华：60×1＝60（元） 答：小明捐款120元，小华捐款60元。 16．贝贝家客厅的地面是一个长3.5米，宽2.4米的长方形。爸爸计划给客厅铺上长是6分米，宽是5分米的长方形地板砖。应该怎样铺？请你在下边的长方形中画出你的铺法。算一算，一共需要多少块这样的地板砖？ 【答案】图见详解；28块 【分析】根据题意可知客厅的长是地砖的宽的倍数，宽是地砖长的倍数，据此求出客厅的长能铺几块地砖，宽可以铺几块地砖，再相乘求出总共可以铺的数量，注意单位换算。 【详解】 3.5米＝35分米 2.4米＝24分米 （35÷5）×（24÷6） ＝7×4 ＝28（块） 答：一共需要28块这样的地板砖。 【点睛】本题考查小数除法、长方形的概念，解答本题的关键是掌握长方形的概念。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $