大单元复习03 函数的概念与性质训练-2025-2026学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

大单元复习03 函数的概念与性质（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 6 【考点1】函数的定义域 6 【考点2】函数的值域 9 【考点3】函数的解析式 12 【考点4】函数图象 15 【考点5】分段函数 20 【考点6】函数单调性判断与证明 22 【考点7】利用函数单调性求参（或解不等式） 25 【考点8】不等式恒成立 28 【考点9】函数奇偶性 31 【考点10】幂函数 35 【考点11】函数的应用 37 知识梳理 一、函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围是集合A 值域 与x对应的y的值的集合是C＝{f(x)|x∈A} 二、区间的概念 设a，b∈R，且a<b，“区间”规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) 实数集R为(－∞，＋∞)，其中“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”. 三、函数的要素 (1)由函数的定义知， 一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.函数的值域由定义域与对应关系决定. (2)同一个函数 前提条件 定义域相同 对应关系完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 (3)常见函数的值域 ①一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 四、函数的表示方法 函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 五、分段函数 (1)在函数定义域内，对于自变量x的不同取值，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 六、函数的单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 图示 七、函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. (1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域. (2)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接. 八、函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ∀x∈I，都有f(x)≤M ∀x∈I，都有f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 九、奇函数、偶函数的定义及图象特征 (1)偶函数的定义及图象特征 ①偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数. ②偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的定义及图象特征 ①奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数. ②奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数. 十、函数的奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性. 十一、函数奇偶性与单调性的关系 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. (3)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M. (4)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 十二、抽象函数的奇偶性 设函数y＝f(x)与y＝g(x)是奇函数，且它们公共定义域为D.试判定函数h(x)＝f(x)＋g(x)与M(x)＝f(x)·g(x)在定义域D上的奇偶性.则h(x)是奇函数，M(x)是偶函数. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，在它们公共定义域上，试判定函数y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]的单调性.则y＝f(x)·g(x)是奇函数，函数y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]都是偶函数. 十一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 十二、幂函数的图象与性质 观察问题中的函数图象，填写下面表格 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，＋∞)，增；x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减；x∈(－∞，0)，减 公共点 都经过点(1，1) 十三、常见函数模型 函数模型 解析式的一般形式 一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数 y＝ 幂函数型 y＝axn＋b(n≠1，a≠0) 十四、解决函数实际应用问题的基本步骤 解函数应用题步骤用框图表示如图： 热考题型 【考点1】函数的定义域 1（单选）（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 2（单选）（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3（单选）（23-24高一上·江苏·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可. 【详解】由函数的定义域为，可得 函数的定义域为，函数， 可得 解得， 所以函数定义域为． 故选：D． 4（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 5（多选）（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【详解】对于A，先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B，由函数定义分函数在处有没有定义即可判断；对于C，由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D，先由函数定义域为得，从而得函数有，解该不等式即可得解. 【分析】对于A，函数的定义域为，函数定义域为， 故函数和不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有个， 若函数在处没有定义，则的图象与直线的没有交点； 所以函数的图象与直线的交点最多有个，故B正确； 对于C，因为函数与的定义域均为， 且两函数对应关系相同，所以函数与是同一函数，故C正确； 对于D，对函数，其定义域为， 所以对函数有，解得， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：BCD. 6（填空）（24-24高二下·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意，可得，即的定义域为，进而根据，解不等式即可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以，即的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【考点2】函数的值域 1（单选）（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 2（单选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可． 【详解】根据题意知函数定义域为，令， 所以， 当时，，所以函数的值域为. 故选：C. 3（单选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据的定义域求出的定义域，再换元利用二次函数的性质即可求出. 【详解】的定义域为， 中，，解得， 即的定义域为，令，则 则， 当时，；当时，， 的值域为. 故选：B. 4（多选）（24-25高一上·四川攀枝花·阶段练习）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解． 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 5（多选）（24-25高一上·湖北襄阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围 【答案】AD 【分析】由抽象函数的定义域即可判断A，由一元二次不等式恒成立即可判断B，由换元法求函数值域即可判断C，由二次函数的单调性即可判断D 【详解】对于A，因为的定义域为，则，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B，当时，不等式，符合要求； 当时，关于x的不等式恒成立， 则满足，解得， 综上，实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，令，则，即， 所以， 因为，所以函数在上单调递减， 当时，，所以，则函数的值域为，故C错误； 对于D，由函数在区间上单调递减， 可得，解得，故D正确； 故选：AD 6（填空）（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 【考点3】函数的解析式 1（单选）（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据待定系数法可得函数解析式，进而即得. 【详解】设，则, 因为， 所以，解得， 所以，. 故选：B. 2（单选）（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 3（单选）（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 4（多选）（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 5（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 【答案】BC 【分析】法一：利用配凑法求得的解析式，法二，利用换元法求得的解析式判断A；利用解析式求值域判断B；求复合函数的定义域和值域判断选项CD. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以，，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，显然，，于是， 因此的值域为，故D错误． 故选：BC. 6（填空）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知是一次函数，且，求的解析式 ． 【答案】或 【分析】设，得到，对照系数，得到方程组，求出答案. 【详解】设，则， 故，所以， 解得或， 故或. 故答案为：或. 【考点4】函数图象 1（单选）（23-24高一上·天津·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 2（单选）（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项. 【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减， 从点到点的过程中，的值先减后增， 从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增， 所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意， 故选：D. 3（单选）（22-23高三上·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像. 【详解】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式， 故选：C. 4（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示y是x的函数 x 有理数 无理数 y 1 D．图象 可以表示函数的图象 【答案】BC 【分析】利用函数的定义及表示方法一一判定选项即可. 【详解】对于A项，并非所有函数都有解析式，故A错误； 对于B项，函数，，是直线上对应的五个点，故B正确； 对于C项，表格表示函数，因为对于任意自变量，都有唯一的函数值与之对应，故C正确； 对于D项，图中对于任意自变量，并非都有唯一的函数值与之对应，故D错误. 故选：BC 5（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下论断，正确的是（    ）    A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点，一个进水口进水，同时出水口出水 D．4点到6点不进水也不出水 【答案】AC 【分析】由丙图可知0点到3点每小时进水量为 2 ,据此可以判断A;3点到4点,水量减少了 1 ,据此可以判断B、C;4点到6点水量保持不变,据此可以判断D. 【详解】由题意可知在 0 点到 3 点这段时间,每小时进水量为 2 , 即 2 个进水口同时进水且不出水, 所以A正确; 从丙图可知 3 点到 4 点水量减少了 1 , 所以应该是有一个进水口进水, 同时出水口也出水, 故 B错,C对; 当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变,故D错. 故选：AC. 6（填空）（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）定义为中的最小值，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，作出函数的图象，可得的图象及解析，再求出最大值． 【详解】令，在同一坐标系内作出函数，如图，    函数的图象如图中实线部分，由解得， 由解得，于是， 函数的图象的最高点为，而点， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 【考点5】分段函数 1（单选）（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 2（单选）（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的值域为，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意知当时，， 故要使函数的值域为， 需满足，解得， 故的取值范围是， 故选：D 3（单选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设函数，若，则（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据函数解析式，分类讨论，分别计算可得. 【详解】因为，又， 所以或， 解得或. 故选：C 4（多选）（22-23高三上·河北保定·开学考试）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则x的值是 【答案】BD 【分析】根据分段函数的解析式结合二次函数的性质，逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以的定义域为，所以A错误； 对于B，当时，，当时，， 所以的值域为，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以C错误； 对于D，当时，由，得，解得（舍去）， 当时，由，得，解得或（舍去）， 综上，，所以D正确. 故选：BD. 5（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函数若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数和已知等式求出的值，再求的值即得. 【详解】当时，由可得，不合题意； 当时，由可得； 当时，由可得或,故. 当时， ； 当时， . 故选：BC. 6（填空）（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 【答案】 1 【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求；分、和三种情况，结合题中函数解析式分析求解. 【详解】由题意可知：； 因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：1；. 【考点6】函数单调性判断与证明 1（单选）（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 2（单选）（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，若函数在是单调函数，则区间应完全在对称轴的同侧，由此构造关于的不等式，解得的取值范围 【详解】函数的对称轴为 若函数在上是单调递增函数，则 若函数在上是单调递减函数， 解得或 故的取值范围是 故选：C． 3（单选）（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 4（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 【答案】AD 【分析】利用二次函数的性质求解. 【详解】的对称轴为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或． 故选：AD 5（多选）（22-23高一上·浙江台州·期中）已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】根据题目条件得到函数在R上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，求出，得到答案. 【详解】因为，所以在R上单调递减， 则要满足，解得，故. 故选：BC 6（填空）（22-23高一上·浙江杭州·期末）若，则函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递增，进而即可求得值域. 【详解】， 任取，，且， 则， 所以， 所以函数在上单调递增， 则，， 所以函数在上的值域是. 故答案为：. 【考点7】利用函数单调性求参（或解不等式） 1（单选）（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 2（单选）（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 3（单选）（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在R上单调递减，需满足在每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】由题意得在上单调递减，在上单调递减， 且分段处左端点值大于等于右端点值， 故，解得. 故选：C 4（多选）（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一次分式型函数的单调性，即可得到两参数的范围. 【详解】由在区间上单调递增，则，即，故B正确，A错误； 又在区间上单调递增，则，即，故D正确，C错误. 故选：BD. 5（多选）（23-24高一上·重庆·期中）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【分析】由题意可知函数在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案. 【详解】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减， 则，即，可得， 结合选项可知AB错误，CD正确. 故选：CD. 6（填空）（22-23高一上·湖北鄂州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】根据题意得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【考点8】不等式恒成立 1（单选）（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【详解】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A 2（单选）（24-25高一上·山东德州·期中）若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将存在性问题转化为最值问题，利用二次函数的单调性求最值，列不等式，求解即可. 【详解】设函数， 因为，使成立， 所以在区间上的最大值， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为，结合二次函数的对称性可知， 当时，函数取最大值，最大值，解得； 故选：A. 3（单选）（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若对任意，不等式恒成立，则x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】已知的范围，构建关于的一次函数，不等式恒成立，则一次函数的两个端点处都大于0恒成立即可. 【详解】令， 由题意得：， 即，解得， 所以或. 故选：D. 4（多选）（22-23高一上·辽宁本溪·阶段练习）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断. 【详解】对于A，，由于，所以，所以，故不存在正数M，使得成立. 对于B，令，则，，所以，故存在正数1，使得成立. 对于C，令，则，易得.所以，即，故存在正数5，使得成立. 对于D，令，则，，则，易得，所以，故存在正数，使得成立. 故选：BCD. 5（多选）（20-21高一·全国·课后作业）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．，恒成立，则a的取值范围是 B．，，则a的取值范围是 C．，，则a的取值范围是 D．，， 【答案】AC 【分析】利用函数的单调性讨论最值，再根据恒成立问题或能成立求解即可. 【详解】对于A，因为单调递减，所以， 又因为恒成立，则a的取值范围是，故A正确； 对于B，因为单调递减，所以， 又，，则a的取值范围是，故B错误； 对于C，在单调递减，单调递增， 所以 所以， 因为，，所以a的取值范围是，故C正确； 对于D，由上述过程可知，， 则不能保证，，， 例如：当时，不存在，，故D错误. 故选:AC. 6（填空）（2024高二下·浙江杭州·学业考试）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原问题条件等价转换为对任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可. 【详解】由题意对任意恒成立， 由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【考点9】函数奇偶性 1（单选）（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件得到的对称中心，再根据对称得到的对称中心. 【详解】因为为奇函数，所以， 即， 故的对称中心为，即， 由于函数与的图象关于直线对称， 且关于的对称点为， 故的对称中心为. 故选：D 2（单选）（23-24高一上·广东·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用奇函数定义求解即可. 【详解】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 3（单选）（2024·江苏模拟）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可. 【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误； 故选：C. 4（多选）（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．函数的单调递减区间为和 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，经验证此时满足题意，所以A选项正确. 则当时，， 当时，，， 所以B选项错误. 由上述分析可知，由此画出的图象如下图所示， 由图可知，的单调递减区间为和，C选项正确. 不等式的解集为，D选项正确. 故选：ACD 5（多选）（22-23高一上·广东汕尾·期末）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（    ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，使得 【答案】ABD 【分析】根据奇偶性、单调性定义易知偶函数在上单调递减，在上单调递增，且，进而逐项分析各项的正误． 【详解】由①，，得为偶函数， ②，，当时，都有，所以在上单调递减， 故,故A正确； 对于B，由,可得或，解得或，故B正确； 对于C，由，得， 若，则或，解得，故C错误； 对于D，由为上的偶函数，在单调递减，在单调递增， 又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值， 所以，，使得，故D正确． 故选：ABD 6（填空）（2023高三·全国·专题练习）已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质代入计算可得. 【详解】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 【考点10】幂函数 1（单选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 【答案】B 【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解的值. 【详解】由题意可知，，解得：或， 当时，，函数在上是减函数，成立， 当时，，函数在上是增函数，不成立， 所以. 故选：B 2（单选）（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得， 对于,解得或， 当时，满足，但时，不满足， 故， 故选：A 3（单选）（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【答案】D 【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D 4（多选）（23-24高二下·浙江·期末）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义及性质，即可得到各选项的判断. 【详解】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的； 对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的； 对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的； 对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的； 故选：BC. 5（多选）（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意由是定义在R上的奇函数得函数的周期为4，即可得出结果. 【详解】因为 为奇函数且满足 ， 故，故可知 的周期为4 ， 所以 ， ， 因为当 时， ，所以 ，即, 故选：ABD 6（填空）（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【答案】16 【分析】设，根据 【详解】设，由可得可得. 故，则. 故答案为：16 【考点11】函数的应用 1（单选）（23-24高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【详解】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 2（单选）（22-23高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 【答案】C 【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可. 【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动, 即当小于等于200时,适宜开展户外活动, 即, 因为, 所以当时, 只需, 解得:, 当时, 只需, 解得:, 综上: 适宜开展户外活动的时间段为,共计7个小时. 故选:C 3（单选）（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 4（多选）（23-24高一上·河南·期中）某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x的取值可能为（    ） A．9 B．7 C．13 D．11 【答案】AD 【分析】将销售额表示成一个关于的函数，然后确定满足条件的的可能值即可. 【详解】设此种商品的月销售额为， 由题意知，单价为，销售量为， 所以销售额：， 所以， , , . 故x的取值可能为9或者11，不可能是7或者13. 故选：AD 5（多选）（24-25高三上·河南·阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 【答案】AC 【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可. 【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC 6（填空）（22-23高一上·广西桂林·期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 【答案】 【分析】根据总利润销售量每个利润．设售价为元，总利润为元， 则销售量为，每个利润为，表示总利润，然后根据函数性质求最大值． 【详解】设售价为元，总利润为元， 则， 当时，最大，最大的利润元； 即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元． 故答案为: . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 大单元复习03 函数的概念与性质（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 6 【考点1】函数的定义域 6 【考点2】函数的值域 7 【考点3】函数的解析式 7 【考点4】函数图象 8 【考点5】分段函数 11 【考点6】函数单调性判断与证明 11 【考点7】利用函数单调性求参（或解不等式） 12 【考点8】不等式恒成立 13 【考点9】函数奇偶性 14 【考点10】幂函数 15 【考点11】函数的应用 16 知识梳理 一、函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围是集合A 值域 与x对应的y的值的集合是C＝{f(x)|x∈A} 二、区间的概念 设a，b∈R，且a<b，“区间”规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) 实数集R为(－∞，＋∞)，其中“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”. 三、函数的要素 (1)由函数的定义知， 一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.函数的值域由定义域与对应关系决定. (2)同一个函数 前提条件 定义域相同 对应关系完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 (3)常见函数的值域 ①一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 四、函数的表示方法 函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 五、分段函数 (1)在函数定义域内，对于自变量x的不同取值，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 六、函数的单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 图示 七、函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. (1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域. (2)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接. 八、函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ∀x∈I，都有f(x)≤M ∀x∈I，都有f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 九、奇函数、偶函数的定义及图象特征 (1)偶函数的定义及图象特征 ①偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数. ②偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的定义及图象特征 ①奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数. ②奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数. 十、函数的奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性. 十一、函数奇偶性与单调性的关系 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. (3)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M. (4)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 十二、抽象函数的奇偶性 设函数y＝f(x)与y＝g(x)是奇函数，且它们公共定义域为D.试判定函数h(x)＝f(x)＋g(x)与M(x)＝f(x)·g(x)在定义域D上的奇偶性.则h(x)是奇函数，M(x)是偶函数. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，在它们公共定义域上，试判定函数y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]的单调性.则y＝f(x)·g(x)是奇函数，函数y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]都是偶函数. 十一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 十二、幂函数的图象与性质 观察问题中的函数图象，填写下面表格 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，＋∞)，增；x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减；x∈(－∞，0)，减 公共点 都经过点(1，1) 十三、常见函数模型 函数模型 解析式的一般形式 一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数 y＝ 幂函数型 y＝axn＋b(n≠1，a≠0) 十四、解决函数实际应用问题的基本步骤 解函数应用题步骤用框图表示如图： 热考题型 【考点1】函数的定义域 1（单选）（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3（单选）（23-24高一上·江苏·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5（多选）（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 6（填空）（24-24高二下·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【考点2】函数的值域 1（单选）（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3（单选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4（多选）（24-25高一上·四川攀枝花·阶段练习）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 5（多选）（24-25高一上·湖北襄阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围 6（填空）（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 【考点3】函数的解析式 1（单选）（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 2（单选）（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3（单选）（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 4（多选）（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 5（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 6（填空）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知是一次函数，且，求的解析式 ． 【考点4】函数图象 1（单选）（23-24高一上·天津·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 2（单选）（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   3（单选）（22-23高三上·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示y是x的函数 x 有理数 无理数 y 1 D．图象 可以表示函数的图象 5（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下论断，正确的是（    ）    A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点，一个进水口进水，同时出水口出水 D．4点到6点不进水也不出水 6（填空）（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）定义为中的最小值，则的最大值为 . 【考点5】分段函数 1（单选）（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 2（单选）（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（单选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设函数，若，则（     ） A． B． C．或 D．或 4（多选）（22-23高三上·河北保定·开学考试）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则x的值是 5（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函数若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 6（填空）（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 【考点6】函数单调性判断与证明 1（单选）（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（单选）（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 5（多选）（22-23高一上·浙江台州·期中）已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6（填空）（22-23高一上·浙江杭州·期末）若，则函数在上的值域是 ． 【考点7】利用函数单调性求参（或解不等式） 1（单选）（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2（单选）（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（单选）（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4（多选）（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5（多选）（23-24高一上·重庆·期中）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．3 6（填空）（22-23高一上·湖北鄂州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【考点8】不等式恒成立 1（单选）（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高一上·山东德州·期中）若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（单选）（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若对任意，不等式恒成立，则x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4（多选）（22-23高一上·辽宁本溪·阶段练习）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ） A． B． C． D． 5（多选）（20-21高一·全国·课后作业）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．，恒成立，则a的取值范围是 B．，，则a的取值范围是 C．，，则a的取值范围是 D．，， 6（填空）（2024高二下·浙江杭州·学业考试）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【考点9】函数奇偶性 1（单选）（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 2（单选）（23-24高一上·广东·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 3（单选）（2024·江苏模拟）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 4（多选）（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．函数的单调递减区间为和 D．不等式的解集为 5（多选）（22-23高一上·广东汕尾·期末）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（    ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，使得 6（填空）（2023高三·全国·专题练习）已知函数，且，则 ． 【考点10】幂函数 1（单选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 2（单选）（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 3（单选）（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 4（多选）（23-24高二下·浙江·期末）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 5（多选）（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6（填空）（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【考点11】函数的应用 1（单选）（23-24高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 2（单选）（22-23高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 3（单选）（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 4（多选）（23-24高一上·河南·期中）某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x的取值可能为（    ） A．9 B．7 C．13 D．11 5（多选）（24-25高三上·河南·阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 6（填空）（22-23高一上·广西桂林·期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $