大单元复习02 一元二次函数、方程和不等式训练-2025-2026学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

大单元复习02 一元二次函数、方程和不等式（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 4 【考点1】比较大小 4 【考点2】不等式性质 5 【考点3】基本不等式 6 【考点4】商式最值 6 【考点5】基本不等式恒成立 7 【考点6】基本不等式的应用 8 【考点7】基本不等式“1”的最值 9 【考点8】二次函数 9 【考点9】二次函数求参 11 【考点10】解一元二次不等式 13 【考点11】一元二次不等式恒成立 14 【考点12】一元二次不等式应用 14 知识梳理 一、不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 二、两个实数的大小关系 两个实数大小的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 三、不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 四、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 五、基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 六、最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 七、满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到. 八、一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 九、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}   十、简单的分式不等式的解法 十一、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 热考题型 【考点1】比较大小 1（单选）（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2（单选）（2023·江西南昌·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3（单选）（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 4（多选）（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 5（多选）（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 6（填空）（24-25高一上·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【考点2】不等式性质 1（单选）（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 2（单选）（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 3（单选）（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 4（多选）（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 5（多选）（24-25高一·全国·课后作业）对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（    ） A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+d C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则 6（填空）（24-25高一上·北京朝阳·期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 【考点3】基本不等式 1（单选）（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2（单选）（2023高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 3（单选）（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期中）若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 5（多选）（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 6（填空）（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最大值为 . 【考点4】商式最值 1（单选）（24-25高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 2（单选）（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 3（单选）（24-25高一·全国·课后作业）若，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 4（多选）（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 5（多选）（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）下列结论不正确的是（ ） A．当时, B．当时, 的最小值是 C．当时, 的最小值是 D．设,,且,则的最小值是 6（填空）（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【考点5】基本不等式恒成立 1（单选）（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 3（单选）（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 6（填空）（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【考点6】基本不等式的应用 1（单选）（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 2（单选）（2024·湖南长沙·模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 3（单选）（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ） A．10 B．15 C．30 D．45 4（多选）（23-24高三上·广东湛江·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为2 D．若，则 5（多选）（24-25高一上·湖南株洲·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 6（填空）（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【考点7】基本不等式“1”的最值 1（单选）（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 2（单选）（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 3（单选）（23-24高二下·浙江温州·期中）已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 4（多选）（23-24高三上·甘肃·阶段练习）已知，若，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 5（多选）（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为2 6（填空）（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【考点8】二次函数 1（单选）（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   3（单选）（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   4（多选）（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知不等式的解集为，函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象开口向上 B．函数的图象开口朝下 C．无论为何值，必有 D．不等式的解集为或 5（多选）（23-24高一·全国·课后作业）设，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6（填空）（24-25高一上·甘肃天水·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【考点9】二次函数求参 1（单选）（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2（单选）（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 3（单选）（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4（多选）（24-25高一上·福建厦门·开学考试）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（    ） A． B． C．若实数，则 D．若，则 5（多选）（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 6（填空）（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围为 . 【考点10】解一元二次不等式 1（单选）（24-25高一·全国·单元测试）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．} C． D． 2（单选）（2024高一上·全国·专题练习）关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3（单选）（24-25高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 4（多选）（2024高三·全国·专题练习）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 5（多选）（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 6（填空）（24-25高一·全国·课后作业）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【考点11】一元二次不等式恒成立 1（单选）（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2（单选）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（单选）（24-25高一上·江苏淮安·期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5（多选）（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）命题的否定是真命题，则实数的值可能是（    ） A． B． C．2 D． 6（填空）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 ． 【考点12】一元二次不等式应用 1（单选）（24-25高一下·北京昌平·期中）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 2（单选）（24-25高一·全国·课后作业）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（单选）（23-24高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 4（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5（多选）（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 6（填空）（24-25高一上·上海崇明·期中）一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 大单元复习02 一元二次函数、方程和不等式（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 4 【考点1】比较大小 4 【考点2】不等式性质 7 【考点3】基本不等式 9 【考点4】商式最值 12 【考点5】基本不等式恒成立 15 【考点6】基本不等式的应用 18 【考点7】基本不等式“1”的最值 21 【考点8】二次函数 24 【考点9】二次函数求参 28 【考点10】解一元二次不等式 32 【考点11】一元二次不等式恒成立 35 【考点12】一元二次不等式应用 37 知识梳理 一、不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 二、两个实数的大小关系 两个实数大小的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 三、不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 四、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 五、基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 六、最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 七、满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到. 八、一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 九、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}   十、简单的分式不等式的解法 十一、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 热考题型 【考点1】比较大小 1（单选）（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 2（单选）（2023·江西南昌·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由可得， 由已知且，若，则，所以，，则，矛盾. 若，则，从而，合乎题意. 综上所述，“”是“”的充要条件. 故选：C. 3（单选）（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法分析判断. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4（多选）（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，显然，即，则，故B正确； 对于C，若，且，则，故C正确； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：BCD. 5（多选）（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 6（填空）（24-25高一上·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合作差法分析判断. 【详解】因为，， 则， 且，则， 可得，即. 故答案为：. 【考点2】不等式性质 1（单选）（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 所以，即， 所以的最大值为27. 故选：A 2（单选）（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【详解】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 3（单选）（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和绝对值的意义，即可求解. 【详解】因为，两边平方得到， 整理得到，所以等号当且仅当时成立， 故选：D. 4（多选）（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误. 【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确； 对于B，因，若取，，，， 则，，所以，故B错误； 对于C，因，若取，，，， 则，，所以，故C错误； 对于D，因为，则，又因则， 由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确． 故选：AD． 5（多选）（24-25高一·全国·课后作业）对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（    ） A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+d C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则 【答案】AB 【分析】可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错. 【详解】解：若ac2>bc2，两边同乘以则a>b，A对， 由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对， 当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错， 令a=﹣1，b=﹣2，则，D错. 故选：AB. 6（填空）（24-25高一上·北京朝阳·期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【解析】利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可. 【详解】由知，，，故，得，故①正确； 取，满足，但，不满足，故②错误； 由指数函数单调递增可知，，则，故③正确； 由知，，，根据不等式性质可知，，故，故④正确. 故答案为：①③④. 【考点3】基本不等式 1（单选）（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2（单选）（2023高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可 【详解】因为， 所以可得， 则， 当且仅当，即时，上式取得等号， 的最大值为2． 故选：A． 3（单选）（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期中）若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 4（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ABC 【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：ABC． 5（多选）（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 6（填空）（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由知， 当且仅当，即时取得等号， 即的最大值为， 故答案为： 【考点4】商式最值 1（单选）（24-25高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 2（单选）（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 3（单选）（24-25高一·全国·课后作业）若，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将解析式化简凑出积为常数，再由基本不等式求出函数的最小值． 【详解】解：由题意得，， ， ∴，当且仅当时取等号，即， 则函数的最小值是4， 故选D． 4（多选）（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 5（多选）（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）下列结论不正确的是（ ） A．当时, B．当时, 的最小值是 C．当时, 的最小值是 D．设,,且,则的最小值是 【答案】BC 【分析】关于选项A,直接利用基本不等式即可判断正误;关于选项B,先将表示为,再用基本不等式,注意取等条件即可判断正误;关于选项C,当时,,所以不能直接用基本不等式,举出反例即可; 关于选项D,先将用把代换掉,即得,再用“1”的代换即可求出最值,注意等号取得的条件. 【详解】解:由题知,关于选项A,当时, ,, 当且仅当时取等号,故选项A正确; 关于选项B,当时, , 当且仅当时取等号,但此时无解,等号取不到,因此最小值不是,故选项B错误; 关于选项C,因为,不妨取,此时的值为负数,故选项C错误; 关于选项D,因为,,, 则, 则 当且仅当,即时取等号,故最小值为,故选项D正确. 故选:BC. 6（填空）（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 【考点5】基本不等式恒成立 1（单选）（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 2（单选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当， 即时，等号成立． 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25． 故选：D 3（单选）（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 4（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解. 【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，因为a，b都是正实数，故， 当且仅当，即时，等号成立，B错误； C选项，，故恒成立，C正确； D选项，a是正实数，故，其中， 故，当且仅当，即时，等号成立，D错误. 故选：AC 5（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 故选：ACD 6（填空）（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 【考点6】基本不等式的应用 1（单选）（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【答案】B 【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案. 【详解】由题意得，， 因为，故，， 即， 故选：B 2（单选）（2024·湖南长沙·模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平均速度等于总路程除以总时间 【详解】设从甲地到乙地的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则 ，，， ∴，， 故选:D. 3（单选）（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ） A．10 B．15 C．30 D．45 【答案】B 【分析】根据题意，得到，平均损耗蔬菜量之和为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设安排男社员名，女社员名， 根据题意，可得，平均损耗蔬菜量之和为， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15. 故选：B. 4（多选）（23-24高三上·广东湛江·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为2 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用作差法比较大小判断A，利用基本（均值）不等式判断BCD，要注意“一正二定三相等”. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，故A正确； 因为的等号成立条件不成立，所以B错误； 因为，所以，故C错误； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：AD 5（多选）（24-25高一上·湖南株洲·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】BCD 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断. 【详解】由正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误； 由，则，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B选项正确； 由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故C选项正确； 由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D选项正确. 故选：BCD. 6（填空）（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 【考点7】基本不等式“1”的最值 1（单选）（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 2（单选）（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 【答案】C 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当时取等号得出最小值4， 故选：C. 3（单选）（23-24高二下·浙江温州·期中）已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得且，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为非负实数满足， 显然，则，所以， 则 ，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 4（多选）（23-24高三上·甘肃·阶段练习）已知，若，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】对于，由，即， 当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确； 对于，因为， 当且仅当时，取到最小值，所以B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确； 对于，当且仅当，且， 即时，取等号，所以正确. 故选：ACD. 5（多选）（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为2 【答案】AD 【分析】根据，结合基本不等式可判断A；根据基本不等式可判断B；可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为1，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为2，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故D正确. 故选:AD. 6（填空）（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 【考点8】二次函数 1（单选）（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出. 【详解】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得， 则， 则函数图象开口向下，与轴交于. 故选：C. 2（单选）（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B 3（单选）（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象. 【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，， 故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A 4（多选）（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知不等式的解集为，函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象开口向上 B．函数的图象开口朝下 C．无论为何值，必有 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】AB选项，根据不等式的解集得到；C选项，，代入，得到，C正确；D选项，由韦达定理得到，，不等式变形为，求出不等式解集，得到答案. 【详解】AB选项，由不等式的解集为， 则可知一元二次方程的两根为和3， 且二次函数开口向上，，故A正确，B错误； C选项，，故时有，即，故C正确； D选项，由韦达定理得，，故，， 函数， 解得或， 则不等式的解集为或，D正确. 故选：ACD. 5（多选）（23-24高一·全国·课后作业）设，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二次函数图像的性质，依次分析各选项即可得答案. 【详解】函数的图象的对称轴为，与轴的交点的坐标分别为，则， A中，，则，，，∴，符合题意； B中，，则，，，∴，符合题意； C中，，则，，，∴，不符合题意； D中，，则，，，∴，符合题意， 故选：ABD. 6（填空）（24-25高一上·甘肃天水·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据已知条件及函数的部分图象，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】对于①，由图象可知，函数图象与轴有两个交点， 所以有两个不相等的实根， 所以，即，故①正确； 对于②，因为二次函数的对称轴为， 所以，即，故②错误； 对于③，由图象可知，，即，故③错误； 对于④，由图可知，，即. 由二次函数的对称性可知，， 所以， 由，得，即，于是有，故④正确. 故答案为：①④. 【考点9】二次函数求参 1（单选）（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 2（单选）（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 3（单选）（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 4（多选）（24-25高一上·福建厦门·开学考试）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（    ） A． B． C．若实数，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由图可分析符号即可判断A；根据对称性可知函数与x轴交于另一点，代入可得，然后可确定B；由及，结合二次函数即可判断C；根据题意可得代入即可计算. 【详解】由图可知，，时，，所以，故A错误； 因为与x轴交于点，对称轴为，所以与x轴交于另一点， 则，又，所以，故B正确； 因为，，所以，故C正确； 因为是函数的零点，所以， 则，即， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 5（多选）（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 【答案】AD 【分析】根据二次函数的图象和性质，分析给定的四个结论是否正确. 【详解】由函数的图象，可得函数的图象开口向下，与x轴有两个交点， ，，A正确； 由对称轴方程为，可得，，B不正确； 由，可得，C不正确； 由图象可得，根据函数的对称性，可得， 由可得，D正确. 故选：AD 6（填空）（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由函数在[1,2]上不具有单调性，得出函数图像的对称轴在内，解不等式即可. 【详解】函数在上不具有单调性， 则有二次函数图像的对称轴在内， 即有，解得：. 故答案为：. 【考点10】解一元二次不等式 1（单选）（24-25高一·全国·单元测试）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．} C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围. 【详解】∵，且， ∴， 当且仅当时取等号，∴， 由恒成立可得， 解得：， 故选：D. 2（单选）（2024高一上·全国·专题练习）关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解. 【详解】由得 ， 若，则不等式无解． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则． 综上，满足条件的的取值范围是 故选：C． 3（单选）（24-25高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 4（多选）（2024高三·全国·专题练习）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】解出各选项中的不等式后可判断． 【详解】A选项，或，A正确； B选项，，B正确； C选项，或，即或，C错误； D选项，，，而是的真子集，D正确． 故选：ABD． 5（多选）（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 【答案】ABD 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 6（填空）（24-25高一·全国·课后作业）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用给定的解集求出与的关系，再代入解不等式. 【详解】由不等式的解集为，得是方程的二根，且， 则，于是，不等式化为， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【考点11】一元二次不等式恒成立 1（单选）（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 2（单选）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 3（单选）（24-25高一上·江苏淮安·期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 4（多选）（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； 【详解】依题意，命题等价于恒成立， 所以，解得，即，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 5（多选）（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）命题的否定是真命题，则实数的值可能是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】AB 【分析】根据特称命题的否定知：，为真命题，再利用判别式小于0即可求解. 【详解】因为命题的否定是真命题， 所以命题：，是真命题，也即对，恒成立， 则有，解得：， 根据选项的值，可判断选项AB符合， 故选：AB. 6（填空）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】正难则反，命题“”为假命题，等价于命题“”为真命题，则分为和两大类讨论即可. 【详解】命题“”的否定为：“” 命题“”为假命题等价于命题“”为真命题； 当时，，成立； 当时，结合一元二次函数的图象可得：，解得， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 【考点12】一元二次不等式应用 1（单选）（24-25高一下·北京昌平·期中）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 【答案】B 【分析】根据已知条件，先求出该厂每天获得的利润的函数解析式，再结合每天获利不少于1300元，列出不等式求解即可． 【详解】设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)． 由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是20≤x≤45． 故选：B． 2（单选）（24-25高一·全国·课后作业）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 3（单选）（23-24高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设米，表示出绿地面积，根据不等式求的长度范围. 【详解】中，，为等腰直角三角形， 设米，则米，米， 依题意有，解得. 即的长度（单位：米）范围是. 故选：B. 4（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】AB 【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案. 【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元， 则， 依题意有， 即， 解得， 所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元， 故选︰AB． 5（多选）（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 【答案】ABC 【分析】由实际问题列出不等式，解出不等式的解集，逐项判断即可. 【详解】设这批台灯的售价为x（元）， 则为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入， 所以，化简得：, 解得：. 故选：ABC. 6（填空）（24-25高一上·上海崇明·期中）一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解. 【详解】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，则，解得：或 设的两根为，，不妨令，则， 由题意得：，解得：，结合或，所以实数k的取值范围为 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $